第二十六章二次函數(shù)26.3

實(shí)踐與探索

第1課時(shí)拋物線形實(shí)際問題1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．（重點(diǎn)）2.利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的拋物線有關(guān)問題．（難點(diǎn)）3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．

例1

如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時(shí)，拱頂離水面2米.現(xiàn)在想了解水面寬度變化時(shí)，拱頂離水面的高度怎樣變化．你能想出辦法來嗎？拱橋問題怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，因此這個(gè)二次函數(shù)的形式為xOy-2-421-2-1AxOy-221-2-1A

如何確定

a

的值？因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y

是拱頂離水面高度的相反數(shù)，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時(shí)，拱頂離水面高度怎樣變化．已知水面寬

4

m時(shí)，拱頂離水面高

2

m，因此點(diǎn)

A(2，-2)在拋物線上，由此得出解得由于拱橋的跨度為4.9m，因此自變量

x的取值范圍是：水面寬3m時(shí)，從而因此拱頂離水面高1.125m現(xiàn)在你能求出水面寬3m時(shí)，拱頂離水面高多少嗎？這條拋物線表示的二次函數(shù)為

y

=xOy?2?421?2?1B

水面下降1m，水面寬度增加多少？當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為

-3.令

解得即水面下降1m時(shí)，水面寬度增加我們來比較下面這些建系的方法（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）誰最合適？為什么？yyyyooooxxxx例2

某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子

OA，O恰在水面中心，

OA=1.25m，由柱子頂端

A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離

OA距離為1m處達(dá)到距水面最大高度2.25m.如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑至少要多少才能使噴出的水流不致落到池外？噴水問題解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意得

A點(diǎn)坐標(biāo)為

(0，1.25)，頂點(diǎn)

B坐標(biāo)為(1，2.25).數(shù)學(xué)化o●C●Dxy●

B(1，2.25)

(0，1.25)A●根據(jù)對(duì)稱性，如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑至少要2.5m，才能使噴出的水流不致落到池外.

當(dāng)

y=0時(shí)，可求得點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(2.5，0)；同理，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2.5，0).設(shè)

y軸右側(cè)的拋物線為

y=a(x+h)2+k，由待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式為

y=-(x-

1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)oAxy●D●C

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件

60元，每星期可賣出

300件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件

40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤是

元.180006000數(shù)量關(guān)系（1）銷售額

=

單價(jià)×銷售量；（2）利潤

=

銷售額

-

總成本

=單件利潤×銷售量；（3）單件利潤

=

銷售單價(jià)

-

進(jìn)價(jià).銷售問題例3某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量是200件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元．(1)每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤恰為2160元？(2)每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？解：設(shè)每件玩具的售價(jià)定為x元時(shí)，月銷售利潤恰為2160元，根據(jù)題意，得整理，得解得∵每件玩具售價(jià)不能高于40元，答：每件玩具的售價(jià)定為38或32元時(shí)，月銷售利潤恰為2160元；（2）解：設(shè)每件玩具的售價(jià)定為x元，月銷售利潤為y元，根據(jù)題意，得：∵∴當(dāng)x=35時(shí)，y有最大值為2250，答：每件玩具的售價(jià)定為35元時(shí)可使月銷售利潤最大，最大的月利潤是2250元．知識(shí)要點(diǎn)求解最大利潤問題的一般步驟(1)建立利潤與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：

運(yùn)用“總利潤

=

總售價(jià)

-

總成本”或“總利潤

=

單件利潤×銷售量”；(2)結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；(3)在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：

可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出

函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和增減性求出.投球問題例4

如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關(guān)系是

則鉛球推出的距離是多少？1.

某種商品每件的進(jìn)價(jià)為

20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件

x元(20≤x≤30)出售，可賣出

(600－20x)件，為使利潤最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為

元.252.進(jìn)價(jià)為80元的某件定價(jià)100元時(shí)，每月可賣出2000件，價(jià)格每上漲1元，銷售量便減少

5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)

y(件)與襯衣售價(jià)

x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤

w(元)與襯衣售價(jià)

x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡(jiǎn)).

y=2000-

5(x

-

100)w=[2000-

5(x

-

100)](x

-

80)3.足球被從地面上踢起，它距地面的高度

h(m)

可用公式

h

=

-4.9t2+

19.6t來表示，其中

t

(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間，則球在

s后落地.44.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度

y(米)關(guān)于水平距離

x(米)的函數(shù)表達(dá)式為

，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為

米.xyO25.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖①中有一座拱橋，圖②是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材2為迎佳節(jié)，擬在圖①橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖③.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖②中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍.任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).解：任務(wù)1.以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖①所示的直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，且過點(diǎn)B(10，－5)．任務(wù)3.方案一：如圖②(坐標(biāo)軸的橫軸)，從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠，∵－6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，∴若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，1.6×4＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛3盞燈籠時(shí)，1.6×3＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛3盞燈籠．∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛7盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為－1.6×3＝－4.8.方案二：如圖③，∵若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛5盞燈籠時(shí)，0.8＋1.6×(5－1)＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，0.8＋1.6×(4－1)＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛4盞燈籠．∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛8盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為－0.8－1.6×3＝－5.6.轉(zhuǎn)化回歸