第第頁浙江省金華市第四中學2024-2025學年九年級上學期數(shù)學期中試卷一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）A．y=?3x2+1 B．y=8x+1 C．y=2．下列事件中是必然事件的是（）A．明天太陽從西邊升起B(yǎng)．籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中C．實心鐵球投入水中會沉入水底D．拋出一枚硬幣，落地后正面向上3．若⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為4cm，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點A在圓外 B．點A在圓上 C．點A在圓內(nèi) D．不能確定4．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4．若BC=1，則EF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．45．拋物線y=2x2+4與y軸的交點坐標是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）6．已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為（）A．6π B．12π C．15π D．24π7．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C為AB的中點，OC與AB交于點D，若⊙O的半徑是10，CD＝4，則AB＝（）A．14 B．15 C．17 D．168．如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）A．2 B．22 C．23 D．49．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，若∠ABD=72°，AB=20，則圖中陰影部分的面積為（）A．5π B．9π C．10π10．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（）A．12 B．32 C．2 二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．已知線段a=9，b=4，則a、b的比例中項線段等于．12．一個扇形的弧長是3πcm，半徑是6cm，則此扇形的圓心角是．13．已知P（x1，1），Q（x2，1）兩點都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝．14．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0）且與y軸交點C，點B和點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A及點B，則不等式kx+b≥x2﹣4x+3的解集為.15．把一個矩形劃分成3個小矩形，并且每一個小矩形與原矩形都相似．若矩形的長為a，寬為b(a＞b)，則的值為.16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿EA向點A運動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿FC向點C運動，連接PQ，過點B作BH⊥PQ于點H，連接DH.若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段PQ掃過的面積為，線段DH長度的最小值為.三、解答題（本題共8題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：(-218．作圖題：⊙O上有三個點A，B，C，∠ABC＝50°，請只用無刻度的直尺作出符合要求的角，并寫出你的結(jié)論．（1）在圖1中作一個100°的角；（2）在圖2中作一個130°的角；（3）在圖3中作一個40°的角．19．一個口袋中有3個大小相同的小球，球面上分別寫有數(shù)字1、2、3，從袋中隨機地摸出一個小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機地摸出一個小球．（1）求第一次摸出的球上的數(shù)字為奇數(shù)的概率；（2）請用樹狀圖或列表法求兩次摸出的球上的數(shù)字之和不小于3的概率．20．如圖，某無人機愛好者在一小區(qū)外放飛無人機，當無人機飛行到一定高度D點處時，無人機測得操控者A的俯角為75°，測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°．已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為70米，此時無人機D距地面AB的高度為74.6米，求小區(qū)樓房BC的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)21．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E．（1）求證：∠PDE＝∠POA；（2）若PC＝12，tan∠APC＝43，求DE22．如圖，某跳水運動員在10米跳臺上進行跳水訓練，水面邊緣點E坐標為（﹣1，﹣10），運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點O的拋物線．在跳某個規(guī)定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為(3（1）求運動員在空中運動時對應(yīng)拋物線的解析式，并求出入水處點B的坐標．（2）若運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為4米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由．（3）在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且EM＝7，EN＝9，該運動員入水后運動路線對應(yīng)的拋物線解析式為y＝（x﹣h）2+k，若該運動員出水點D在MN之間（包括M，N兩點），則k的取值范圍是．23．已知點P（m，n）在拋物線y＝a（x﹣1）2+3（a為常數(shù)，a≠0）上．（1）若m＝2，n＝4，①求拋物線的解析式；②若點A（t﹣1，y1），B（t，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，且點A在對稱軸左側(cè)、點B在對稱軸右側(cè)，若y1＜y2，求t的取值范圍；（2）若﹣1≤m≤0時，總有n≥﹣2，且當3≤m＜4時總有n≤﹣2，求a的值．24．如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點D在⊙O上，A是弧BD的中點，點E在BC上，連接BD、AE，BD與AE于點F（1）求證：AF=BF；（2）如圖2，延長AE交⊙O于點G，連接AO，交BD于點H，求證：AG=2DH（3）如圖3，在（2）的條件下，作直徑BM交AG于點K，連接AM交BD于點N，當AC是⊙O的直徑時，MN=25KF

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、符合二次函數(shù)的一般形式，是二次函數(shù)，正確；

B、是一次函數(shù)，錯誤；

C、是反比例函數(shù)，錯誤；

D、自變量x在分母中，不是二次函數(shù)，錯誤.故答案為：A.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（a≠0）且二次函數(shù)最高次為二次的函數(shù)被稱為二次函數(shù)，據(jù)此逐項分析即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、"明天太陽從西邊升起"該事件為不可能事件，不符合題意；

