幻燈片1：封面標(biāo)題：16.1.2冪的乘方與積的乘方副標(biāo)題：深入探索冪運(yùn)算的特殊規(guī)則背景圖：左側(cè)展示冪的乘方表達(dá)式“(a3)2”及展開過程“a3×a3=a?”，右側(cè)展示積的乘方表達(dá)式“(ab)3”及展開過程“a3×b3”，用箭頭標(biāo)注運(yùn)算邏輯，直觀呈現(xiàn)兩種運(yùn)算的核心轉(zhuǎn)化過程?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解冪的乘方與積的乘方的定義，明確兩種運(yùn)算與同底數(shù)冪乘法的區(qū)別與聯(lián)系。通過實(shí)例推導(dǎo)冪的乘方法則（(a?)?=a??）和積的乘方法則（(ab)?=a?b?），掌握法則的推導(dǎo)依據(jù)與核心內(nèi)涵。能運(yùn)用兩種法則解決含符號(hào)、多字母、混合運(yùn)算的問題，提升冪運(yùn)算的綜合能力。經(jīng)歷“推導(dǎo)—驗(yàn)證—應(yīng)用”的過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想（將復(fù)雜冪運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)運(yùn)算），培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算邏輯?；脽羝?：導(dǎo)入——從同底數(shù)冪乘法延伸特殊運(yùn)算復(fù)習(xí)回顧：回顧同底數(shù)冪乘法法則“a??a?=a???”，計(jì)算練習(xí)：a3×a3=，b2×b2×b2=（答案：a?、b?）。提出問題：若遇到“(a3)2”（a3

的平方，即2個(gè)a3

相乘）或“(ab)3”（ab的立方，即3個(gè)ab相乘），該如何計(jì)算？它們與同底數(shù)冪乘法有何不同？引出本節(jié)課核心——冪的乘方與積的乘方?；脽羝?：冪的乘方法則推導(dǎo)（從特殊到一般）步驟1：分析冪的乘方的意義：“(a3)2”表示“2個(gè)a3

相乘”，即(a3)2=a3×a3；“(b2)3”表示“3個(gè)b2

相乘”，即(b2)3=b2×b2×b2。步驟2：計(jì)算特殊例子，尋找規(guī)律：計(jì)算(a3)2：(a3)2=a3×a3（2個(gè)a3

相乘），根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則，a3×a3=a3?3=a?；觀察指數(shù)關(guān)系：3×2=6，即(a3)2=a3×2=a?。計(jì)算(b2)3：(b2)3=b2×b2×b2（3個(gè)b2

