專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)

目錄

明晰學(xué)考要求....................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理....................................................................................1

考點(diǎn)精講講練....................................................................................4

考點(diǎn)一：函數(shù)的概念.........................................................................4

考點(diǎn)二：函數(shù)的表示.........................................................................6

考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?.......................................................9

考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性.......................................................................11

考點(diǎn)五：塞函數(shù).............................................................................15

考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用（一）..................................................................17

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練...................................................................................21

明晰學(xué)考要求@

1、體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的概念；

2、了解構(gòu)成函數(shù)要素，能求簡(jiǎn)單的函數(shù)定義域；

3、會(huì)根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的作用;

4、了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；

5、會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，最大值，最小值；

6、了解奇偶性的概念；

7、了解周期性的概念

基礎(chǔ)知識(shí)梳理0

1、函數(shù)的概念

設(shè)A、8是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在

集合8中都有唯一確定的數(shù)/W和它對(duì)應(yīng)，那么稱/：AT"為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作

￥=/（戈）,xeA.

其中：x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

與x的值相對(duì)應(yīng)的fM值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/（工）Ix￡A｝叫做函數(shù)的值域.

2、同一（相等）函數(shù)

函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

3、函數(shù)的表示

函數(shù)的三種表示法

解析法(最常用)圖象法(解題助手)列表法

就是把變量x,＞之間的關(guān)系

就是把X,y之間的關(guān)系繪制就是將變量X,)'的取值列成

用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)來(lái)表

成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

示，通過(guò)關(guān)系式可以由X的值

就是相應(yīng)的變量Jy的值.的關(guān)系.

求出)'的值.

4、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/(月的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值七，馬；

①當(dāng)王＜占時(shí)，都有/(百)〈/52),那么就說(shuō)函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)

②當(dāng)王＜&時(shí)，都有/(玉)＞/(毛)，那么就說(shuō)函數(shù)/(x)在區(qū)間3上是減函數(shù)

(2)單調(diào)性簡(jiǎn)圖：

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù))，=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間。叫做函數(shù)/(工)的單調(diào)區(qū)間.

5、函數(shù)的最值

(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

①對(duì)于任意的九￡/,都有

②存在乙￡/,使得“Xo)=M

則M為最大值

(2)設(shè)函數(shù)y=.f(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)〃?滿足

①對(duì)于任意的is/,都有之〃?；

②存在小￡/,使得/(%))="2

則加為最小值

6、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(1)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有圖象關(guān)于y軸

偶函數(shù)

/(-x)=/(x),那么函數(shù)/(X)是偶函數(shù)對(duì)稱

如果對(duì)于函數(shù)/(工)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有圖象關(guān)于原點(diǎn)

奇函數(shù)

/(-r)=-/(r),那么函數(shù)是奇函數(shù)對(duì)稱

7、函數(shù)對(duì)稱性

(1)軸對(duì)稱：若函數(shù)/(幻關(guān)于直線對(duì)稱，則

①/(a+x)=/(q-x)；

②/(x)=/(2〃-x)；

③/(r)=/(2〃+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線(。,0)對(duì)稱，則

①/m+x)=-/(q-?

@f(x)=-f(2a-x)

@f(-x)=-f(2a+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(此關(guān)于直線(。/)對(duì)稱，則

①f(a+x)=-f(a-x)+2b

②fW=-f［2a-x)+2b

③/(-幻=-/(2。+/)+2〃

8、塞函數(shù)定義

一般地，形如/(x)=f的函數(shù)稱為嘉函數(shù)，其中x是自變量，。是常數(shù).

9、五種常見(jiàn)募函數(shù)

￡

3

函數(shù)y=xv=Fy=xy=x2

//;

圖象書上令

定義域RRR{x|x>0}{匯|女工0}

值域R{yly>0)R3”。}3"0}

性

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

質(zhì)

在R上單在(70,0］上在R上單調(diào)在［0,”)上單在(-8,0)和

單調(diào)性

調(diào)遞增單調(diào)遞減；在遞增調(diào)遞增(0,+8)上單

A.55B.190C.210D.231

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】利用賦值法分析可得/(T)=0,/(x-l)-/(x)=-x,即可得結(jié)果.

