以橢圓定義的實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)意識摘要：結(jié)合數(shù)學(xué)史，補(bǔ)充完善教材中橢圓定義來源。利用信息技術(shù)手段研究數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)使用Geogebra軟件來學(xué)習(xí)旦德林雙球模型，通過圓的拉伸和壓縮繪制橢圓。利用定義探究教材習(xí)題改編的折紙實(shí)驗(yàn)。在整個(gè)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對理解數(shù)學(xué)概念的幫助，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和探索問題的態(tài)度。關(guān)鍵詞：橢圓定義，數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，旦德林雙球，Geogebra軟件引言：課后對學(xué)生橢圓定義的學(xué)習(xí)反饋中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對橢圓定義的認(rèn)識有一些模糊的地方，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，學(xué)生對平面截圓錐的截線為何是橢圓僅停留在形上，不清楚截線上的點(diǎn)滿足的幾何特征。也好奇課本上橢圓畫法的由來。所以在講完橢圓之后選擇利用一課時(shí)探究橢圓定義的由來，完善橢圓定義的認(rèn)識過程。本文以橢圓定義發(fā)生和發(fā)展的數(shù)學(xué)史為線索，通過信息技術(shù)手段，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，參與橢圓定義的發(fā)生過程。在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)意識。用平面去截圓錐面，截線即是圓錐曲線。北師大版選擇性必修一第2章“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)中通過生活中橢圓形狀物體和衛(wèi)星軌道引入橢圓，利用兩釘一線畫出橢圓，再給出橢圓的定義。教學(xué)實(shí)踐及課后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對此是非常疑惑的。疑惑的是：平面截圓錐的截線是如何確定為橢圓的，截線上的點(diǎn)有什么特征?橢圓的畫法是怎么產(chǎn)生的?圓有一個(gè)圓心，而橢圓為什么有兩個(gè)焦點(diǎn)?這兩個(gè)焦點(diǎn)是怎么發(fā)現(xiàn)的?為什么是距離之和，而不是距離相等呢?為什么是距離，而不是角度或其他呢?顯然，這些疑惑來源于教學(xué)中對橢圓知識發(fā)生過程的忽略。為了搞清楚這些問題，弄清楚橢圓定義的來龍去脈，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，向?qū)W生們展示橢圓定義的發(fā)生和發(fā)展史。橢圓定義的發(fā)生和發(fā)展歷經(jīng)了2000多年。中間有幾個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。首先古希臘人在圓柱或圓錐被平面截得的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓。到公元前3世紀(jì)，梅內(nèi)克繆斯用垂直于錐面母線的平面截三種圓錐(直角，銳角和鈍角的圓錐),截線分別是拋物線，橢圓和雙曲線的一支。這也是圓錐曲線的由來。此時(shí)橢圓僅只是確定了形“橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)”這一性質(zhì)。隨之在公元6世紀(jì)，拜占庭數(shù)學(xué)家安提師畫法”。直到19世紀(jì)，旦德林在圓錐里上下塞進(jìn)兩個(gè)相離的內(nèi)切球，非常巧妙地在圓錐上推導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而統(tǒng)一了截線定義與軌跡定義。使橢圓的形狀與橢圓上點(diǎn)的幾何特征有機(jī)結(jié)合了起來。筆者根據(jù)歷史上對橢圓認(rèn)識的發(fā)生和發(fā)展過程，利用實(shí)驗(yàn)教學(xué)法設(shè)計(jì)了橢圓定義的教學(xué)。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，按照學(xué)生理解的難易程度，依次為：生活情境，自然科學(xué)，平面截圓柱(圓錐),旦德林雙球圓柱和圓錐模型，細(xì)繩實(shí)驗(yàn)，折紙，圓的壓縮。實(shí)驗(yàn)的地點(diǎn)是微機(jī)室。實(shí)驗(yàn)工具包括電腦，一個(gè)圓規(guī)，一條線，兩張白紙，一支筆。下面是實(shí)驗(yàn)的主要過程。3.1.直觀感受橢圓的形狀活動(dòng)一：用Geogebra軟件模擬平行光照射籃球的過程。引導(dǎo)學(xué)生觀察籃球在水平面上影子輪廓的形狀，留意球與地面的切點(diǎn)到影子輪廓的距離發(fā)生了怎樣的變動(dòng)，有什么規(guī)律。我們建立一個(gè)幾何模型來研究它。這一束平行光可以看成是一個(gè)與球相切的圓柱面。影子的橢圓形輪廓可以看成圓柱面與平面的交線。設(shè)球與平面的切點(diǎn)為F,在橢圓上任取一點(diǎn)P,連接PF,過P點(diǎn)的光線與圓相切于點(diǎn)Q。如圖1。接著我們把圓柱豎起來。如圖2。3.2.利用軟件演示旦德林雙球，探討橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì)活動(dòng)二：利用Geogebra軟件構(gòu)造旦德林雙球圓柱模型。隨著P點(diǎn)的移動(dòng)，觀察哪些點(diǎn)、線、面的位置與長度在變換，哪些沒有變。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)線段PF的長度在變化，而且很有規(guī)律，先變長再變短。線段PF始終在平面上，光線PQ始終在圓柱面上；線段PQ始終與球相切，線段PF也始終與球相切，|PF|=|PQ|。