知識點65：電勢差與電場強度的關(guān)系題型一：等分法計算勻強電場的電場強度【知識思維方法技巧】勻強電場中等勢面未知計算電場強度的方法：等分法（1）等分法：勻強電場中，沿任意一個方向，電勢降落都是均勻的，故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差相等。如果把某兩點間的距離等分成n段，則每段兩端點間的電勢差等于原電勢差的eq\f(1,n)，采用這種等分間距求電勢問題的方法叫等分法。推論1：勻強電場中的任一線段AB的中點C的電勢φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如圖甲所示．推論2：勻強電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如圖乙所示．（2）若已知電場中某幾點的電勢，求勻強電場的電場強度的大小和方向時，可以利用等分法先找出一條等勢線，作等勢線的垂線就是電場線所在的直線，由電勢高的等勢線指向電勢低的等勢線是電場強度的方向，再根據(jù)E＝eq\f(U,d)(U是兩等勢面間的電勢差，d是該兩等勢面間的距離)求電場強度的大小。類型一：已知直角坐標(biāo)系空間位置模型【典例1a基礎(chǔ)題】如圖所示，勻強電場的方向平行于xOy坐標(biāo)系平面，其中坐標(biāo)原點O處的電勢為2V，a點的坐標(biāo)為(0cm，4cm)，電勢為8V，b點的坐標(biāo)為(3cm，0cm)，電勢為8V，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，則電場強度的大小為()A.250V/m B.200V/mC.150V/m D.120V/m【典例1a基礎(chǔ)題】【答案】A【解析】由題意知a、b兩點的電勢相等，則ab為一條等勢線，則知勻強電場的場強方向垂直于ab指向左下方。過O點作ab的垂線交ab于c點，由幾何關(guān)系得tan∠b＝eq\f(4,3)，得∠b＝53°，Oc＝Ob·sin∠b＝0.03m×sin53°＝2.4×10－2m，又O點電勢為2V，c、O間的電勢差U＝8V－2V＝6V，則電場強度大小E＝eq\f(U,Oc)＝250V/m，故選項A正確?！镜淅?a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強電場，其中坐標(biāo)原點O處的電勢為0V，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m【典例1a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】【答案】A【解析】在勻強電場中，沿某一方向電勢降落，則在這一方向上電勢均勻降落，故OA的中點C的電勢φC＝3V(如圖所示)，因此B、C為等勢面．O點到BC的距離d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(OB,\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m.根據(jù)E＝eq\f(U,d)得，勻強電場的電場強度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故選項A正確，選項B、C、D錯誤．類型二：已知三角形空間位置模型【典例1b基礎(chǔ)題】如圖所示，邊長為1cm的正三角形ABC處于勻強電場中，電場方向平行于三角形所在平面．將電子由A點移動到B點，電場力做功4eV；將電子由A點移動到C點，電場力做功2eV.電場強度大小為()A．200V/m B．300V/mC．200eq\r(3)V/m D．400V/m【典例1b基礎(chǔ)題】【答案】D【解析】電子由A點移動到B點，電場力做功4eV，則UAB＝eq\f(WAB,－e)＝eq\f(4eV,－e)＝－4V；電子由A點移動到C點，電場力做功2eV，UAC＝eq\f(WAC,－e)＝eq\f(2eV,－e)＝－2V；設(shè)AB的中點為D，則C、D兩點電勢相等，CD為等勢線，電場方向沿BA方向，則E＝eq\f(UBA,BA)＝eq\f(4,0.01)V/m＝400V/m，選項D正確．【典例1b基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，勻強電場中有一個直角三角形ABC區(qū)域，電場方向與三角形區(qū)域所在平面平行．已知AB＝25cm，BC＝20cm，∠C＝90°，A、B、C三點電勢分別為1V、26V、10V，則該勻強電場的場強大小為()A．60V/m B．75V/mC．80V/m D．100V/m【典例1b基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】【答案】D【解析】依題意，有sin∠A＝eq\f(\x\to(BC),\x\to(AB))＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之間找到電勢為10V的D點，C、D位于同一等勢面上，根據(jù)幾何關(guān)系可知eq\f(UDA,UBA)＝eq\f(10－1,26－1)＝eq\f(\x\to(DA),\x\to(BA))，在三角形ACD中，根據(jù)余弦定理，有eq\x\to(CD)2＝eq\x\to(CA)2＋eq\x\to(DA)2－2×eq\x\to(CA)×eq\x\to(DA)cos53°，解得eq\x\to(CD)＝12cm，根據(jù)正弦定理，有eq\f(sin∠ACD,\x\to(DA))＝eq\f(sin53°,\x\to(CD))，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，則有eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)sin37°＝9cm，根據(jù)勻強電場電勢差與場強的關(guān)系式，有E＝eq\f(UDA,\x\to(AD))＝eq\f(10－1,9×10－2)V/m＝100V/m.