相乘），由同底數(shù)冪法則得b2×b2×b2=b2?2?2=b?；指數(shù)關(guān)系：2×3=6，即(b2)3=b2×3=b?。計(jì)算((-x)?)2：((-x)?)2=(-x)?×(-x)?=(-x)???=(-x)?=x?（負(fù)數(shù)的偶次冪為正）；指數(shù)關(guān)系：4×2=8，即((-x)?)2=(-x)?×2=(-x)?=x?。步驟3：歸納一般法則：猜想：對(duì)于任意底數(shù)a（a≠0），任意正整數(shù)m、n，(a?)?=？推導(dǎo)（用冪的定義與同底數(shù)冪法則）：(a?)?表示n個(gè)a?相乘，即(a?)?=a?×a?×…×a?（n個(gè)a?）；根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則，a?×a?×…×a?=a????…??（n個(gè)m相加）=a??；法則總結(jié)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。符號(hào)語(yǔ)言：(a?)?=a??（a≠0，m、n為正整數(shù)）。注意事項(xiàng)：冪的乘方是“指數(shù)相乘”，與同底數(shù)冪乘法的“指數(shù)相加”形成區(qū)別，避免混淆?；脽羝?：積的乘方法則推導(dǎo)（從特殊到一般）步驟1：分析積的乘方的意義：“(ab)3”表示“3個(gè)ab相乘”，即(ab)3=ab×ab×ab；“(-2xy)2”表示“2個(gè)-2xy相乘”，即(-2xy)2=(-2xy)×(-2xy)。步驟2：計(jì)算特殊例子，尋找規(guī)律：計(jì)算(ab)3：(ab)3=ab×ab×ab，根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律，重新組合為(a×a×a)×(b×b×b)；a×a×a=a3，b×b×b=b3，故(ab)3=a3b3。計(jì)算(-2xy)2：(-2xy)2=(-2xy)×(-2xy)=[(-2)×(-2)]×(x×x)×(y×y)；(-2)×(-2)=(-2)2=4，x×x=x2，y×y=y2，故(-2xy)2=4x2y2=(-2)2x2y2。計(jì)算((1/3)a2b)3：((1/3)a2b)3=(1/3)a2b×(1/3)a2b×(1/3)a2b=[(1/3)×(1/3)×(1/3)]×(a2×a2×a2)×(b×b×b)；(1/3)×(1/3)×(1/3)=(1/3)3，a2×a2×a2=a?，b×b×b=b3，故結(jié)果為(1/3)3a?b3。步驟3：歸納一般法則：猜想：對(duì)于任意底數(shù)a、b（a≠0，b≠0），任意正整數(shù)n，(ab)?=？推導(dǎo)（用乘法交換律、結(jié)合律）：(ab)?=ab×ab×…×ab（n個(gè)ab相乘）=[a×a×…×a（n個(gè)a）]×[b×b×…×b（n個(gè)b）]=a?b?；法則總結(jié)：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。符號(hào)語(yǔ)言：(ab)?=a?b?（a≠0，b≠0，n為正整數(shù)），可推廣到多個(gè)因式：(abc)?=a?b?c?。注意事項(xiàng)：積的乘方需“每一個(gè)因式都乘方”，包括系數(shù)、單獨(dú)字母，不能遺漏任何一個(gè)因式?；脽羝?：冪的乘方與積的乘方法則驗(yàn)證驗(yàn)證1：冪的乘方驗(yàn)證：計(jì)算((-3)2)3，用法則得(-3)2×3=(-3)?=729；直接計(jì)算：(-3)2=9，93=729，結(jié)果一致。驗(yàn)證2：積的乘方驗(yàn)證：計(jì)算(2x3y)2，用法則得22×(x3)2×y2=4x?y2；直接計(jì)算：(2x3y)×(2x3y)=4x?y2，結(jié)果一致。驗(yàn)證3：混合驗(yàn)證（冪的乘方與積的乘方結(jié)合）：計(jì)算((-2a2b)3)2，先算積的乘方：(-2a2b)3=(-2)3×(a2)3×b3=-8a?b3；再算冪的乘方：(-8a?b3)2=(-8)2×(a?)2×(b3)2=64a12b?；直接用法則：((-2a2b)3)2=(-2a2b)3×2=(-2a2b)?=(-2)?×(a2)?×b?=64a12b?，結(jié)果一致?；脽羝?：法則應(yīng)用1——冪的乘方運(yùn)算（含符號(hào)與多字母）例題1：計(jì)算下列各題：(102)3；((-a)?)?（a≠0）；(x??1)2（x≠0，m為正整數(shù)）；-((y3)2)。解答過程：(102)3=102×3=10?（底數(shù)10不變，指數(shù)2×3=6）；((-a)?)?=(-a)?×?=(-a)2?=a2?（負(fù)數(shù)的偶次冪為正）；(x??1)2=x^(m+1)×2=x2??2（指數(shù)相乘，展開為2m+2）；-((y3)2)=-(y3×2)=-y?（注意符號(hào)，先算冪的乘方，再取相反數(shù)）。解題關(guān)鍵：明確冪的乘方“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，注意底數(shù)的符號(hào)（負(fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)，偶次冪為正）和整體符號(hào)（如第4題的負(fù)號(hào)在括號(hào)外，不參與乘方）。幻燈片8：法則應(yīng)用2——積的乘方運(yùn)算（含系數(shù)與多因式）例題2：計(jì)算下列各題：(3ab2)3；(-2x2y3)?；((1/2)a3bc2)2；(-a)3×(2a2b)2。解答過程：(3ab2)3=33×a3×(b2)3=27a3b?（每一個(gè)因式分別乘方，系數(shù)33=27，(b2)3=b?）；(-2x2y3)?=(-2)?×(x2)?×(y3)?=16x?y12（系數(shù)為負(fù)數(shù)，4次冪為正，指數(shù)分別相乘）；((1/2)a3bc2)2=(1/2)2×(a3)2×b2×(c2)2=(1/4)a?b2c?（單獨(dú)字母b的指數(shù)為1，乘方后為b2）；(-a)3×(2a2b)2=(-a3)×(4a?b2)=-4a?b2（先分別算積的乘方，再算同底數(shù)冪乘法，系數(shù)(-1)×4=-4，a3×a?=a?）。解題關(guān)鍵：積的乘方需“逐個(gè)因式乘方”，包括系數(shù)、每個(gè)字母（含單獨(dú)字母），再將結(jié)果相乘；若含混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘法。幻燈片9：法則應(yīng)用3——逆用公式解決問題例題3：逆用冪的乘方法則：已知a2=3，求a?、a?的值。分析：a?=(a2)2，a?=(a2)3，逆用(a?)?=a??。解答：a?=(a2)2=32=9，a?=(a2)3=33=27。例題4：逆用積的乘方法則：計(jì)算21?×(1/2)1?的值。分析：21?×(1/2)1?=(2×1/2)1?，逆用(ab)?=a?b?。解答：21?×(1/2)1?=(2×(1/2))1?=11?=1。例題5：綜合逆用：已知x3=2，y?=3，求(x3y?)2、(x?y?)的值。解答：(x3y?)2=(x3)2×(y?)2=22×32=4×9=36；x?y?=(x3)2×(y?)2=22×32=36（或x?y?=(x3y?)2=36）。解題關(guān)鍵：逆用公式可簡(jiǎn)化計(jì)算，冪的乘方逆用為a??=(a?)?=(a?)?，積的乘方逆用為a?b?=(ab)?，尤其適用于“指數(shù)相同的不同底數(shù)冪相乘”或“已知低次冪求高次冪”的場(chǎng)景?；脽羝?0：易錯(cuò)點(diǎn)辨析與注意事項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)1：混淆“冪的乘方”與“同底數(shù)冪乘法”：示例：誤將(a3)2