【詳解】令x=y=o,則/(0)=/(0)+/(0),可得/(0)=0；

令”1,尸一1,則/(0)=/⑴+=可得〃—1)=0；

令y=T,HlJ/(X-D=/(X)+/(-l)-X=/(X)-X,即/(X-l)—"x)=T,

貝！l/(-2)_/(_l)=lJ(-3)-/(_2)=2,...J(_20)-/(_19)=19,

可得/(-20)-/(-l)=l+24--+19=^1+1^X19=I9O,

所以/(一20)=190.

故選：B.

【即時(shí)演練】

1.下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是(

A./(X)=)(%-1)?，^(x)=x-l

/(x)=x2+l,^(/)=(Vr?7Ty

c./(x)=&-1?g(x)=Jx+1.Jx-l

2

D./(x)=x,屹)=二

X

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域等知識(shí)來(lái)確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，/(x)=7(x-l)2=|x-l|>O^(x)eR,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，〃力=1+1,8?)=卜，產(chǎn)+])=產(chǎn)+1,

兩個(gè)函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同，所以是同一函數(shù)，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，對(duì)于/(X)=-1,x2-1>0,解得xW-l或xNI,

所以“X)的定義域是(-8,T]D[1,E),

..?-----fx+l>0

對(duì)于g(x)=4+1&T，解得xNl,

'x-l>0

所以g(x)的定義域是口，+8)，所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，/")=%的定義域是R,

g(x)=E的定義域是{XIXHO},所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

X

故選：B

2.函數(shù)/*)=4^1+T匚的定義域?yàn)?)

3-x

A.[1,-KO)B.[l,3)U(3,+oo)C.(1,3)0(3,-Ko)D.[3,+8)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求定義域即可.

【詳解】由題可得解得xNl且女工3.

3—％了0

所以的定義域?yàn)閇1,3)5,內(nèi)).

故選：B.

3.已知函數(shù)/3滿足/(x+2)=3x+4,則f(2)=()

A.-2B.1C.4D.7

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】根據(jù)給定條件，令"2=2,即取x=0代入計(jì)算即得.

【詳解】函數(shù)滿足//+2)=3尤+4,當(dāng)x+2=2,即x=0時(shí)，/(2)=3x0+4=4.

故選：C

考點(diǎn)二：函數(shù)的表示

【典型例題】

—廣+2]+2,x?2/、

例題1.(2024安徽)已知函數(shù)/(力=仆.2口〉2，則"3)=()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，代入準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)+彳+2；42,貝|J43)=43-2)=〃1)=-12+2X1+2=3.

J(X-Z),X>2

故選：D.

例題2.(2024浙江)已知函數(shù)/(力=26國(guó)(國(guó)表示不超過(guò)了的最大整數(shù))，貝

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義

【分析】根據(jù)定義直接求解即可.

5=2x|-[|]-2=3.

【詳解】由題意/-=5

乙

故答案為：3.

11c

例題3.(2024江蘇)已知函數(shù)/(x)滿足/(—lr)+〃x)=-7,且//(x)+-------x——+2

/(x)+3x

貝JI/(2024)=

【答案】一標(biāo)或2°2L

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、已知f（g（x））求解析式

【分析】/=/（力+品行-x—g+2,通過(guò)賦值法，求出，的值，進(jìn)而得到了（“，再求解即可.

[詳解]令f=/（x）+/（；）+3一%一：+2,貝!l/（，）=T，

令》=，貝卜=/（/）+^^75-"；+2=-4-1_/_；+2,解得；=一1或

而/(—l—x)+/(x)=-7,故/[￡]='.因此

則7=”小7^7一%2，

即/(力+3+1=x+)J3+3r=」_1]二夕；+；三,

/(-v)+3xx〃"+3X(/(A)+3)

因此〃小3-…或?(x)+3)=l

當(dāng)M/3+3）=l時(shí)，，時(shí)/（力=：-3,此時(shí)“2024）=焉一3"黑；

人乙U乙F4V/乙

當(dāng)/（力=4一3時(shí)，7（2024）=2021.

