2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學中的泛函逼近原理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個空間是Banach空間？(A)所有有界實函數(shù)組成的集合，關(guān)于函數(shù)的絕對值范數(shù)。(B)所有收斂的實數(shù)列組成的集合，關(guān)于數(shù)列的極限范數(shù)。(C)所有連續(xù)實函數(shù)在[0,1]上的積分組成的集合，關(guān)于積分的范數(shù)。(D)所有平方可積的實函數(shù)組成的集合，關(guān)于函數(shù)的平方范數(shù)。2.設(shè)$f$是定義在$[a,b]$上的實值函數(shù)，$\{P_n\}$是$[a,b]$的一個劃分，$x_i$是區(qū)間$[x_{i-1},x_i]$中的任意一點。下列哪個表達式是$f$在$[a,b]$上的Riemann和？(A)$\sum_{i=1}^nf(x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})$(B)$\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\cdot(x_i-x_{i-1})$(C)$\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf(x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})$(D)$\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\cdot(x_i-x_{i-1})$3.設(shè)$X$是度量空間，$A$是$X$的子集，$x\inX$。如果對于任意$\epsilon>0$，都存在$A$中的一點$y$，使得$d(x,y)<\epsilon$，則稱$x$是$A$的什么點？(A)內(nèi)點(B)邊界點(C)極限點(D)集中點4.下列哪個函數(shù)序列在$C[0,1]$空間中關(guān)于一致范數(shù)收斂？(A)$f_n(x)=x^n$，$n=1,2,3,\dots$(B)$f_n(x)=\frac{x}{n}$，$n=1,2,3,\dots$(C)$f_n(x)=\sin(nx)$，$n=1,2,3,\dots$(D)$f_n(x)=e^{-nx}$，$n=1,2,3,\dots$5.Stone-Weierstrass定理的結(jié)論是：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用哪個函數(shù)類來一致逼近？(A)多項式函數(shù)(B)正則函數(shù)(C)有理函數(shù)(D)基于某個子代數(shù)的連續(xù)函數(shù)二、填空題1.設(shè)$X$是線性空間，$\phi$是$X$上的線性泛函，如果$\phi(x)\geq0$對所有的$x\inX$都成立，且存在$x_0\inX$使得$\phi(x_0)=1$，則稱$\phi$是$X$上的一個______。2.設(shè)$f$是定義在$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)，$A$是$f$在$[a,b]$上的所有連續(xù)逼近函數(shù)組成的集合。如果$g\inA$，且對所有的$h\inA$，都有$\|f-g\|_\infty\leq\|f-h\|_\infty$，則稱$g$是$f$在$[a,b]$上的一個______。3.Weierstrass逼近定理的結(jié)論是：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用______函數(shù)類來一致逼近。4.設(shè)$\{f_n\}$是Banach空間$X$中的一個點列，如果對任意$\epsilon>0$，都存在正整數(shù)$N$，使得當$m,n\geqN$時，都有$\|f_m-f_n\|<\epsilon$，則稱$\{f_n\}$是$X$中的一個______。5.Jackson逼近定理給出了Weierstrass逼近定理的改進，它表明：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用______來一致逼近，且逼近誤差可以由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來控制。三、計算題1.設(shè)$f(x)=x^2$，$g(x)=x$，定義在$[0,1]$上。求$f$和$g$在$[0,1]$上的Chebyshev多項式逼近。2.證明：函數(shù)序列$\{f_n(x)\}=\{x^n\}$在$[0,1]$上關(guān)于均勻范數(shù)不收斂，但在$(0,1)$內(nèi)點列收斂于哪個函數(shù)？四、證明題1.證明：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式函數(shù)來一致逼近。2.設(shè)$\{f_n\}$是Banach空間$X$中的一個強列緊點列，證明：$\{f_n\}$的任意子列都存在一個收斂的子子列。五、論述題1.比較Weierstrass逼近定理和Stone-Weierstrass定理的異同，并說明Stone-Weierstrass定理的適用范圍。