湖南省長沙市長沙大學(xué)附屬中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合A={1,2},B={1,2,3},A．? B．{1,2,3} C．3 D．{1,2}2.已知z=12A．12 B．22 C．323.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=4，A=π3，且BE為邊AC上的高，ADA．2 B．?2 C．6 D．?64.已知sinα?πA．?79 B．79 C．?5.已知l,m是兩條不同的直線，α為平面，A．若l∩α=A，且l與α不垂直，則B．若l與α不平行，則l與m一定是異面直線C．若l∩α=A，且A?D．若l//α，則l與6.已知函數(shù)f(x)=?xA．(?∞,?1] B．[?1,0] C．[0,17.已知函數(shù)f(x)=A．π6 B．π3 C．?28.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減，且f(3)=0，若關(guān)于x的不等式(mxA．2e3 B．2e2 C．2二、多選題9.數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,p，那么當(dāng)n比較大時(shí)，X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其密度函數(shù)為φμ，σx=1A．當(dāng)x>0時(shí)，B．ΦC．隨機(jī)變量XNμ,σ2，當(dāng)μ，D．隨機(jī)變量XNμ,σ2，當(dāng)μ增大，σ10.已知函數(shù)f(A．?x0B．函數(shù)f(C．曲線y=f(D．存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)f(x)的定義域11.已知點(diǎn)F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為k的直線lA．k的取值范圍為?1，0B．AMC．若NF=2MF，則kD．點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線NF上三、填空題12.若直線x+2y?2=013.若關(guān)于x的不等式lnx≤1a14.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個(gè)數(shù)之和為X；從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個(gè)數(shù)之和為Y.則PX四、解答題15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a（1）若a=4，b=5，求（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A16.已知橢圓C:x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知直線l:y=13x+17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD(1)求證：AB⊥(2)若CD⊥AD，求直線BP與平面18.已知函數(shù)fx=lnx?（1）若函數(shù)y=fx（2）記hx①當(dāng)a=1時(shí)，求h②若hx的最小值為2，求a19.（2025·天津）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，（1）求an，b（2）?n∈N?，（i）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈Tn（ii）求Tn湖南省長沙市長沙大學(xué)附屬中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合A={1,2},B={1,2,3},A．? B．{1,2,3} C．3 D．{1,2}【答案】D【解析】A∩所以(A故選D.2.已知z=12A．12 B．22 C．32【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)模的公式可知，|z故選：B．3.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=4，A=π3，且BE為邊AC上的高，ADA．2 B．?2 C．6 D．?6【答案】D【解析】因?yàn)锳D為邊BC上的中線，所以AD?又BE為邊AC上的高，所以AC?在Rt△ABE中，所以AD=1故選D.4.已知sinα?πA．?79 B．79 C．?【答案】B【解析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式得sin2由二倍角的余弦公式得cos(2故選：B5.已知l,m是兩條不同的直線，α為平面，A．若l∩α=A，且l與α不垂直，則B．若l與α不平行，則l與m一定是異面直線C．若l∩α=A，且A?D．若l//α，則l與【答案】D【解析】對(duì)A：在平面α內(nèi)，存在無數(shù)條直線和l垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)l?α?xí)r，l與對(duì)C：若l∩α=A，且A?對(duì)D：若l//α，在α內(nèi)存在直線與l垂直，故其可能與故選D.【分析】結(jié)合點(diǎn)線面之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得.6.已知函數(shù)f(x)=?xA．(?∞,?1] B．[?1,0] C．[0,1【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)=x解得?1≤a故選D．7.已知函數(shù)f(x)=A．π6 B．π3 C．?2【答案】A【解析】因?yàn)閳D象過點(diǎn)5π12,05π12為函數(shù)遞減區(qū)間上的零點(diǎn)，可得5π因?yàn)閨φ|<π故選A.8.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減，且f(3)=0，若關(guān)于x的不等式(mxA．2e3 B．2e2 C．2【答案】C【解析】解：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽所以(mx?2)f(x因?yàn)閒(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減，且f(3)=0，所以f(所以當(dāng)x∈(?∞,?1)∪(5,+∞)時(shí)，f(x?2)>0，當(dāng)因?yàn)閇(m?所以當(dāng)x∈[?1,5]時(shí)，(m?所以m?所以em當(dāng)且僅當(dāng)m=1，n故選C二、多選題9.數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,p，那么當(dāng)n比較大時(shí)，X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其密度函數(shù)為φμ，σx=1A．當(dāng)x>0時(shí)，B．ΦC．隨機(jī)變量XNμ,σ2，當(dāng)μ，D．