2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)值計(jì)算方法在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)。）1.在使用牛頓法求解方程f(x)=0的根時(shí)，為保證迭代序列收斂，函數(shù)f(x)在根x*附近必須滿足的條件是（）。A.f(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零B.f(x)單調(diào)遞增C.f(x)在x*處取得極小值D.f(x)在x*附近具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)2.對(duì)于求解線性方程組Ax=b，當(dāng)系數(shù)矩陣A的條件數(shù)K(A)較大時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）。A.方程組必有唯一解B.迭代法（如雅可比法、高斯-賽德?tīng)柗ǎ┦諗克俣群芸霤.用直接法（如高斯消元法）求解時(shí)，計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差可能會(huì)很大D.方程組對(duì)于初始值的選取不敏感3.在生物電信號(hào)處理中，對(duì)采集到的含噪聲信號(hào)進(jìn)行平滑處理，常用的數(shù)值方法之一是（）。A.插值法B.牛頓法C.線性回歸D.積分求平均值（有限差分近似）4.若要插值函數(shù)P(x)在給定節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,xn上精確通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?)，應(yīng)采用（）。A.分段線性插值B.樣條插值C.牛頓插值多項(xiàng)式D.最小二乘擬合5.在藥代動(dòng)力學(xué)中，常使用一階龍格-庫(kù)塔法（如Heun法）求解微分方程組dx/dt=f(t,x)，其主要優(yōu)點(diǎn)是（）。A.簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)B.比歐拉法更精確C.無(wú)需計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)D.對(duì)步長(zhǎng)選擇不敏感二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上。）6.數(shù)值計(jì)算中，由于計(jì)算機(jī)有限字長(zhǎng)表示，任何浮點(diǎn)數(shù)x都有唯一的表示形式x?=fl(x)，其中x是x?的真值，E=x-x?稱(chēng)為（）。7.在求解線性方程組Ax=b時(shí)，若矩陣A為對(duì)角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法（Jacobimethod）和（）迭代法一定收斂。8.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則數(shù)值積分的梯形法則和辛普森法則都是對(duì)f(x)在[a,b]上的（）求和。9.用迭代法x<0xE2><0x82><0x99>=γx<0xE1><0xB5><0xA3>+δ求解方程x3-2x-5=0，為保證迭代收斂，常數(shù)γ應(yīng)滿足的取值范圍是（）。10.在醫(yī)學(xué)圖像重建中，常用的迭代重建方法如conjugategradientmethod或SIRT等屬于求解（）的數(shù)值方法。三、計(jì)算題（每小題8分，共32分。）11.試用二分法求方程x3-x-1=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求誤差不超過(guò)10?3。請(qǐng)寫(xiě)出迭代過(guò)程，并給出最終結(jié)果。12.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)如下：(-1,0),(0,1),(1,0)。試構(gòu)造過(guò)這三點(diǎn)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式P?(x)。13.用歐拉法（步長(zhǎng)h=0.1）求解初值問(wèn)題y'=-2xy,y(0)=1在區(qū)間[0,0.5]上的數(shù)值解，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。14.設(shè)線性方程組為3x+0.1y=1,0.1x+7y=0.3。分別計(jì)算該方程組的系數(shù)矩陣A的條件數(shù)K(∞)（即最大特征值與最小特征值之比），并簡(jiǎn)要分析用雅可比法求解此方程組的收斂性。四、應(yīng)用與分析題（每小題12分，共24分。）15.在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中，常需要從信號(hào)中去除高頻噪聲。假設(shè)信號(hào)由兩部分組成：一個(gè)緩慢變化的趨勢(shì)項(xiàng)和一個(gè)高頻噪聲項(xiàng)。試說(shuō)明（1）簡(jiǎn)單的移動(dòng)平均濾波（使用有限個(gè)最近點(diǎn)求平均值）可以看作是一種數(shù)值積分方法（如梯形法則或辛普森法則）的近似形式；（2）比較移動(dòng)平均濾波和樣條插值在平滑信號(hào)時(shí)的區(qū)別和潛在優(yōu)缺點(diǎn)。16.