上海市上海市三林中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.3．驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成的，建筑師的設(shè)計靈感源于想法：“你永無止境的愛是多么的珍貴，人們在你雄偉的翅膀下庇護”.若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.6．設(shè)F是雙曲線的左焦點，，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A.5 B.C. D.97．已知函數(shù)，，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]8．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.9．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個圖形包含個小正方形，則的表達式為（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.11．在下列四條拋物線中，焦點到準線的距離為1的是（）A. B.C. D.12．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與x軸相切于點A．點B在圓C上運動，則AB的中點M的軌跡方程為______（當點B運動到與A重合時，規(guī)定點M與點A重合）；點N是直線上一點，則的最小值為______14．若p：存在，使是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______15．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達到5千億元，預(yù)計該年進口總額為______千億元三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓過原點，且直線與圓相切于點.（1）求圓的方程；（2）已知過點的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點.①若，求弦的長；②若圓上存在點，使得成立，求直線的斜率.18．（12分）記為等差數(shù)列的前n項和，已知.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.19．（12分）已知圓：，定點，Q為圓上的一動點，點P在半徑CQ上，且，設(shè)點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點的直線交曲線E于A，B兩點，過點H與AB垂直的直線與x軸交于點N，當取最大值時，求直線AB的方程.20．（12分）如圖，扇形AOB的半徑為2，圓心角，點C為弧AB上一點，平面AOB且，點且，面MOC（1）求證：平面平面POB；（2）求平面POA與平面MOC所成二面角的正弦值的大小21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面22．（10分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B2、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A3、B【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.【詳解】雙曲線，，，因為雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：B4、C【解析】根據(jù)題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據(jù)點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據(jù)點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.5、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標為該點對應(yīng)坐標的相反數(shù)，所以.故選：C6、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點為，且點A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當且僅當三點共線時，取得等號.故選：B7、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當時，，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對于任意的，．因為開口向下，對稱軸為軸，又，所以當時，，當時，，則函數(shù)在[，2]上的值域為[a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對稱，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點是這一條件的轉(zhuǎn)化.8、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D9、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題10、A【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D12、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項求得公差，再由等差數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，解得，所以，所以當12或13時，取得最大值，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】將點M的軌跡轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將的最小值轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離再減去半徑可求解.【詳解】依題意得，，因為M為AB中點，所以，所以點M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點為，，所以點M的軌跡方程為，圓心，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，所以，所以由對稱性可知的最小值為故答案為：，14、【解析】將問題分離參數(shù)得到存在，使成立，可得結(jié)論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：15、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：16、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預(yù)計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點且與垂直的直線上，聯(lián)立求圓心，進而得半徑即可；（2）①垂徑定理即可求弦長；②圓上存在點，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進而得圓心到直線的距離為，列方程求解即可.試題解析：（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點且與垂直的直線上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）①由題意知，直線的方程為，即，∴圓心到直線的距離為，∴；②∵圓上存在點，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線的距離為，又直線的方程為，即，∴，解得.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，利用等差數(shù)列的前n項和公式求解；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為d，∵，∴，解得2，∴.【小問2詳解】由（1）知2，∴，，，∴當時，取得最小值-16.19、（1）（2）或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式求出，再設(shè)出直線NH的方程，求出N點坐標，進而求出，然后表示出，再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)點的坐標為，∵，∴點P在線段QF垂直平分線上，∴，又∵，∴∴點P在以C，F(xiàn)為焦點的橢圓上，且，∴，∴曲線的方程為：.【小問2詳解】設(shè)直線AB方程為，，由，解得，，解得，由韋達定理可知，，，∴∵AB與HN垂直，∴直線NH的方程為，令，得，∴，又由，∴，∴設(shè)則∴當且僅當即時等號成立，有最大值，此時滿足，故，所以直線AB的方程為：，即或.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，設(shè)與相交于點，連接MN，利用余弦定理可求得，，的長度，進而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立恰當空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，從而即可得答案【小問1詳解】證明：連接，設(shè)與相交于點，連接MN，平面，在平面內(nèi)，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面內(nèi)，，又，平面，又平面，平面平面；【小問2詳解】解：由（1）可知直線，，兩兩互相垂直，所以以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，可??；設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，，平面與平面所成二面角的正弦值為21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且