故答案為：一黑或2021.

2024

【即時(shí)演練】

2x2,（0<^<1）

1.函數(shù)/（》）=2,（12）的值域是（）

3g2）

A.RB.[0,+司C.[0,3]D.[0,2]u{3}

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段求解，取并集即可.

【詳解】當(dāng)0Wx<l時(shí)，。4/"）=2.，<2,

當(dāng)1KXV2時(shí)，/(x)=2,

當(dāng)2"時(shí)，/U)=3,

所以O(shè)Kx時(shí)，/(八)的值域?yàn)閇O,2]u{3},

故選：D

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的應(yīng)用

【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域，利用函數(shù)值可得出其解析式，代入計(jì)算即求得函數(shù)值.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知x=2和x=4不在函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)，

2

因此x=2和x=4是方程加+加+。=0的兩根，因此可得/(")="(_o)(i_4)，

又易知"3)=1,所以可得。=—2；

BP/(r)=-(A-2)(x-4)>所以〃ST

故選：D

l,x<2

3.已知函數(shù)/(x)=,x—1,2Kx<3,且/(毛)=2,則與=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程(不等式)組，解得即可.

l,x<2

【詳解】因?yàn)?(X)=——1,2WK<3,且/(不)=2,

x2-l,x>3

24%<3

解得%=3.

x0-l=2或〔片-7=2

故選：C

考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

【典型例題】

例題1.（2023新疆）若函數(shù)/3=/+2（〃-3在區(qū)間（-8,4］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<-3B.a<5C.a>3D.a>-3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

【分析】先分析/（X）的對(duì)稱軸，然后根據(jù)/（X）在（-8,4］上的單調(diào)性得到關(guān)于。的不等式，由此求解出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)?（力的對(duì)稱軸為“="〃，且/（.r）在（-8,4］上是減函數(shù)，

所以1—所以。工―3,

故選：A.

fx+2x<0

例題2.（2024北京）已知/"）=2；:八則/（T）=________;/"）的最大值為_(kāi)_______.

—X+2,X2U,

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】第一空直接代入即可，第二空分別計(jì)算兩段的最大值，比較即可求解.

【詳解】由解析式可知：/（-1）=1,

當(dāng)xvO,易知/（x）v2,

當(dāng)xNO,/（X）=-X2+2<2,當(dāng)工=0時(shí)，取最大值2,

所以/"）的最大值為2,

故答案為：1,2

例題3.（2023吉林）已知函數(shù)八力二導(dǎo)（工41,—））.

⑴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,田）上單調(diào)遞減;

（2）若，S）>/（2a+3）,求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

⑵[L3)

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

(為一

【分析】（1）任取王>々之1，作差〃內(nèi)）一/5）=分析每一個(gè)因式的正負(fù)，進(jìn)而得到

(<+l)(xj+l)

/（芭）-/（々）<（）,可判斷單調(diào)性;

a2>\

（2）根據(jù)第一問(wèn)得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式24十3之1,解不等式即可得到答案.

a2<2。+3

【詳解】（1）任取%>占N1，

.f（\f（\-芭％_XiX2+X1-X2Xi__（X2-X\）（X1-^2-9

則n/⑺Y-/㈤YF-的一不為所廠正函可，

因?yàn)橛?gt;工221，貝?。▁：+1）卜；+1）>0,X2-X1<0,A^X,-1>0,

則/（x.）-/（x2）<0,故/（X）在[1,-KX））上單調(diào)遞減.

（2）由（1）得，"X）在。內(nèi)）上單調(diào)遞減，

a2>1。4-1或a21

所以，2—321,解得Y2-1,

1

、a<2a+3-1<a<3

所以l《a<3,即所求范圍是[1,3）.