故選D.類型三：已知四邊形空間位置模型【典例1c基礎(chǔ)題】(多選)如圖所示，abcd為勻強電場中的一直角梯形，其平面與場強方向平行。已知ab＝ad＝2cm，∠adc＝60°，a、b、d三點的電勢分別為0V、4V、4V，則()A．c點的電勢為10VB．勻強電場的場強大小為400V/mC．若將電子從a點移到b點，需克服電場力做功4eVD．電子和質(zhì)子分別放在d點時，具有相同的電勢能【典例1c基礎(chǔ)題】【答案】AB【解析】由幾何關(guān)系可知dc＝1.5ab，則Udc＝1.5Uab，即φd－φc＝1.5(φa－φb)，可得φc＝10V，選項A正確；因bd連線是等勢線，則電場強度方向沿著從a點垂直bd連線方向，則電場強度大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(4,0.02×sin30°)V/m＝400V/m，選項B正確；若將電子從a點移到b點，電場力做正功4eV，選項C錯誤；電子和質(zhì)子分別帶等量異號電荷，則放在d點時，具有的電勢能大小相等，符號相反，選項D錯誤?！镜淅?c基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖所示，勻強電場內(nèi)有一矩形ABCD區(qū)域，電荷量為e的某帶電粒子從B點沿BD方向以8eV的動能射入該區(qū)域，恰好從A點射出該區(qū)域，已知矩形區(qū)域的邊長AB＝8cm，BC＝6cm，A、B、C三點的電勢分別為6V、12V、18V，不計粒子重力，下列判斷正確的是()A．粒子帶負(fù)電B．電場強度的大小為125V/mC．僅改變粒子在B點初速度的方向，該粒子可能經(jīng)過C點D．粒子到達(dá)A點時的動能為12eV【典例1c基礎(chǔ)題對應(yīng)練習(xí)】【答案】BC【解析】根據(jù)勻強電場中電勢等分法，可知幾何中心點P點的電勢為12V，則BPD為等勢線，過C點作垂直于BPD的電場線，如圖所示，方向斜向左下方，因帶電粒子能從A點射出，則粒子帶正電，A錯誤；由幾何關(guān)系可知∠CDB＝37°，根據(jù)場強公式有E＝eq\f(UCF,dCF)＝eq\f(φC－φF,CDsin37°)＝eq\f(6,8×0.6×10－2)V/m＝125V/m，B正確；設(shè)粒子經(jīng)過C點，根據(jù)動能定理可得eUBC＝EkC－EkB，解得EkC＝2eV，所以僅改變粒子在B點初速度的方向，該粒子可能經(jīng)過C點，C正確；根據(jù)動能定理可得，粒子到達(dá)A點時的動能為eUBA＝EkA－EkB，解得EkA＝14eV，D錯誤。類型四：已知多邊形空間位置模型【典例1d基礎(chǔ)題】如圖，正六邊形ABCDEF區(qū)域內(nèi)有平行于紙面方向的勻強電場(圖中未標(biāo)出)，A、B、C三點電勢分別為3V、6V、9V，現(xiàn)有一個電子從E點以初速度v0沿EB方向射入．下列說法正確的是()A．F點電勢為0VB．DF的連線是電場中一條等勢線C．電子射出六邊形區(qū)域時速度大小可能仍是v0D．電子離開此區(qū)域動能增量的最大值是3eV【典例1d基礎(chǔ)題】【答案】D【解析】連接AC，根據(jù)勻強電場電勢隨距離均勻變化(除等勢面)的特點，則知AC中點的電勢為6V，連接EB，EB即為一條等勢線，CA連線即為一條電場線，DF與CA平行，所以DF也是一條電場線，故B錯誤；由上可知AF為等勢面，所以F點電勢為3V，故A錯誤；電子在電場中做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的知識和等勢面與電場線的關(guān)系可知電子不可能再回到同一等勢面上，故C錯誤；由題圖可知電子從DC間離開時動能最大，即動能增量為：ΔEk＝eU＝3eV，故D正確．題型二：非勻強電場中U＝Ed的定性應(yīng)用【知識思維方法技巧】非勻強電場中公式U＝Ed的定性應(yīng)用：（1）判斷電場強度大?。航Y(jié)合等差等勢面的疏密判斷電場強度大小，根據(jù)E＝eq\f(U,d)，當(dāng)電勢差U一定時，等差等勢面越密，則沿電場方向的距離d越小，電場強度E＝eq\f(U,d)越大；反之，則E越小。等差等勢面越密，電場強度越大。（2）判斷電勢差的大?。航Y(jié)合電場線的疏密定性判斷非勻強電場中兩點間電勢差的大小，根據(jù)U＝Ed，距離相等的兩點間，E越大，U越大。如圖甲所示，AB＝BC，則有UAB＞UBC；平均場強E越小，則電勢差U越小，如圖乙所示，AB＝BC，則有UAB＜UBC【典例2基礎(chǔ)題】某電場中等勢面分布如圖所示，圖中虛線表示等勢面，過a、b兩點的等勢面電勢分別為40V和10V，則a、b連線的中點c處的電勢應(yīng)為()A．一定等于25V B．大于25VC