隨機(jī)變量XNμ,σ2，當(dāng)μ增大，σ【答案】BD【解析】對(duì)于A：當(dāng)x>0時(shí)，P對(duì)于B：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：Φ?x=對(duì)于CD：根據(jù)正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中σ代表標(biāo)準(zhǔn)差，μ代表均值，x根據(jù)3σ原則可知X數(shù)值分布在μ?σ故選BD.10.已知函數(shù)f(A．?x0B．函數(shù)f(C．曲線y=f(D．存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)f(x)的定義域【答案】ABD【解析】因?yàn)閒(當(dāng)fx0=?52，所以2?5ex0f(?x)+fxf′(x)=5exe令f(x)=12y=ex,y=x+64?x有兩個(gè)交點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)故選：ABD.11.已知點(diǎn)F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為k的直線lA．k的取值范圍為?1，0B．AMC．若NF=2MF，則kD．點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線NF上【答案】ABD【解析】拋物線C：y2=8x，其焦點(diǎn)F2，0，準(zhǔn)線x=?2A選項(xiàng)，聯(lián)立y=kx+2y由直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，得k≠0解得?1<k<1且k≠0，即kB選項(xiàng)，過M、N作準(zhǔn)線垂線，垂足為由拋物線定義知MD=MF，根據(jù)平行線分線段成比例，可得AMAN=MDC選項(xiàng)，由NF=2MF，則設(shè)Mx1，又y1+yD選項(xiàng)，直線MF斜率kMF=y1xk設(shè)M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為M'，則kM'F=?kMF=kNF，且M'綜上，答案選ABD.三、填空題12.若直線x+2y?2=0【答案】255【解析】直線x+2y?2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為2,0若2,0是橢圓的焦點(diǎn)，0,1是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在x軸且c=2,b=1，所以a若0,1是橢圓的焦點(diǎn)，2,0是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在y軸且c=1,b=2，所以a所以橢圓的離心率為255或故答案為：255或13.若關(guān)于x的不等式lnx≤1a【答案】e【解析】由a≠0，x>0，原不等式可化為設(shè)fx=lnx?1x，則f′xx∈e2,+∞，f′x<0，x>e時(shí)，fx>0.y=當(dāng)a>0時(shí)，ab為直線y=1再令fx=0，可得x=e，所以ab取得最大值為e.此時(shí)a=e2【分析】由a≠0，x>0，原不等式可化為lnx?1x≤1ax?14.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個(gè)數(shù)之和為X；從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個(gè)數(shù)之和為Y.則PX【答案】5【解析】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，要滿足三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)偶數(shù)，總共有C9從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)偶數(shù)，總共有C5又Xmin=6,X接下來，找出X和Y相等的情況：當(dāng)X=Y=6當(dāng)X=Y=7當(dāng)X=當(dāng)X=Y=9所以PX四、解答題15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a（1）若a=4，b=5，求（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A【解析】（1）a=4，b=5，a+由余弦定理得cosC=（2）sinAcossinA?即sinA+即sinA+sinB+sinA+由正弦定理得a+因?yàn)閍+b+c=16，所以4△ABC的面積S=1聯(lián)立a+b=12與ab16.已知橢圓C:x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知直線l:y=13x+【解析】（1）由題意可得c=22故C的方程為x2（2）聯(lián)立x212+Δ=4m2設(shè)Ax1,AB=10解得m=±2，即m的值為17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD(1)求證：AB⊥(2)若CD⊥AD，求直線BP與平面【解析】(1)證明：由AP=AD，可知△BAP≌△BAD，所以取DP的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，則AE⊥DP，BE⊥所以DP⊥平面ABE又AB?平面ABE所以AB⊥(2)由(1)及AB//CD，可知CD⊥所以CD⊥平面PAD即AB⊥平面PAD以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，2，0)設(shè)P(0，則PD得P(0，所以DC=(1，0，0)，DP=(0，?1設(shè)平面PCD的法向量為n=(則n?DC=0可取n=(0，設(shè)直線BP與平面PCD所成角為α，則sinα=|所以直線BP與平面PCD所成角的正弦值為7418.已知函數(shù)fx=lnx?（1）若函數(shù)y=fx（2）記hx①當(dāng)a=1時(shí)，求h②若hx的最小值為2，求a【解析】（1）函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?,+∞，令設(shè)tx=lnxx，則t當(dāng)0<x<e時(shí)，t′x所以tx=lnxx因?yàn)閠1=0，te=1e，當(dāng)（2）①當(dāng)a=1時(shí)，h設(shè)mx=x令m′x=0當(dāng)0<x<1時(shí)，m′x<0所以mx=x?ln所以mminx=m1②hx由①知，2lnx?2x≥2所以0≤a19.（2025·天津）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，（1）求an，b（2）?n∈N?，（i）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈Tn（ii）求Tn【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn公比為則由題得2+d所以an（2）（i）證明：由（1）pnanbn當(dāng)pn設(shè)Sn所以2S所以?S所以Sn=8+3