【即時(shí)演練】

1.已知函數(shù)），=/-〃吠-3在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.[0,2]B.（0,2）C.（^O,0]U[2,-KX））D.（^O,0）|J（2,-KX））

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.

【詳解】函數(shù)y=f-帆?3的圖象對(duì)稱軸為/=

由為數(shù)），=/-〃a-3在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù)，得今<0或解得〃區(qū)0或〃z》2,

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是（F,0]U[2,田）.

故選：C

2.若?。?廠：（3-：）1"<1在/?上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__.

X+5（7,X>I

【答案】卜|-廣3〃41鼠

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.

f“3-2a

【詳解】由題意可得：14-2---,解得_白3〃弓1，

1+5?>-1+（3-2?）-47-

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為卜I<

故答案為：卜I-白。弓、

3.己知函數(shù)/（幻=”一自

X

⑴證明：函數(shù)/（X）在區(qū)間（O.+oo）上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)xe[2,6],求函數(shù)/（x）的值域.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵[-1,5]

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；

（2）利用己證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

【詳解】（1）任取心馬仁①，4^0），且內(nèi)<修，

由/（$）-/“，）=（N-2）一（%，-￡）=（內(nèi)-彳,）—6。2*）=（百一占）（1+-^_）,

XA,x{x2xtx2

因0VX|VX2，故1+9>°,內(nèi)一X2<°，故/?！绷藚^(qū)），

?kJ

即為數(shù)/*）在區(qū)間（0，包）上是增函數(shù)；

（2）由（1）己證：函數(shù)/（'）在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)，故在⑵6]上也是增函數(shù),

則/（2）4/*”/（6）,即故函數(shù)/（x）的值域?yàn)閇-1,5].

考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性

【典型例題】

例題1.（2024安徽）已知函數(shù)/■（.、）=ae'+e-，，若），=/。）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)〃

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，令*0）=0,即可得到答案.

【詳解】?二函數(shù)/（x）=ae'+ef的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.??/1（#）為奇函數(shù),

/（0）=。+1=0,

經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè).

故答案為：-1

例題2.（2024福建）已知函數(shù)〃幻二爐+4工

⑴判斷函數(shù)/（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由

（2）當(dāng)x>0時(shí)，/（x）之去2恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】（1）奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析

⑵〃W4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷；

(2)由題意可得當(dāng)x>0時(shí)，女￡工+色恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得答案.

xx

【詳解】(1)/。)=7+4.丫的定義域?yàn)榭?，且滿足/(-幻=(-盯-4x=-/(x),

故/(x)為奇函數(shù)；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，恒成立，即丁+4］之履。

4

即AKx+一恒成立，

x

又工+：226|=4,當(dāng)且僅當(dāng)不=即x=2時(shí)取等號(hào)，

故kW4.

例題3.(2024安徽)已知函數(shù)71(x)=R^(x?-l5)是奇函數(shù)，且"1)=3

(1)求"的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)在［75上的單調(diào)性，并加以證明；

⑶若函數(shù)/(6滿足不等式1)</(-與，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】(1)。=1/=1

(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析

⑶網(wǎng)

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)

【分析】(I)利用/(0)=0和/⑴=3可求得。，〃，檢驗(yàn)可知滿足題意；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；

(3)利用單調(diào)性及定義域列出不等式即可

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃”=小匯是定義在［-1內(nèi)上的奇函數(shù)，且/⑴=4，

x+a2

b-\

/(0)=—=0

則:解得力

/⑴

。+12

所以函數(shù)人力=告，

k+1

檢驗(yàn)：/(-x)=-^=-/(x),故函數(shù)為奇函數(shù)，

所以4=1,/?=1：

(2)/(X)在［-1,1］上單調(diào)遞增.

