1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編集合章節(jié)綜合2一、單選題1．（2021·北京·北師大二附中高一期中）定義全集的子集的特征函數(shù)對(duì)于任意的集合、，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是．A．若，則，對(duì)于任意的成立B．，對(duì)于任意的成立C．，對(duì)于任意的成立D．若，則，對(duì)于任意的成立2．（2021·北京八十中高一期中）設(shè)集合，，則A． B． C． D．3．（2021·北京八十中高一期中）如圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（?UB） D．4．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，，則（）A． B． C． D．5．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）下列所給元素與集合的關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．6．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知集合，，則（）A． B．C． D．7．（2021·北京八中高一期中）若集合，，則集合（）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，那么等于（）A． B． C． D．9．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合，集合，那么（）A． B． C． D．10．（2021·北京·北師大二附中高一期中）若集合，則等于（）A． B． C． D．11．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)集合，，則它們之間最準(zhǔn)確的關(guān)系是（）．A． B．C． D．12．（2021·北京·人大附中高一期中）R為全體實(shí)數(shù)集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，則＝（）A．[1，4） B．（﹣1，+∞）C．[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪（4，+∞）13．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知集合，則（）A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}14．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）若集合，則（）A． B．C． D．二、雙空題15．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)集合，，若，則___________；___________.16．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.（1）若中有且只有一個(gè)元素，則的值為_(kāi)__________；（2）若且，則的取值范圍是___________.三、填空題17．（2021·北京·人大附中高一期中）設(shè)集合，其中為實(shí)數(shù)，令，，若中的所有元素之和為6，中的所有元素之積為_(kāi)________．18．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)，集合，，若，則__________．19．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)________．20．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值是__________21．（2021·北京·人大附中高一期中）某班45名學(xué)生參加“3·12”植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，每位學(xué)生都參加除草?植樹(shù)兩項(xiàng)勞動(dòng).依據(jù)勞動(dòng)表現(xiàn)，評(píng)定為“優(yōu)秀”?“合格”2個(gè)等級(jí)，結(jié)果如下表：等級(jí)項(xiàng)目?jī)?yōu)秀合格合計(jì)除草301545植樹(shù)202545若在兩個(gè)項(xiàng)目中都“合格”的學(xué)生最多有10人，則在兩個(gè)項(xiàng)目中都“優(yōu)秀”的人數(shù)最多為_(kāi)________22．（2021·北京·人大附中高一期中）滿足的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________個(gè).23．（2021·北京·北師大二附中高一期中）已知集合，若，則___________.四、解答題24．（2021·北京·北師大二附中高一期中）對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“和諧集”．（）判斷集合是否是“和諧集”（不必寫(xiě)過(guò)程）．（）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)只含有個(gè)元素的“和諧集”，并證明此集合為“和諧集”．（）當(dāng)時(shí)，集合，求證：集合不是“和諧集”．25．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，集合，集合，且集合滿足，.（1）求實(shí)數(shù)的值.（2）對(duì)集合，其中.定義由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合，，其中是有序?qū)崝?shù)對(duì)，集合和中的元素的個(gè)數(shù)分別為和，若對(duì)任意的總有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì).①請(qǐng)檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)，并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合和.②試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.26．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍.27．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）對(duì)于一個(gè)所有元素均為整數(shù)的非空集合，和一個(gè)給定的整數(shù)，定義集合.（1）若，直接寫(xiě)出集合，和；（2）若，其中，，求的值，使得集合中元素的個(gè)數(shù)最少；（3）寫(xiě)出所有滿足的整數(shù)和，使得當(dāng)集合時(shí)，有，并說(shuō)明理由.28．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.29．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合、集合.求（1）；（2）；（3）.30．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）設(shè)集合，若，求a的取值范圍.

參考答案1．C【詳解】分析：根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，可得A、B、D都可以證明它們的正確性，而C項(xiàng)可通過(guò)反例說(shuō)明它不正確．由此得到本題答案詳解：且時(shí)，，，，所以，所以選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故選．點(diǎn)睛：本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的理解等知識(shí)，屬于中檔題2．C【分析】由集合間的交運(yùn)算求解即可.【詳解】∵集合，，∴．故選．【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交運(yùn)算;屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】根據(jù)韋恩圖的意義，結(jié)合集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)韋恩圖的意義，陰影部分表示的集合為：集合與在集合中的補(bǔ)集的交集.故可表示為：.故選：A.4．C【分析】先求解集合A中的不等式，判斷A，B的包含關(guān)系，計(jì)算，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：C5．A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)、自然數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】，，，故選：A6．A【分析】根據(jù)交集的定義，即得解【詳解】由題意，根據(jù)交集的定義故選：A7．D【分析】直接利用集合交集的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題..8．C【分析】直接利用交集的定義求解即可【詳解】解：因?yàn)榧?，所?，故選：C9．