考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的房室模型，描述藥物在體內(nèi)的分布。模型包含一個(gè)中央室（如血液）和一個(gè)外圍室（如肌肉組織）。藥物從中央室流入外圍室，同時(shí)從外圍室清除。試用一階常微分方程組描述該模型，并選擇一種合適的數(shù)值方法（如歐拉法或龍格-庫(kù)塔法），說(shuō)明如何通過(guò)編程計(jì)算藥物在中央室和外周室濃度隨時(shí)間變化的近似曲線。無(wú)需寫(xiě)出具體代碼，但需清晰闡述模型方程、初始條件、數(shù)值方法和計(jì)算步驟。---試卷答案一、選擇題1.D2.C3.D4.C5.B二、填空題6.舍入誤差7.高斯-賽德?tīng)柗?.積分和（或積分近似）9.0<γ<210.矩陣方程Ax=b（或Ax=b的最小二乘解）三、計(jì)算題11.解：f(x)=x3-x-1。f(1)=-1,f(2)=5。f(1)f(2)<0，根在(1,2)內(nèi)。a.x?=(1+2)/2=1.5,f(1.5)=1.53-1.5-1=0.875。f(1)f(1.5)<0，根在(1,1.5)內(nèi)。b.x?=(1+1.5)/2=1.25,f(1.25)=1.253-1.25-1=-0.296875。f(1.25)f(1.5)<0，根在(1.25,1.5)內(nèi)。c.x?=(1.25+1.5)/2=1.375,f(1.375)=1.3753-1.375-1=0.23046875。f(1.375)f(1.25)<0，根在(1.25,1.375)內(nèi)。d.x?=(1.25+1.375)/2=1.3125,f(1.3125)=1.31253-1.3125-1=-0.0312500。f(1.3125)f(1.375)<0，根在(1.3125,1.375)內(nèi)。e.x?=(1.3125+1.375)/2=1.34375,f(1.34375)=1.343753-1.34375-1=0.09765625。f(1.34375)f(1.3125)<0，根在(1.3125,1.34375)內(nèi)。f.x?=(1.3125+1.34375)/2=1.328125,f(1.328125)=1.3281253-1.328125-1=0.033203125。f(1.328125)f(1.3125)<0，根在(1.3125,1.328125)內(nèi)。g.x?=(1.3125+1.328125)/2=1.3203125,f(1.3203125)=1.32031253-1.3203125-1=-0.00415039。f(1.3203125)f(1.328125)<0，根在(1.3203125,1.328125)內(nèi)。h.x?=(1.3203125+1.328125)/2=1.32421875,f(1.32421875)=1.324218753-1.32421875-1=0.01464844。f(1.32421875)f(1.3203125)<0，根在(1.3203125,1.32421875)內(nèi)。i.x?=(1.3203125+1.32421875)/2=1.322265625,f(1.322265625)=1.3222656253-1.322265625-1=0.005253906。f(1.322265625)f(1.3203125)<0，根在(1.3203125,1.322265625)內(nèi)。j.x??=(1.3203125+1.322265625)/2=1.321289062,f(1.321289062)=1.3212890623-1.321289062-1=0.000561523。f(1.321289062)f(1.3203125)<0，根在(1.3203125,1.321289062)內(nèi)。k.x??=(1.3203125+1.321289062)/2=1.320800781,f(1.320800781)=1.3208007813-1.320800781-1=-0.001794873。f(1.320800781)f(1.321289062)<0，根在(1.320800781,1.321289062)內(nèi)。l.x??=(1.320800781+1.321289062)/2=1.321044922,f(1.321044922)=1.3210449223-1.321044922-1=-0.000616796。f(1.321044922)f(1.321289062)<0，根在(1.321044922,1.321289062)內(nèi)。m.x??=(1.321044922+1.321289062)/2=1.321168493,f(1.321168493)=1.3211684933-1.321168493-1=-0.000052858。f(1.321168493)f(1.321289062)<0，根在(1.321168493,1.321289062)內(nèi)。n.x??=(1.321168493+1.321289062)/2=1.321229278,f(1.321229278)=1.3212292783-1.321229278-1=-0.000002497。f(1.321229278)f(1.321289062)<0，根在(1.321229278,1.321289062)內(nèi)。o.x??=(1.321229278+1.321289062)/2=1.321339219,f(1.321339219)=1.3213392193-1.321339219-1=0.000002497。f(1.321339219)f(1.321229278)<0，根在(1.321229278,1.321339219)內(nèi)。p.x??=(1.321229278+1.321339219)/2=1.321334248,|x??-x??|=0.000005941<10?3。迭代過(guò)程結(jié)束。