2.探討泛函逼近原理在數(shù)值分析、信號處理、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域的應(yīng)用，并舉例說明。試卷答案一、選擇題1.(D)解析：選項(A)中，有界實函數(shù)集合關(guān)于絕對值范數(shù)不構(gòu)成Banach空間，因為不是所有Cauchy序列都收斂。選項(B)中，收斂的實數(shù)列集合關(guān)于極限范數(shù)構(gòu)成Banach空間（即$\ell^\infty$空間），但題目問的是Banach空間，需考慮更一般的情況。選項(C)中，連續(xù)實函數(shù)在[0,1]上的積分集合不構(gòu)成線性空間。選項(D)中，所有平方可積的實函數(shù)組成的集合，即$L^2[0,1]$，關(guān)于函數(shù)的平方范數(shù)構(gòu)成Banach空間。因此，正確答案是(D)。2.(B)解析：Riemann和的定義是$f$在子區(qū)間$[x_{i-1},x_i]$中某點$x_i$處函數(shù)值的$f(x_i)$乘以子區(qū)間長度$(x_i-x_{i-1})$的總和。因此，正確答案是(B)。3.(C)解析：根據(jù)極限點的定義，如果對于任意$\epsilon>0$，$x$的$\epsilon$鄰域內(nèi)都包含$A$中異于$x$的點，則$x$是$A$的極限點。這與題目描述一致。內(nèi)點要求鄰域完全在$A$內(nèi)，邊界點在邊界上，集中點不是標準術(shù)語。因此，正確答案是(C)。4.(D)解析：考察一致收斂性，即$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|\to0$。對于(A)，$f_n(1)=1$，故不收斂。對于(B)，$\sup|f_n(x)|=\frac{1}{n}\to0$，故一致收斂于0。對于(C)，由于$f_n(x)$在$x=0$處連續(xù)且在$x=\frac{2k\pi}{n}$處取值為1或-1，故不收斂。對于(D)，$f_n(x)=e^{-nx}$在$[0,1]$上連續(xù)，且$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)|=1$，當$n\to\infty$時，$f_n(x)\to0$，故一致收斂于0。因此，正確答案是(D)。5.(D)解析：Stone-Weierstrass定理的結(jié)論是：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用某個子代數(shù)$\mathcal{A}$（包含常數(shù)函數(shù)、特征函數(shù)、緊支撐的連續(xù)函數(shù)，且對極限、乘積封閉）生成的代數(shù)$\mathcal{A}(\mathcal{C}[a,b])$來一致逼近。選項(A)只是特例。選項(B)和(C)是某些函數(shù)類的性質(zhì)，不是Stone-Weierstrass定理的結(jié)論。因此，正確答案是(D)。二、填空題1.正則函數(shù)解析：根據(jù)線性泛函的定義，滿足$\phi(x)\geq0$對所有的$x\inX$都成立，且存在$x_0\inX$使得$\phi(x_0)=1$的線性泛函稱為正則函數(shù)。2.最佳逼近元解析：根據(jù)最佳逼近元的定義，在逼近函數(shù)集合$A$中，使得$f$與$g$之間距離（一致距離）最小的$g$，即為$f$在$[a,b]$上的最佳逼近元。3.多項式解析：Weierstrass逼近定理的經(jīng)典結(jié)論是：任何在緊區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式函數(shù)類來一致逼近。4.Cauchy序列解析：根據(jù)Cauchy序列的定義，如果一個點列$\{f_n\}$中任意兩個元素的距離隨著$n$的增大可以任意小，則稱該點列為Cauchy序列。5.滿足一定導(dǎo)數(shù)有界條件的多項式解析：Jackson逼近定理指出，連續(xù)函數(shù)可以用多項式一致逼近，且逼近誤差由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的有界性來控制，通常指高階導(dǎo)數(shù)的范數(shù)。三、計算題1.解析：Chebyshev多項式是$[-1,1]$上的最佳一致逼近零次多項式（在給定節(jié)點下的最佳逼近）。對于$[0,1]$上的函數(shù)$f(x)=x^2$，其Chebyshev逼近多項式可以通過變換$x=\cos\theta$，$dx=-\sin\thetad\theta$，將問題轉(zhuǎn)化為$[-1,1]$區(qū)間上的問題，或直接利用Chebyshev多項式的性質(zhì)求解。最終得到$f(x)=x^2$在$[0,1]$上的Chebyshev逼近多項式為$\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\cos((2k+1)\arccosx)}{(2k+1)^2}$。在$[0,1]$區(qū)間上，此表達式可簡化為$\frac{1}{3}x^2$，但這并非最佳逼近，需要通過切比雪夫節(jié)點進行多項式擬合。嚴格求解過程較復(fù)雜，通常使用數(shù)值方法或查表得到。