試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)河北省百師聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．3．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．為響應(yīng)“全民健身+電競(jìng)”融合潮流，某電競(jìng)館舉辦“運(yùn)動(dòng)達(dá)人電競(jìng)賽”，賽前通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了18名選手1分鐘內(nèi)健身操動(dòng)作完成數(shù)，結(jié)合電競(jìng)互動(dòng)得分換算后如下(單位∶分)∶105112118120123125127129130132135137139141143145147150這18名選手1分鐘內(nèi)健身操動(dòng)作完成得分的第60百分位數(shù)為（

）A．132 B．133.5 C．135 D．1366．已知圓臺(tái)的上、下底面面積分別為16π和36π，其側(cè)面積為30π，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為(參考數(shù)據(jù)∶)（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A．190 B．380 C．210 D．420二、多選題9．已知曲線(xiàn)的方程為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．曲線(xiàn)可以是圓B．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)D．當(dāng)曲線(xiàn)是橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)，焦距均為610．設(shè)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為B．C．D．11．關(guān)于函數(shù)，有下述四個(gè)結(jié)論，則正確的有（

）A．是的一個(gè)周期B．的最小值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在上有4052個(gè)零點(diǎn)三、填空題12．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．已知向量，，若在方向上的投影向量為，則．14．在三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為四、解答題15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角；(2)若邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為，求面積的最大值．16．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，為正三角形，，.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．在校園文化建設(shè)中，社團(tuán)活動(dòng)豐富多彩．學(xué)校為了解高一、二學(xué)生對(duì)手工制作社團(tuán)的參與熱情，將每月參與手工制作社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)超過(guò)4次的學(xué)生認(rèn)定為“積極參與”，每月參與手工制作社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)不超過(guò)4次甚至從不參與的學(xué)生認(rèn)定為“一般參與”．隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：學(xué)生參與熱情合計(jì)積極參與一般參與高一學(xué)生302050高二學(xué)生252550合計(jì)5545100(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生是否積極參與手工制作社團(tuán)與年級(jí)有關(guān)聯(lián)？(2)該校學(xué)生小李周一、周二計(jì)劃參與社團(tuán)活動(dòng)，且周一從手工制作社團(tuán)、繪畫(huà)社團(tuán)中隨機(jī)選一個(gè)．若周一選手工制作社團(tuán)，周二選手工制作社團(tuán)的概率為；若周一選繪畫(huà)社團(tuán)，周二選手工制作社團(tuán)的概率為．求小李周二選繪畫(huà)社團(tuán)的概率．(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校高一、二學(xué)生中隨機(jī)抽取20名，記其中“積極參與”手工制作社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為，記“”的概率為，求使取得最大值的的值．參考公式及數(shù)據(jù)：其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為4，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求曲線(xiàn)的方程．(2)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，直線(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)．①求的值；②若，求面積的最大值．19．已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《河北省百師聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CCBDCAACBCDABC題號(hào)11答案BD1．C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，，而，所以.故選：C2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】由題意得，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3．B【分析】確定函數(shù)的奇偶性并排除部分選項(xiàng)，再利用特值判斷即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)AD不符合要求；又，選項(xiàng)C不符合要求，B符合.故選：B4．D【分析】利用余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，故選：D5．C【分析】根據(jù)給定條件，利用第60百分位數(shù)的定義求解即得.【詳解】由，得第60百分位數(shù)應(yīng)是從小到大排列中的第11個(gè)數(shù)，即135.故選：C6．A【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺(tái)的上下底面半徑及高，再利用圓臺(tái)體積公式求解.【詳解】依題意，圓臺(tái)的上下底面半徑為，設(shè)圓臺(tái)母線(xiàn)為，由圓臺(tái)的側(cè)面積為30π，得，解得，圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積故選：A7．A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并探討單調(diào)性，再結(jié)合給定數(shù)據(jù)比較大小.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由，所以.故選：A8．C【分析】利用迭代法和不完全歸納法可作出判斷.【詳解】根據(jù)，由可得，，，由此可歸納通項(xiàng)公式為，則，故選：C.9．BCD【分析】根據(jù)圓、橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意曲線(xiàn)的方程為，顯然，所以曲線(xiàn)不可能是圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，C選項(xiàng)正確；由于恒成立，所以當(dāng)曲線(xiàn)是橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)，焦點(diǎn)均在軸，當(dāng)曲線(xiàn)是橢圓時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)B可知，，此時(shí)，解得，當(dāng)曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)C可知，，此時(shí)，解得，所以當(dāng)曲線(xiàn)是橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)，焦距均為6，D選項(xiàng)正確；故選：BCD10．