最終根的近似值為x≈1.321334。12.解：Lagrange插值基函數(shù)：L?(x)=[(x-x?)(x-x?)(x-x?)]/[(-1-0)(-1-1)(-1-1)]=(x2+x)(x+1)L?(x)=[(x-x?)(x-x?)(x-x?)]/[(-1-0)(0-1)(0-1)]=-(x2+x)L?(x)=[(x-x?)(x-x?)(x-x?)]/[(0-(-1))(1-(-1))(1-0)]=x(x-1)P?(x)=y?L?(x)+y?L?(x)+y?L?(x)P?(x)=0*(x2+x)(x+1)+1*(-(x2+x))+0*x(x-1)P?(x)=-(x2+x)=-x2-x13.解：y'=-2xy,y(0)=1,h=0.1。歐拉公式：y_{n+1}=y?+h*f(x?,y?)計(jì)算過(guò)程：n=0,x?=0,y?=1y?=y?+0.1*(-2*x?*y?)=1+0.1*(-2*0*1)=1n=1,x?=0.1,y?=1y?=y?+0.1*(-2*x?*y?)=1+0.1*(-2*0.1*1)=1-0.02=0.98n=2,x?=0.2,y?=0.98y?=y?+0.1*(-2*x?*y?)=0.98+0.1*(-2*0.2*0.98)=0.98-0.392=0.588n=3,x?=0.3,y?=0.588y?=y?+0.1*(-2*x?*y?)=0.588+0.1*(-2*0.3*0.588)=0.588-0.353=0.235n=4,x?=0.4,y?=0.235y?=y?+0.1*(-2*x?*y?)=0.235+0.1*(-2*0.4*0.235)=0.235-0.188=0.047數(shù)值解為：y(0.1)≈1,y(0.2)≈0.98,y(0.3)≈0.588,y(0.4)≈0.235,y(0.5)≈0.047。14.解：方程組3x+0.1y=1,0.1x+7y=0.3對(duì)應(yīng)矩陣A=[[3,0.1],[0.1,7]],b=[1,0.3]。A的特征值λ?,λ?分別為3.1和6.9。K(∞)=λ?/λ?=3.1/6.9≈0.449。由于K(∞)<1，說(shuō)明矩陣A是良態(tài)的。對(duì)于雅可比迭代法，松弛因子ω=2/(1+max(λ?))=2/(1+max(3.1,6.9))=2/9.9≈0.202。由于K(∞)<1，雅可比迭代法收斂。方程組對(duì)于初始值的選取是敏感的（因?yàn)镵(∞)不接近1）。四、應(yīng)用與分析題15.解：(1)簡(jiǎn)單的移動(dòng)平均濾波可以看作是一種數(shù)值積分的近似。例如，計(jì)算n個(gè)最近數(shù)據(jù)點(diǎn)y?,y???,...,y??n??的算術(shù)平均值作為點(diǎn)x?的輸出z?：z?≈(1/n)*Σ??n??^iy?≈∫??n??^i(1/n)y(ξ)dξ(若y(t)連續(xù))這里的(1/n)可以看作是積分中“測(cè)度”或“權(quán)重”函數(shù)的近似。梯形法則或辛普森法則通過(guò)將積分區(qū)間分割為小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上用線性或二次多項(xiàng)式近似被積函數(shù)，也可以得到類(lèi)似的移動(dòng)平均效果，只是權(quán)重分布不同。例如，梯形法則近似為：z?≈(1/(2n))*[y??n??+2*Σ??n^iy?]≈∫??n??^iw(ξ)y(ξ)dξ,其中w(x)是帶權(quán)重的積分核。(2)移動(dòng)平均濾波和樣條插值平滑信號(hào)的區(qū)別：*移動(dòng)平均：對(duì)每個(gè)輸出點(diǎn)z?，只考慮其周?chē)邢迋€(gè)（n+1個(gè)）鄰居點(diǎn)的值，進(jìn)行簡(jiǎn)單平均。優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單、速度快。缺點(diǎn)是：會(huì)過(guò)度平滑，丟失信號(hào)中的細(xì)節(jié)和尖銳特征；對(duì)噪聲敏感（n越大越平滑，但也越模糊）；邊界效應(yīng)明顯（邊緣點(diǎn)缺乏足夠鄰居）。*樣條插值：通過(guò)在數(shù)據(jù)點(diǎn)之間構(gòu)造光滑的（通常是連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)甚至二階導(dǎo)數(shù)）分段函數(shù)來(lái)平滑。優(yōu)點(diǎn)是：可以在保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)位置和整體趨勢(shì)的同時(shí)，有效去除高頻噪聲；平滑程度可以通過(guò)插值階數(shù)和節(jié)點(diǎn)分布控制；沒(méi)有明顯的邊界效應(yīng)（如果節(jié)點(diǎn)足夠多）。缺點(diǎn)是：計(jì)算相對(duì)復(fù)雜；過(guò)度插值可能導(dǎo)致在數(shù)據(jù)點(diǎn)之間產(chǎn)生不真實(shí)的波動(dòng)（Runge現(xiàn)象）；對(duì)異常點(diǎn)敏感。選擇哪種方法取決于具體應(yīng)用需求：如果需要快速簡(jiǎn)單平滑且不介意丟失細(xì)節(jié)，移動(dòng)平均可能suffice；如果需要更精細(xì)的平滑，保留更多信號(hào)細(xì)節(jié)，并考慮數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的連續(xù)性，樣條插值更合適。16.解：考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的雙室模型（中央室C和外圍室E）的藥物動(dòng)力學(xué)模型。藥物從中央