2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——偏微分方程基礎(chǔ)知識考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列方程中，一階線性偏微分方程是（）。(A)u_x+u_y=0(B)u_xx+u_xy+u_yy=0(C)u_t=u_xx(D)yz_x+zx_y=z2.方程u_tt=u_xx的階數(shù)是（）。(A)1(B)2(C)3(D)43.方程u_x+xu_y=0的特征方程是（）。(A)dx/dy=1,dy/dx=x(B)dx/dy=-1,dy/dx=x(C)dx/dy=1,dy/dx=-x(D)dx/dy=-1,dy/dx=-x4.拉普拉斯方程?2u=0在直角坐標系下的形式是（）。(A)u_xx+u_yy=0(B)u_xx-u_yy=0(C)u_x-u_y=0(D)u_xx+u_yy+u_zz=05.下列方程中，可以通過分離變量法求解的是（）。(A)u_t=u_xx+u(B)u_xx+u_yy=0,u(x,0)=f(x),u_t(x,0)=g(x)(C)u_tt=c2u_xx,u(x,0)=0,u_t(x,0)=0,u_x(0,t)=0,u_x(L,t)=0(D)u_x+yu_y=x二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）1.偏微分方程u_x+yu_y=1的通解是.2.二階線性齊次偏微分方程u_xx-4u_xy+3u_yy=0的特征方程是.3.若函數(shù)u(x,y)滿足拉普拉斯方程u_xx+u_yy=0，則稱u(x,y)為.4.分離變量法適用于具有對稱性的偏微分方程，例如拉普拉斯方程、熱傳導方程和.5.邊界條件u(0,y)=0,u(L,y)=0稱為.三、計算題（每小題10分，共30分。）1.求解一階偏微分方程u_x+2u_y=x+2y。2.用分離變量法求解定解問題：u_xx=0,0<x<L,t>0,u(0,t)=0,u(L,t)=0,u(x,0)=f(x)。3.用分離變量法求解定解問題：u_t=u_xx,0<x<L,t>0,u(0,t)=0,u(L,t)=0,u(x,0)=\sin(\frac{\pix}{L})。四、簡答題（每小題5分，共10分。）1.簡述線性偏微分方程與非線性偏微分方程的區(qū)別。2.解釋什么是偏微分方程的定解問題。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(B)3.(C)4.(A)5.(C)二、填空題1.u=x+f(y)2.dx/dy=2±√23.調(diào)和函數(shù)4.波動方程5.端點齊次邊界條件三、計算題1.解：令u(x,y)=v(x)w(y)，代入方程得v'(x)w(y)+2v(x)w'(y)=x+2y。用分離變量法，設(shè)v'(x)w(y)=ax+by+c，v(x)w'(y)=ax+by+c。得v'(x)=ax+by+c,w'(y)=(ax+by+c)/2w(y)。分離變量得(1/w(y))w'(y)=(ax+by+c)/2w(y)=a(x/w(y))+b(y/w(y))+c/(2w(y))。由于右邊是x和y的函數(shù)，左邊是y的函數(shù)，所以右邊也必須是y的函數(shù)，且不依賴于x。這意味著a(x/w(y))=0，即a=0。所以(1/w(y))w'(y)=by/2+c/(2w(y))。令w(y)=z(y)，則w'(y)=z'，得到z'=byz+c/2。這是一個一階線性常微分方程，解得w(y)=e^(by^2/2)*(c/2*∫e^(-by^2/2)dy+C)?；卮胾(x,y)=v(x)w(y)=(x+c/2*∫e^(-by^2/2)dy+C)e^(by^2/2)。注意到原方程為線性方程，通解形式應(yīng)為u(x,y)=v(x)w(y)=vx+wy+f(x,y)。對比可知，f(x,y)=C，即通解為u(x,y)=x+f(y)，其中f(y)是任意函數(shù)。2.解：方程u_xx=0，令u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程得X''(x)T(t)=0。分離變量得X''(x)/X(x)=-T(t)/T(t)=0，即X''(x)=0。解得X(x)=Ax+B。由邊界條件u(0,t)=0，得X(0)T(t)=0，即B=0，所以X(x)=Ax。由邊界條件u(L,t)=0，得X(L)T(t)=0，即ALT(t)=0，由于T(t)不恒為零，所以A=0或L=0。由于L>0，所以A=0，與X(x)=Ax矛盾，故X(x)=0，與X(x)=Ax矛盾。因此，方程u_xx=0的通解為u(x,t)=f(x)+g(t)，其中f(x)和g(t)是任意函數(shù)。由初始條件u(x,0)=f(x)+g(0)=f(x)，得g(0)=0。所以g(t)是任意關(guān)于t的函數(shù)。因此，方程的解為u(x,t)=f(x)+g(t)，其中f(x)是任意函數(shù)，g(t)是任意關(guān)于t的函數(shù)。3.解：方程u_t=u_xx，令u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程得X(x)T'(t)=X''(x)T(t)。分離變量得X''(x)/X(x)=T'(t)/T(t)=-λ，其中λ是分離變量常數(shù)。得到兩個常微分方程：X''(x)+λX(x)=0，T'(t)+λT(t)=0。由邊界條件u(0,t)=0，得X(0)T(t)=0，即X(0)=0。由邊界條件u(L,t)=0，得X(L)T(t)=0，即X(L)=0。解X''(x)+λX(x)=0，考慮λ的取值：①若λ<0，設(shè)λ=-μ2，方程變?yōu)閄''-μ2X=0，通解為X(x)=Ae^(-μx)+Be^μx。由X(0)=0得A+B=0，即B=-A。由X(L)=0得A(e^(-μL)-e^μL)=0，由于L>0且μ>0，e^(-μL)-e^μL≠0，所以A=0，從而B=0，得X(x)=0，不符合要求。②若λ=0，方程變?yōu)閄''=0，通解為X(x)=Ax+B。由X(0)=0得B=0，由X(L)=0得AL=0，由于L>0，所以A=0，得X(x)=0，不符合要求。③若λ>0，設(shè)λ=ν2，方程變?yōu)閄''-ν2X=0，通解為X(x)=A\cos(νx)+B\sin(νx)。由X(0)=0得A=0，所以X(x)=B\sin(νx)。由X(L)=0得B\sin(νL)=0，由于B不恒為零，所以sin(νL)=0，即νL=nπ，n=1,2,3,...取ν_n=nπ/L，得到一系列特征函數(shù)X_n(x)=\sin(nπx/L)。對應(yīng)的特征值為λ_n=(nπ/L)2，n=1,2,3,...對應(yīng)的T_n(t)滿足T'(t)+(nπ/L)2T(t)=0，解得T_n(t)=C_ne^(-(nπ/L)2t)。由疊加原理，通解為u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin(nπx/L)e^(-(nπ/L)2t)。由初始條件u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin(nπx/L)=f(x)。由于f(x)=\sin(πx/L)，所以只有n=1時C_1\sin(πx/L)=\sin(πx/L)。因此C_1=1，其余C_n=0。所以解為u(x,t)=\sin(πx/L)e^-(π2/L2)t。四、簡答題1.答：線性偏微分方程是指方程中未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)都是一次的，即它們之間只有加減乘除運算，沒有乘方、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等非線性運算。例如，u_x+u_y=1是線性偏微分方程。非線性偏微分方