河南省焦作市解放區(qū)2024-2025學年高三下學期高考第一模擬考試（一模）數(shù)學試卷及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，則$\triangleAOB$的周長為：A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$6\sqrt{2}$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前5項和為15，前10項和為70，求該數(shù)列的第15項。A.8B.10C.12D.143.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的圖像上存在兩點$P$、$Q$，且$PQ$的斜率為1，則$\triangleOPQ$的面積為：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.34.若復數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+i|$，則$z$在復平面內的軌跡為：A.圓B.線段C.直線D.點5.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的前三項為1，3，9，則該數(shù)列的公比為：A.1B.3C.9D.276.若函數(shù)$f(x)=\lnx+x$的圖像上存在兩點$M$、$N$，且$MN$的中點為$(2,3)$，則$\triangleOMN$的周長為：A.10B.11C.12D.137.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，則該數(shù)列的前5項和為：A.31B.63C.127D.2558.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的中點為$(1,1)$，則$\triangleOAB$的面積為：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.39.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前4項和為8，公差為2，則該數(shù)列的第10項為：A.18B.20C.22D.2410.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的圖像上存在兩點$P$、$Q$，且$PQ$的斜率為1，則$\triangleOPQ$的面積為：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.3二、填空題要求：本題共10小題，每小題5分，共50分。1.函數(shù)$f(x)=\lnx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，則$ab=$______。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前5項和為15，公差為2，則該數(shù)列的第10項為______。3.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的斜率為2，則$A$、$B$兩點的坐標分別為______。4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，則該數(shù)列的前5項和為______。5.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的斜率為1，則$\triangleOPQ$的面積為______。6.若復數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+i|$，則$z$在復平面內的軌跡方程為______。7.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前三項為1，3，9，則該數(shù)列的公比為______。8.若函數(shù)$f(x)=\sinx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，則$\triangleAOB$的周長為______。9.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-1$，則該數(shù)列的前5項和為______。10.函數(shù)$f(x)=\lnx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，則$\triangleABP$的面積為______。三、解答題要求：本題共10小題，每小題10分，共100分。1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前5項和為15，公差為2，求該數(shù)列的前10項和。3.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，求$\triangleAOB$的周長。4.已知復數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+i|$，求$z$在復平面內的軌跡方程。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，求該數(shù)列的前5項和。6.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，求$\triangleABP$的面積。7.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前三項為1，3，9，求該數(shù)列的公比。8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的斜率為2，求$A$、$B$兩點的坐標。9.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-1$，求該數(shù)列的前5項和。10.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的斜率為1，求$\triangleOPQ$的面積。四、解答題要求：本題共10小題，每小題10分，共100分。4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求證：對于任意實數(shù)$x\neq1$，都有$f(x)+f(1-x)=2$。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2+a_3=10$，求該數(shù)列的通項公式。6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求函數(shù)$f(x)$的極值點和拐點。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，因此函數(shù)的振幅為$\sqrt{2}$，周期為$2\pi$。由于$\angleAOB=90^\circ$，所以$OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\triangleAOB$的周長為$2\sqrt{2}$。2.B解析：等差數(shù)列的前5項和為$S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=15$，前10項和為$S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=70$。解得$a_1=1$，$d=2$。第15項$a_{15}=a_1+14d=1+14\times2=29$。3.A解析：設$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，則$PQ$的斜率為$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=1$。由于$PQ$在函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$上，所以$y_1=\sinx_1+\cosx_1$，$y_2=\sinx_2+\cosx_2$。根據(jù)斜率公式，得到$\sinx_2-\sinx_1=x_2-x_1$。由于$\sinx$的周期為$2\pi$，所以$x_2-x_1=2\pi$。因此，$PQ$的長度為$2\pi$，$\triangleOPQ$的面積為$\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}=\frac{1}{2}\times2\pi\times1=\pi$。4.C解析：由$|z-1|=|z+i|$可知$z$到點$(1,0)$和點$(0,-1)$的距離相等，因此$z$在復平面上的軌跡是一條垂直于實軸的直線。5.B解析：等比數(shù)列的前三項為1，3，9，公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}=3$。6.A解析：函數(shù)$f(x)=\lnx$的圖像上存在兩點$M$、$N$，且$MN$的中點為$(2,3)$，則$f(2)=3$，即$\ln2=3$。由于$\ln2$的值小于3，所以不存在這樣的點$M$和$N$。7.D解析：數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，前5項和為$S_5=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=31$。8.B解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的中點為$(1,1)$，則$f(1)=1$，即$\frac{1}{1}=1$。由于$f(x)$在$x=1$處的值為1，所以不存在這樣的點$A$和$B$。9.A解析：等差數(shù)列的前4項和為$S_4=4a_1+\frac{4\times3}{2}d=8$，公差$d=2$。第10項$a_{10}=a_1+9d=1+9\times2=19$。10.A解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的圖像上存在兩點$A$、$B$，且$AB$的斜率為1，則$f(1)=1$，即$\frac{1}{\sqrt{1}}=1$。由于$f(x)$在$x=1$處的值為1，所以不存在這樣的點$A$和$B$。二、填空題1.1解析：由$A(1,0)$，$B(a,b)$，得到$b=\lna$，因此$ab=a\lna$。2.29解析：同選擇題第2題解析。3.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$解析：由于$AB$的斜率為2，所以$y=2x+b$。將$A$、$B$兩點的坐標代入，解得$b=\frac{1}{2}$，因此$AB$的方程為$y=2x+\frac{1}{2}$。4.31解析：同選擇題第7題解析。5.$\pi$解析：同選擇題第3題解析。6.$|z-1|^2=|z+i|^2$解析：展開得到$z^2-2z+1=z^2+2iz-1$，化簡得到$2z=-2iz$，解得$z=-i$。7.3解析：同選擇題第5題解析。8.2解析：同選擇題第1題解析。9.127解析：數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-1$，前5項和為$S_5=(3^1-1)+(3^2-1)+(3^3-1)+(3^4-1)+(3^5-1)=127$。10.$\frac{1}{2}$解析：同選擇題第5題解析。三、解答題4.解析：由$f(x)+f(1-x)=\frac{x^2}{x-1}+\frac{(1-x)^2}{1-x-1}=\frac{x^2}{x-1}+\frac{(1-x)^2}{-x}=\frac{x^2-(1-x)^2}{x-1}=\frac{x^2-1+2x-x^2}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}=2$。5.解析：由$a_2+a_3=10$，得到$2a_1q+a_1q^2=10$，代入$a_1=2$，解得$q=3$。因