A【分析】求得集合，集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以.故選：A.10．A【分析】直接利用交集的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A11．C【分析】利用列舉法可判斷集合、的包含關(guān)系.【詳解】由集合得，，則，由集合得，，則，所以，，故選：C．12．C【分析】求出和集合B，由此能求出．【詳解】解：R為全體實(shí)數(shù)集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，∴＝{x|x≤﹣1或x≥4}，∵B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，∴＝{x|x≥4}．故選：C．13．A【分析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：A14．D【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，故選：D15．11【分析】先求解集合A，B中的不等式，再結(jié)合，列出關(guān)于的等量關(guān)系，即得解【詳解】由題意，集合由于，即或故，否則故集合或故解得故答案為：1，116．1【分析】（1）由題意，不等式的解集只有一個(gè)元素，利用開(kāi)口方向和判別式控制，列出不等關(guān)系，即得解；（2）由且，列出不等關(guān)系，求解即可【詳解】（1）由題意，不等式的解集只有一個(gè)元素故，解得（2）由題意，且故，解得故答案為：1，17．【分析】根據(jù)中的元素的和為6可得的元素，從而可求中的元素，從而可得各元素的積，注意分類(lèi)討論.【詳解】因?yàn)?，而，故，所以，若，則或（舍），此時(shí)，故中的所有元素之積為.若，則，這與或，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則或（舍），此時(shí)，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則，則，即，無(wú)解.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于集合中元素的確定問(wèn)題，注意利用元素的互異性、確定性和無(wú)序性來(lái)分類(lèi)討論.18．1或2【詳解】，解方程可得因?yàn)?，所以，?dāng)m=1時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即m=2時(shí)，滿足題意，故m=1或2.19．或4【分析】化簡(jiǎn)集合A、集合B，再結(jié)合，確定直線與平行或直線過(guò)點(diǎn)，最后求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】集合A表示直線，即上的點(diǎn)，但除去點(diǎn)，集合B表示直線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與平行或直線過(guò)點(diǎn)，所以或，解得或．故答案為：或420．【分析】由，分，兩種情況討論，結(jié)合集合中元素的互異性分析，即得解【詳解】由題意，（1）若，則，和集合中元素的互異性矛盾，不成立；（2）若，則，由（1）若，則，，成立故實(shí)數(shù)的值是故答案為：21．15【分析】用集合表示除草優(yōu)秀的學(xué)生，表示植樹(shù)優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用全集表示，則表示除草合格的學(xué)生，則表示植樹(shù)合格的學(xué)生，作出Venn圖，易得它們的關(guān)系，從而得出結(jié)論．【詳解】用集合表示除草優(yōu)秀的學(xué)生，表示植樹(shù)優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用全集表示，則表示除草合格的學(xué)生，則表示植樹(shù)合格的學(xué)生，作出Venn圖，如圖，設(shè)兩個(gè)項(xiàng)目都優(yōu)秀的人數(shù)為，兩個(gè)項(xiàng)目都是合格的人數(shù)為，由圖可得，，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?2．4【分析】根據(jù)子集的定義即可得到集合的個(gè)數(shù)；【詳解】，或或或，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.23．【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系以及集合的特征即可求解.【詳解】，，則或，解得或，當(dāng)時(shí)，集合中有兩個(gè)相同元素，（舍去），所以.故答案為：24．(1)集合不是“和諧集”.(2)集合是“和諧集”；證明見(jiàn)解析.(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)定義，判斷集合{1，2，3，4，5}不是“和諧集”；（2）集合，根據(jù)定義驗(yàn)證即可；（3）不妨設(shè)，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有③，或者④，由定義得出矛盾即可證明結(jié)論.【詳解】（）集合不是“和諧集”．（）集合，證明：∵，，，，，，，∴集合是“和諧集”．（）證明：不妨設(shè)，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有③，或者④，由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，故當(dāng)時(shí)，集合一定不是“和諧集”．【點(diǎn)睛】考查新定義下的集合問(wèn)題，對(duì)此類(lèi)題型首先要多讀幾遍題，將新定義理解清楚，然后根據(jù)定義驗(yàn)證，證明即可，注意對(duì)問(wèn)題思考的全面性，考查學(xué)生的思維遷移能力、分析能力，屬于創(chuàng)新題.25．（1）（2）①具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)；，；②，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由，，可得，從而可求得的值，驗(yàn)證即可得結(jié)論；（2）①由（1）求得，，檢驗(yàn)性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②分別證得和，從而可得．【詳解】（1）由，，，，可得，則，則或，時(shí)，，不滿足，時(shí)，，滿足題意，綜上，.（2）①，具有性質(zhì)，，，，，但，則不具有性質(zhì).②，證明如下：對(duì)任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對(duì)應(yīng)的不同，則中每個(gè)元素在中都能找到不同元素與之對(duì)應(yīng)，則中元素個(gè)數(shù)不少于中元素個(gè)數(shù)，對(duì)任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對(duì)應(yīng)的不同，則中每個(gè)元素在中都能找到不同元素與之對(duì)應(yīng)，則中元素個(gè)數(shù)不少于中元素個(gè)數(shù)，綜上.26．（1）（2）（3）【分析】（1）求出集合，再由并集與補(bǔ)集的定義求解即可；（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想列出不等式，即可求解；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想列出不等式，即可求解；（1）或，當(dāng)時(shí)，，或，；（2）當(dāng)時(shí)，滿足條件，此時(shí)有，此時(shí)無(wú)解，故；當(dāng)時(shí)，由得：，解得，所以的取值范圍是；（3）由（2）可知，由可知：或，解得或，所以的取值范圍是27．（1），，.（2）答案見(jiàn)解析.（3），或，.【分析】（1）根據(jù)題意，集合，利用列舉法，即可求得；（2）由，得到，得到時(shí)，此時(shí)中的元素個(gè)數(shù)最少，分類(lèi)討論，即可求解；（3）根據(jù)題意，分、和三種情況分類(lèi)討論，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.（1）解：由題意，集合，且，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.（2）解：由題意，集合，對(duì)于，其中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)中的元素個(gè)數(shù)最少，若為奇數(shù)，則時(shí)，中的元素個(gè)數(shù)最少；若為偶數(shù)，則或時(shí)，中的元素個(gè)數(shù)最少.（3）解：若時(shí)，可得，此時(shí)，且，所以；若時(shí)，可得，要使得且，則，即.若時(shí)，此時(shí)，顯然中有很多整數(shù)空缺，所以不成立.綜上可得：，或，.28．（1）或，；（2）；（3）或.【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出集合，再進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解；（2）由題意可得，討論和，列關(guān)于的不等式或不等式組即可求解；（3）由可得