證明如下：對(duì)于任意%,占且菁〈占，

rn.lf（\_X1X2_（"JI［（占"l）

貝”"xJ-Hx2）-”-而-（片+1）（/+1），

由-1?Kx2?1,得/-X］>0，辦工2<1，］|工2-I<°，

又x；+1>0,x；+1>0,

所以〃%）一/（工）<。，即/（N）</（M），

故密數(shù)/（%）在［-11］上單調(diào)遞增；

⑶不等式/（，?1）</（-2），

-l<r-l<l

/3）是增函數(shù)，且3T1］,所以IK-2/K1,解得0±<；,

/-1<-2;

所以/的取值范圍是［（），；）

【即時(shí)演練】

1.已知“X）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xKO時(shí)，/（x）=2.r+x+l-?,則。+入1）=（）

A.-2B.-1C.1D.1

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出口，再求出八-1）即可得解.

【詳解】因?yàn)?"）為定義在R上的奇函數(shù)，

所以〃（））=j=（）得4=1，

所以/（-1）=2-1+1-1=1,故/。）=一/（-1）=-1,

則〃+/（1）=0,

故選：C.

2.已知函數(shù)/"）=卜:一版為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=_____.

x~+nix,x>0

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義求解即得.

【詳解】由函數(shù)/*）=［￡為偶函數(shù)，得/（—x）=/（x）,

x~+AZLV,X>0

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,f(x)=/(-J)=(-x)2-3(-X)=x2+3x,

而當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+mx,則/〃=3,SP/(A)=x2+3x,

當(dāng)xv0時(shí)，-x>(),/(x)=f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x,符合題意,

所以/n=3.

故答案為：3

3.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=x2-x.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；

(2)若/(2m—求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】⑴/圖象見(jiàn)解析；

x-x,x<0

(2)(0,2).

【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、畫出具體函數(shù)圖象、由函數(shù)奇偶性解不

等式

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義，求出x>0時(shí)，函數(shù)/(X)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)及偶函數(shù)

的性質(zhì)畫出圖象即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性可得|2m-1|<加+1|,運(yùn)算求解

即可.

【詳解】(1)當(dāng)X>0時(shí)，則T<0,

由題意可得：/(-X)=(-X)2-(-x)=x2+x,

因?yàn)楹瘮?shù)/("是R上的偶函數(shù)，所以/(-%)=/?(%),

所以/(1)=f(-X)=X2+X,

所以函數(shù)/(X)的解析式為

結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)易畫出/(X)圖象如圖所示：

（2）結(jié)合該函數(shù)/（力的圖象可知：/（”在（7,0）上單調(diào)遞減在（0,+8）上單調(diào)遞增.

又因?yàn)楹瘮?shù)/"）是R上的偶函數(shù)，且

所以|2加一1|<帆+1],

整理可得:nr-2tn<0,解得：0<7W<2.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0.2）.

考點(diǎn)五：幕函數(shù)

【典型例題】

例題1.（2024湖南）已知黑函數(shù)），=嚴(yán)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,4）,則。=（）

1I

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求塞函數(shù)的解析式

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得

【詳解】將（2,4）代入），=/得：4=2%解得：。=2.

故選：A

例題2.（2023江蘇）已知幕函數(shù)/3=（>+2/〃-2）/在（0,+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是寡函數(shù)求參數(shù)值、由新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義，求得〃?=-3或〃7=1,結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃力=（療+2，〃-2）4"為幕函數(shù)，可得4+2〃!_2=1,

即nr+2m-3=0f解得m=-3或m=1,

當(dāng)，〃=-3時(shí)，函數(shù)“x）=x-3在（（）,+⑹上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x在（0,y）上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：A.

例題3.（2023寧夏）已知嘉函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)尸（3,9）,則1=

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是黑函數(shù)求參數(shù)值

【分析】將點(diǎn)*3,9）代入函數(shù)即可求解.

【詳解】因?yàn)榛瘮?shù)"x）=./的圖象過(guò)點(diǎn)?（3,9）,

所以/（3）=3。=9,解得a=2.

故答案為：2.