計(jì)算為a?（用了指數(shù)相加，正確應(yīng)為a?），誤將a3×a2

計(jì)算為a?（用了指數(shù)相乘，正確應(yīng)為a?）。區(qū)分方法：牢記“同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加；冪的乘方，指數(shù)相乘”，可通過表達(dá)式形式判斷（a??a?是乘法，(a?)?是乘方）。易錯(cuò)點(diǎn)2：積的乘方遺漏因式乘方：示例：計(jì)算(2xy)3

時(shí)，誤寫成2x3y3（遺漏系數(shù)2的乘方，正確應(yīng)為8x3y3）；計(jì)算(-a2b)2

時(shí)，誤寫成-a?b2（遺漏負(fù)號(hào)的乘方，正確應(yīng)為a?b2）。預(yù)防：積的乘方時(shí)，先列出所有因式（如(2xy)的因式為2、x、y），確保每個(gè)因式都乘方，再計(jì)算結(jié)果。易錯(cuò)點(diǎn)3：逆用公式時(shí)指數(shù)不匹配：示例：逆用(ab)?=a?b?時(shí)，誤將23×32

計(jì)算為(2×3)3

或(2×3)2（指數(shù)不同，無(wú)法直接逆用，需轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同：23×32=2×22×32=2×(2×3)2=2×36=72）。提醒：逆用積的乘方法則需滿足“指數(shù)相同”，若指數(shù)不同，需先變形使指數(shù)一致，再逆用?；脽羝?1：課堂練習(xí)——分層鞏固基礎(chǔ)練習(xí)1：計(jì)算下列各題：(a?)3=______（答案：a12）；(-3x2y)3=______（答案：-27x?y3）；((-m)3)?=______（答案：-m1?）；(2a3b2)2×(-a2b)3=______（答案：4a?b?×(-a?b3)=-4a12b?）。提升練習(xí)2：逆用公式計(jì)算：已知b?=2，求b1?、b1?的值（答案：4、8）；計(jì)算3?×(1/3)?=______（答案：1）；計(jì)算(-0.125)?×8?=______（答案：1）。拓展練習(xí)3：綜合應(yīng)用：已知2?=3，2?=5，求22??3?的值（2024人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