那么PQ長度的變化有什么規(guī)律呢?這個(gè)圓柱被平面面所截的下半部分和上半部分非常的對稱。旦德林和同學(xué)們想的一樣，在圓柱的下半部分又塞了一個(gè)球，球與平面相切于點(diǎn)E。如圖3.數(shù)學(xué)中的對稱美也是我們解題的靈感來源。過P點(diǎn)的光線PQ與下面的圓相切于點(diǎn)R,|PE|=|PR|。而兩個(gè)球之間的距離是一個(gè)定值。所從而得到了橢圓的定義。平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡就是橢圓。E、F兩點(diǎn)是橢圓與上下兩個(gè)球的切點(diǎn)，這兩個(gè)切點(diǎn)也就是橢圓的的兩個(gè)焦點(diǎn)。從而解釋了橢圓為何有兩個(gè)焦點(diǎn)，以及兩個(gè)焦點(diǎn)是怎么發(fā)現(xiàn)的。學(xué)生很快得到如下結(jié)論：①E、F是平面與圓錐內(nèi)兩個(gè)球的切點(diǎn)。Q、R是圓錐母3.3.紙上操作：運(yùn)用橢圓定義繪制橢圓活動(dòng)四：(1)用圓規(guī)固定繩子兩端，筆尖勾緊繩子，移動(dòng)筆尖畫出橢圓。繩子的長度等于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡為線段；長度小于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡不存在。(2)教材56頁，習(xí)題B組第4題”紙折實(shí)驗(yàn)”.在紙上用圓規(guī)作圓0,剪下來。在圓內(nèi)任取一點(diǎn)E(不取圓心0)。折起紙片，使得圓周過點(diǎn)E,展開后畫出折痕。如圖5.不斷重復(fù)剛才的操作，畫出數(shù)條折痕后，這些折痕中間圍成的圖形就是橢圓。如圖6那么問題來了，你能解釋一下為什么嗎?學(xué)生討論后給出了證明：明證明折紙?jiān)囼?yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到動(dòng)手操作的快樂。3.4.用Geogebra軟件演示橢圓的其他生成方式(1)教材54頁例7:點(diǎn)P是圓0:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，作PHx軸于點(diǎn)H,演示P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)M點(diǎn)的軌跡如圖8。M點(diǎn)的軌跡方程為教材58頁閱讀材料中提到圓的伸縮，對圓上的點(diǎn)P沿著豎直方向向x軸壓縮(或拉伸)為點(diǎn)P縱坐標(biāo)的λ倍(λ>0,且λ≠1)。經(jīng)過壓縮(或拉伸)后得到點(diǎn)M的軌跡方程為學(xué)生可以通過改變參數(shù)λ,觀察軌跡的變化規(guī)律。這個(gè)例子從形狀和方程上圓和橢圓的關(guān)系，圓經(jīng)過壓縮或拉伸變成橢圓，橢圓經(jīng)過壓縮或拉伸頁(2)播放木匠畫橢圓的視頻。結(jié)合實(shí)際生活讓學(xué)生思考生活中橢圓形的鏡子，盤子還有其他物體都是如何作出來的。激起了學(xué)生探索的欲望。本節(jié)課的內(nèi)容到此結(jié)束了，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣卻更加高漲。四、活動(dòng)設(shè)計(jì)說明1.橢圓的形狀特點(diǎn)是長圓形，比圓形要扁，由圓形拉長而來。衛(wèi)星的軌道是橢圓形，這是遵循嚴(yán)格自然規(guī)律，毋庸置疑。而油罐車罐體的截面形狀可能是圓矩形，最好避免這種容易產(chǎn)生分歧的物體。在選擇生活情景引入橢圓時(shí)盡量選擇與圓形有關(guān)的物體。比如水杯和沙漏，它們的水平截面都是圓形的，具有軸對稱性，傾斜時(shí)斜面形狀也具有對稱性。本節(jié)課選用的光線照射籃球的實(shí)驗(yàn)，原因有兩點(diǎn)：第一，籃球是圓形的，在陽光下的影子輪廓是橢圓形；第二，籃球與地面的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，更容易啟發(fā)學(xué)生從數(shù)量和幾何位置上來探究橢圓的焦半徑性2.旦德林球是立體幾何模型。但是兩個(gè)球的位置構(gòu)造巧妙，數(shù)量關(guān)系眾多，盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何，卻畏懼這個(gè)模型，無法從模型上直觀的看出橢圓雙球是旦德林雙球?qū)嶒?yàn)的簡化版本。為了讓學(xué)生體會(huì)從一個(gè)球到兩個(gè)球的由來，從一個(gè)焦點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的生成過程。所以教學(xué)過程中先分析圓柱上的雙球，再呈現(xiàn)圓錐上的雙球模型。3.從阿基米德設(shè)計(jì)的圓規(guī)到小弗朗西斯發(fā)明的曲線尺，再到拜占庭的“兩釘一線”畫法。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家孜孜不倦尋求解決問題方法的高貴品質(zhì)。在講解數(shù)學(xué)史的同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，培養(yǎng)了學(xué)生的探究興趣。我們學(xué)到的知識是在歷史的長河里由數(shù)代人努力而來。我們尊敬歷史，要深刻認(rèn)識我們學(xué)到的知識并非一蹴而就，學(xué)習(xí)和探索周圍的世界是每一個(gè)人的責(zé)任。4.細(xì)繩畫橢圓和折紙游戲增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力。實(shí)際生活中如何畫出規(guī)定尺寸的橢圓呢?比如生活中木匠如何畫出的橢圓。用課本上的知識如何解決實(shí)際問題。這也是很多同學(xué)感興趣的地方。課后同學(xué)的積極性很高，用數(shù)學(xué)知識研究木匠取點(diǎn)的方法和意義。大部分同學(xué)表示對畫橢圓很有興趣，并踴躍尋找畫橢圓5.本節(jié)課還立足于圓錐曲線的單元整體設(shè)計(jì)，對橢圓定義的討論的方式都可以平推到雙曲線和拋物線上。利用旦德林雙球模型可以推導(dǎo)出雙曲