B、"籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中"該事件為可能事件，不符合題意；

C、"實心鐵球投入水中會沉入水底"該事件為必然事件，符合題意；

D、"拋出一枚硬幣，落地后正面向上"該事件為可能事件，不符合題意.故答案為：C.【分析】根據(jù)必然事件的定義：在每次隨機試驗中一定會出現(xiàn)的事件被稱為必然事件，據(jù)此逐項分析即可.3．【答案】C【解析】∵⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為4cm，

∴d＜r，

∴點A與⊙O的位置關(guān)系是：點A在圓內(nèi)，

故答案為：點A在圓內(nèi)．選C4．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，∴BC：EF=1：2，∵BC=1，∴EF=2，故選B．【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得線段EF的長．5．【答案】C【解析】【解答】解：把x=0代入拋物線y=2x2+4中，解得：y=4，則拋物線y=2x2+4與y軸的交點坐標是（0，4）．故選C．【分析】要求拋物線與y軸的交點坐標，即要令x等于0，代入拋物線的解析式求出對應(yīng)的y值，寫成坐標形式即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，∴圓錐的側(cè)面積為：π×3×4=12π，【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式：S圓錐側(cè)7．【答案】D【解析】【解答】解：連接OA，如下圖：∵⊙O的半徑是10，

∴OA=OC=10，

∵CD=4，

∴OD=OC-CD=6，

∵AB是⊙O的弦，C為AB的中點，

∴OD⊥AB，AB=2AD，

在Rt△ADO中，AD=AO2-OD【分析】連接OA，根據(jù)題意得到OA=OC=10，進而即可求出CD的長度，然后根據(jù)垂徑定理得到：OD⊥AB，AB=2AD，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的長度，進而得到AB的長度.8．【答案】C【解析】【解答】解：連接OB，如下圖：由題意得到：OB⊥DB，

∵⊙O的半徑為2，且四邊形OABC為菱形，

∴OB=OA=AB=2，

∴△ABO為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠ODB=90°-∠AOB=30°，

∴DB=3OB=2【分析】連接OB，由題意得到：OB⊥DB，然后根據(jù)圓和菱形的性質(zhì)得到：OB=OA=AB=2，則△ABO為等邊三角形，即可知∠AOB=60°，進而求出∠ODB的度數(shù)，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)計算即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：連接OD，設(shè)AB與CD交于點E，如圖，∵CD⊥AB∴CE=DE=12CD，∴S∴陰影部分面積等于扇形OBD的面積又∵∠ABD=72°，OB=OD∴∠ODB=∠ABD=72°∴∠BOD=180°?72°?72°=36°∵AB=20∴OB=∴S故答案為：C．

【分析】連接OD，設(shè)AB與CD交于點E，根據(jù)垂徑定理推出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，再利用扇形面積公式計算即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：二次函數(shù)y=-x-12①當m<0≤x≤n<1時，當x=m時，y取最小值，

即2m=-m-12+5，

解得：m=-2，

當x=n時，y取最大值，

即2n=-n-12+5，

解得：n=2或-2舍，

②當m<0≤x≤1≤n時，當x=m時，y取最小值，

即2m=-m-12+5，

解得：m=-2，

當x=1時，y取最大值，【分析】先根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，在分兩種情況討論，①當m<0≤x≤n<1時，②當m<0≤x≤1≤n時，分別進行分析計算即可.11．【答案】6【解析】【解答】解：設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，∵a=9，b=4，∴ax∴x2∴x=6，x=?6（舍去）．故答案為：6．

【分析】根據(jù)比例中項的平方等于兩外項的乘積，進行計算即可．12．【答案】90°【解析】【解答】解：∵扇形的弧長是3πcm，半徑是6cm，

∴3π=nπ×6故答案為：90°.【分析】根據(jù)弧長集計算公式：l=n13．【答案】3【解析】【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）兩點都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，

∴x1+x故答案為：3.【分析】根據(jù)拋物線的對稱性以及對稱軸公式即可得到x114．【答案】1≤x≤4【解析】【解答】解：當x=0時，y=0-0+3=3，

∴C0，3，

∵拋物線的對稱軸為：x=-b2a=2，

∵點B和點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱，

∴B4，3，

∴當1≤x≤4時，kx+b≥x故答案為：1≤x≤4.【分析】先利用拋物線解析式求出點C的坐標，再確定拋物線的對稱軸，進而求出點B的坐標，最后結(jié)合圖象即可寫出不等式的解集.15．【答案】3【解析】【解答】解：∵矩形的長為a，寬為b(a＞b)，

劃分后小矩形的長為b，寬為a3，

又∵每一個小矩形與原矩形都相似．

∴ab=故答案為：3?.【分析】根據(jù)劃分后小矩形的長為b，寬為a3，且每一個小矩形與原矩形都相似．則得到：a16．【答案】52???????；【解析】【解答】解：連接EF交PQ于點M，連接BM，取BM中點為O，連接OH、OD，過點O作ON⊥CD于N，如下圖：