16.1.2冪的乘方與積的乘方第十六章

整式的乘法aiTujmiaNg1.知道冪的乘方的法則；2.認(rèn)識(shí)積的乘方的推導(dǎo)過程；3.能熟練地運(yùn)用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算.根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)填空，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)(32)3=32×32×32=3()；(2)(a2)3=____________=a()；(3)(am)3=_________=a().6a2×a2×a26探究am·am·am3m2×3=62×3=63·m=3m冪的乘方底數(shù)_____，指數(shù)_____不變相乘知識(shí)點(diǎn)1冪的乘方(am)n

你能將上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律推導(dǎo)出來(lái)嗎？一般地，對(duì)于任意底數(shù)a

與任意正整數(shù)m，n，底數(shù)不變指數(shù)相乘=am·am·····am

()個(gè)am=am+m+···+m

()個(gè)()=amnnnm因此，我們有：即冪的乘方，底數(shù)______，指數(shù)______.不變相乘(am)n

=amn

(m、n都是正整數(shù))[(am)n

]p=[amn]p=amnp即多重乘方可以重復(fù)運(yùn)用上述法則：[(am)n

]p=amnp

(m、n、p都是正整數(shù))

例2計(jì)算：

(3)(am)2；(1)(103)5；(2)(a4)4；(4)–(x4)3.解：(1)(103)5=103×5=1015(2)(a4)4(3)(am)2(4)–(x4)3=a4×4=a16=am×2=–x4×3=

–x12=a2m思考–(x4)3

、–(x3)4、(–x4)3、(–x3)4的結(jié)果一樣嗎？

–(x4)3=_________________；–(x3)4=_________________；(–x4)3=_____________________________；(–x3)4=_________________________________.思考–x4×3=

–x12–x3×4=

–x12(–x4)(–x4)(–x4)=–x4·x4·x4=

–x12(–x3)(–x3)(–x3)(–x3)=x3·x3·x3·x3=

x12括號(hào)外有“-”不影響結(jié)果括號(hào)內(nèi)有“-”時(shí)：(–am)n

=amn，n為偶數(shù)

–amn，n為奇數(shù)

練習(xí)計(jì)算：①(-104)2；

②a(a2)2；③[(-2)4]3；

④(-a2)3·(-a3)2.=108=a·a4=212=-a6·a6先判斷符號(hào)，后計(jì)算=a5=-a12內(nèi)容公式區(qū)別聯(lián)系冪的乘方

同底數(shù)冪的乘法冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別與聯(lián)系：(am)n

=amn

(m、n都是正整數(shù))底數(shù)不變，指數(shù)相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加冪的乘方可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘；當(dāng)指數(shù)相同的兩個(gè)同底數(shù)冪相乘時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為冪的乘方am·an

=am+n

(m、n都是正整數(shù))知識(shí)點(diǎn)2積的乘方下面兩題有什么特點(diǎn)？(1)(ab)2

；(2)(ab)3.觀察底數(shù)都是積的形式我們?cè)撊绾斡?jì)算積的乘方？積的乘方填空，下面的運(yùn)算過程用到哪些運(yùn)算律？運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律？(1)(ab)2=___________=___________=a()b()；(2)(ab)3=____________=____________=a()b().探究(ab)·(ab)(a·a)·(b·b)22(ab)·(ab)·(ab)(a·a·a)·(b·b·b)33乘方的意義乘法交換律、結(jié)合律乘方的意義(ab)n

=？(ab)n

你能將上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律推導(dǎo)出來(lái)嗎？一般地，對(duì)于任意底數(shù)a，b與任意正整數(shù)n，=(ab)·(ab)·····(ab)()個(gè)ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)()個(gè)()=anbnnna()個(gè)()nb因此，我們有：即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(ab)n

=anbn

(n是正整數(shù))(abc)n

=(ab)ncn=anbncn三個(gè)或三個(gè)以上的積的乘方，也具有這一性質(zhì).

例3計(jì)算：=(–2)4·(x3)·y4=

x2·(y2)2=

(–5)3·b3=

23·a3（1）(2a)3；（2）(–5b)3；（3）(xy2)2；（4）(–2x3y)4.解：（1）(2a)3（2）(–5b)3（3）(xy2)2（4）(–2x3y)4=16x12y4=

x2y4=

–125b3=

8a3記得帶符號(hào)！3.下面的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？【教材P101練習(xí)第1題】（3）(–2a)2

=–4a2.

（1）(a