2.解析：考察一致收斂性，即$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|\to0$。對于序列$f_n(x)=x^n$：-當$x\in[0,1)$時，$f_n(x)\to0$。-當$x=1$時，$f_n(1)=1^n=1$。因此，$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in[0,1)}x^n=1$（當$x\to1^-$時）。所以，$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=1$，不趨于0，故序列在$[0,1]$上關(guān)于均勻范數(shù)不收斂于0?？疾煸?(0,1)$內(nèi)點列收斂性，任取$x_0\in(0,1)$，則$|f_n(x_0)-0|=x_0^n\to0$（因為$0<x_0<1$）。所以，序列在$(0,1)$內(nèi)點列收斂于函數(shù)$f(x)=0$。四、證明題1.解析：證明思路如下：(i)應(yīng)用Weierstrass逼近定理：由于多項式函數(shù)是$C[[-1,1]]$空間中的代數(shù)，且包含常數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)（可通過多項式逼近），故由Weierstrass定理，任何在$[-1,1]$上的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式一致逼近。(ii)區(qū)間映射：將$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)$f(x)$通過線性變換$x=\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2}$（其中$t\in[-1,1]$）映射到$[-1,1]$上，得到$g(t)=f(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2})$。$g(t)$在$[-1,1]$上連續(xù)，故可用多項式$P(t)$一致逼近$g(t)$，即$\|g-P\|_\infty<\epsilon$。(iii)反演映射：令$Q(x)=P(\frac{2x-(a+b)}{b-a})$，則$Q(x)$是$x$的多項式。由于$\|f-Q\|_\infty=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-Q(x)|=\sup_{t\in[-1,1]}|g(t)-P(t)|=\|g-P\|_\infty<\epsilon$。因此，$Q(x)$是一致逼近$f(x)$的多項式。證畢。2.解析：證明思路如下：(i)強列緊定義：$\{f_n\}$是強列緊的，意味著對任意$\epsilon>0$，存在有限子覆蓋$\{f_{n_k}\}$，使得$\sup_{m,n\geqn_k}\|f_m-f_n\|<\epsilon$。(ii)構(gòu)造一個新的序列：考慮函數(shù)列$\{g_n\}=\{f_{n_k}\}$。根據(jù)強列緊的定義，$\{g_n\}$是Cauchy序列。(iii)完備性：由于$X$是Banach空間，故完備。Cauchy序列$\{g_n\}$必然收斂，即存在$f\inX$使得$g_n\tof$（在強拓撲下，即范數(shù)收斂）。(iv)子列收斂性：因此，$\{f_{n_k}\}$是收斂的子列（收斂于$f$）。所以，$\{f_n\}$的任意子列$\{f_{n_j}\}$都包含一個收斂的子子列$\{f_{n_{j_k}}\}$（即$\{f_{n_{j_k}}\}\subseteq\{f_{n_k}\}$），而$\{f_{n_k}\}$已收斂于$f$，故$\{f_{n_{j_k}}\}$也收斂于$f$。證畢。五、論述題1.解析：-相同點：-都是在緊區(qū)間$[a,b]$上關(guān)于一致范數(shù)對連續(xù)函數(shù)的逼近定理。-都基于連續(xù)函數(shù)代數(shù)的性質(zhì)（如Weierstrass定理基于多項式代數(shù)，Stone-Weierstrass基于更廣泛的代數(shù)）。-都證明了連續(xù)函數(shù)可以用某種“簡單”函數(shù)類（多項式或更一般的函數(shù)）來任意精確地一致逼近。-不同點：-Stone-Weierstrass定理的結(jié)論更強，它不僅限于多項式，而是允許任意包含常數(shù)函數(shù)、特征函數(shù)、緊支撐連續(xù)函數(shù)的代數(shù)$\mathcal{A}$，只要該代數(shù)在$C[0,1]$中封閉于極限、乘積和復(fù)合運算，就可以一致逼近所有連續(xù)函數(shù)。-Weierstrass定理是Stone-Weierstrass定理的一個特例，它只考慮多項式函數(shù)類。-Stone-Weierstrass定理的應(yīng)用范圍更廣，因為它允許更豐富的函數(shù)類，可以處理更復(fù)雜的情況。-適用范圍：-Weierstrass定理適用于任何緊區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，逼近函數(shù)類為多項式。-Stone-Weierstrass定理適用于更廣泛的函數(shù)類，只要滿足定理中