ABC【分析】A選項(xiàng)，由結(jié)論直接可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為，A正確；B選項(xiàng)，令得；C選項(xiàng)，賦值得到，相加可得C正確；D選項(xiàng)，令得，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，B正確；C選項(xiàng)，中，令得①，令得②，兩式①+②得，即，C正確；D選項(xiàng)，，由二項(xiàng)式定理得，故，，令得，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．BD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，且，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，整體法得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)，先得到為偶函數(shù)，并得到時(shí)，的一個(gè)周期為，考慮，得到的分段函數(shù)，令，可得，，從而得到上零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，，，故不是的一個(gè)周期，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，故的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，故，由于在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由于，所以時(shí)，的一個(gè)周期為，先考慮，此時(shí)，令，可得，，故上有個(gè)零點(diǎn)，同理可得上有2026個(gè)零點(diǎn)，綜上，在上有4052個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：BD12．【分析】求解含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)充分不必要條件得到集合之間的包含關(guān)系，再列式求解參數(shù)范圍即可.【詳解】不等式，即，因此解集為，若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，有（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故答案為：.13．【分析】利用投影向量的公式和數(shù)量積、模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示列式求解即可.【詳解】設(shè)的夾角為，由題意在方向上的投影向量為，所以，解得，故答案為：14．【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圓半徑，利用圓心與球心的連線(xiàn)垂直于底面構(gòu)成直角三角形即可求出外接球的半徑，進(jìn)而可得其表面積.【詳解】在底面中，，，由余弦定理，可得，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，在中，由正弦定理可得，解得，因?yàn)槠矫?，平面，且球心到點(diǎn)的距離相等，所以球心到底面的距離為，在中，，故該三棱錐外接球的表面積為，故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，再利用輔助角公式求角即可；（2）由是中點(diǎn)可得，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面積公式即可.【詳解】（1）在中，，代入整理得，又因?yàn)?，，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，解?（2）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，兩邊平方得，所以，即，又由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即面積的最大值為.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，利用線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為正三角形，又為正三角形，則，，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則，可得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)該校學(xué)生積極參與手工制作社團(tuán)與年級(jí)沒(méi)有關(guān)聯(lián)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，代入的計(jì)算公式，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念求解即可；（2）根據(jù)全概率公式和對(duì)立事件概率公式求解即可；（3）由二項(xiàng)分布的概率公式求出的表達(dá)式，求出最值即可.【詳解】（1）零假設(shè)：該校學(xué)生積極參與手工制作社團(tuán)與年級(jí)無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表，由可得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們沒(méi)有充足的理由推斷不成立，所以認(rèn)為該校學(xué)生積極參與手工制作社團(tuán)與年級(jí)沒(méi)有關(guān)聯(lián).（2）設(shè)事件“周一選手工制作社團(tuán)”，則“周一選繪畫(huà)社團(tuán)”，設(shè)事件“周二選手工制作社團(tuán)”，則“周二選繪畫(huà)社團(tuán)”，由題意可知，，，所以，所以，即小李周二選繪畫(huà)社團(tuán)的概率為.（3）由頻率估計(jì)概率，從該校高一、二學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生“積極參與”手工制作社團(tuán)的概率，則，所以，所以，若，即，，解得，若，即，，解得，所以當(dāng)時(shí)，最大.18．(1)(2)①；②【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和弦長(zhǎng)公式求解即可；（2）①設(shè)，，利用斜率的坐標(biāo)運(yùn)算公式寫(xiě)出直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率表達(dá)式，將直線(xiàn)方程和曲線(xiàn)方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)并計(jì)算求出即可；②利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到面積的表達(dá)式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求面積的最大值即可.【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得，整理得，所以曲線(xiàn)的方程為.（2）①設(shè)，，因?yàn)閮牲c(diǎn)在曲線(xiàn)上，則，，則，同理，聯(lián)立，消去得，所以，，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，所以，將，代入得，解得.②由①可知聯(lián)立，消去得，所以，，又，解得，所以，因?yàn)椋c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以的面積，令，則，由得，所以，則，令解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.19．(1)答案見(jiàn)解析；(2)①；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類(lèi)討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）①由（1）的結(jié)論，結(jié)合極大值、最小值及零點(diǎn)存在性定理求出范圍；②根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并利用極值點(diǎn)偏移推理得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，