∵四邊形ABCD為矩形，DF=CF，AE=BE，

∴四邊形ADFE為矩形，

∴EF=AD=3，

∵FQ∥PE，

∴△MFQ~△MEP，

∴MFME=FQPE，

∵PE=2FQ，

∴EM=2MF，

∴EM=2，MF=1，

當點P與點A重合時，PQ的值最大，此時AE=EM=2，△AEM，△FMQ都是等腰直角三角形，

此時線段PQ掃過的面積為：12×2×2+12×1×1=52，

∴PM=AE2+ME2=22，MQ=FQ2+MF2=2，

∴PQ=PM+MQ=32，

故答案為：52，13

【分析】連接EF交PQ于點M，連接BM，取BM中點為O，連接OH、OD，過點O作ON⊥CD于N，根據(jù)已知條件結(jié)合相似三角形的判定證明△MFQ~△MEP，則MFME=FQPE，進而可知：EM=2，MF=1，當點P與點A重合時，PQ的值最大，此時17．【答案】解：原式=-12-4×32+2【解析】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪和非零數(shù)的零次方為1以及特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.18．【答案】（1）解：連接OA、OC，如圖：

∴∠AOC=2∠ABC=100°，

∴∠AOC即為所求.（2）解：在AC^上任取一點D，連接AD、DC，如圖：

∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，

∴∠AOC即為所求.（3）解：延長AO交⊙O于點E，連接CE、AC，如圖：

∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°，

∴∠CAE=90°-∠E=40°，

∴∠CAE即為所求.【解析】【分析】（1）連接OA、OC，根據(jù)同弧所對的圓周角為圓心角的一半即可求解；

（2）在AC^上任取一點，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到∠D=130°；

（3）延長AO交⊙O19．【答案】（1）解：第一次摸出的球上的數(shù)字為奇數(shù)的概率P=2（2）解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球上的數(shù)字和不小于3的結(jié)果數(shù)為8，所以兩次摸出的球上的數(shù)字和不小于3的概率＝89【解析】【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）畫樹狀圖可知，共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球上的數(shù)字和不小于3的結(jié)果數(shù)為8，根據(jù)概率公式計算即可.20．【答案】解：過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥DE于點F，如圖所示，則∠DAE=75°，∠DCF=45°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF=CF，

在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，

∴AE=DEtan75°≈74.63.73=20(米)，

∴BE=AB-AE≈70-20=50(米)．

∵四邊形BCFE是矩形，

答：小區(qū)樓房BC的高度約為24.6米．【解析】【分析】過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥DE于點F，解直角三角形求出DE、DF的長，即可解決問題.21．【答案】（1）證明：∵PA，PC分別與⊙O相切于點A，C，

∴∠APO=∠EPD，∠PAO=∠E=90°，

∴△APO~△EPD，

∴∠PDE=∠POA（2）解：連接OC、DE交圓于點F，如圖：

∴PA=PC=12，

∵tan∠APC=43=ADAP，

∴AD=16，

在Rt△PAD中，PD=AD2+AP2=20，

∴CD=PD-CP=8，

∵tan∠APC=43，

∴tan∠PDA=34=OCCD，

∴OC=OA=6，

在Rt△OCD中，【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到：∠APO=∠EPD，∠PAO=∠E=90°，進而證明△APO~△EPD，即可求解；

（2）連接OC、DE交圓于點F，根據(jù)題目已知信息求出CD的長度，再證明△DEP~△OED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE、DE的長度.22．【答案】（1）解：∵運動員在空中最高處A點的坐標為(34，916)，

∴A為拋物線的頂點，

∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax-342+916,

∵拋物線過點0，0，

∴916a=-916（2）解：∵E（﹣1，﹣10），運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為4米，∴當x＝3時，y＝﹣9+32×3＝﹣92，

∴運動員此時距離水面10﹣92∴運動員此次跳水不會失誤（3）解：∵EM=7，EN=9，E-1，-10，∴M6，-10，N8，-10，∵入水點為B4，-10，∴-10=4-h2+k，①當拋物線經(jīng)過點M時，-10=6-h2+k，∴【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到A為拋物線的頂點，則利用頂點式設(shè)拋物線的解析式為：y=ax-342+916,進而利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，最后令y=-10，求出x的值即可得到點B的坐標；

（2）根據(jù)題意得到調(diào)整點的坐標為3，-923．【答案】（1）解：①∵m=2，n=4，

∴P2，4，

∵點P（m，n）在拋物線y＝a（x﹣1）2+3（a為常數(shù)，a≠0）上，

∴4=a+3，

∴a=1，

∴拋物線解析式為：②由①知該拋物線對稱軸為直線x=1，

∴t-1<1t>11-t-1（2）解：當a＞0時，y＞3，與題意不符，

∴