【即時(shí)演練】

1.已知事函數(shù)“力=（〃，-3〃7+3卜”用的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足（〃+1戶＞（3-2”'成立的實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（0,2）B-（°，|）C.停4）D.（4,4-0））

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是幕函數(shù)求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】根據(jù)基函數(shù)的知識(shí)求得加，由此化簡(jiǎn)不等式（〃+1）"‘＞（3-24尸并求得不等式的解，從而求得。的

取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=?〃2_3m+3）一是累函數(shù)，貝b〃2-3〃?+3=l,解得m=1或〃?=2.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于'軸對(duì)稱，與已知矛盾；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，〃力=1是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得加=2,

不等式（a+1產(chǎn)）（3-2a）川化為（a+1）2＞（3-2〃尸，

即（3a-2）（a-4）〈0,解得|＜〃＜4,所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為停4）.

故選：C

2.已知幕函數(shù)/（x）=（/_3）x#32在（o,+8）上單調(diào)遞減，則〃的值為.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是幕函數(shù)求參數(shù)值、由零函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】先根據(jù)騫函數(shù)定義確定口的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出。的值.

【詳解】因?yàn)?（x）為塞函數(shù)，所以/-3=1,所以。=±2,

當(dāng)a=2時(shí)，/"）=/，在（0,+⑹上單調(diào)遞增，不符合；

當(dāng)。=-2時(shí)，/（x）=x-2,在（0,十⑹上單調(diào)遞減，符合；

故答案為：—2.

3.已知幕函數(shù)/"）=/圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,2）,若〃〃+1）＞/（3-2〃），則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是；若

0＜*氣，則/叫小）—心守

【答案】/（23-〈

【知識(shí)點(diǎn)】求累函數(shù)的解析式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】由條件先求a,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求。，根據(jù)基本不等式判斷小昨區(qū)與

2

八甘）的大小.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=Y圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,2）,

所以4a=2,

所以。=不，故"x）=R，

函數(shù)）的定義域?yàn)椋邸悖?），且函數(shù)/W在［。，笆）單調(diào)遞增,

a+\>3-2a

所以“〃+1）>/（3-%）可化為“+120,

3-2a>0

23f23-

所以即〃的取值范圍是；

因?yàn)?(‘=/,。＜為＜/,

所以演+W>2新兀

所以/"+＞)=『+W=J芭+W+X+E

所以/‘內(nèi)+電）》/芭+/+2/^=J（嘉+森）=喜+嘉=/（X）+/（W）,

即/⑷:/㈤%+占

2

（23一

故答案為：-y—,<.

考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用（一）

【典型例題】

例題1.（2024浙江）有一支隊(duì)法長(zhǎng)51，以V的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返

V

回排尾，速度為匕，若傳令員回到排尾時(shí)，隊(duì)伍正好前進(jìn)了2Zm,則寸=（）

A.2B.3C.D.3+石

22

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用

【分析】計(jì)算隊(duì)伍前進(jìn)的總時(shí)間：，傳令兵從排頭到排尾的時(shí)間八及從排尾到排頭的時(shí)間G，根據(jù)傳令兵

往返總時(shí)間與隊(duì)伍前進(jìn)時(shí)間相等即可求解.

【詳解】設(shè)總時(shí)間為匕傳令員從排頭到排尾所用時(shí)間為人從排尾到排頭所用時(shí)間為『2，

LL2LLL2L

所以％=N+V/2=卜_丫，，=歹,所以+-+.=歹,

解得片_vy_2=（）,即住f]=（）,

所以乜=匕立.

V2

故選：C.

例題2.（2022浙江）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30

年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬(wàn)元,根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該

建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬(wàn)元）與隔熱層的厚度力（單位：厘米）滿足關(guān)系：

"（〃）=熱.經(jīng)測(cè)算知道,如果不建造隔熱層'那么3。年間每年的能源消耗費(fèi)用為】。萬(wàn)元.設(shè)

*萬(wàn)）為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使爪”）達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h

,厘米.

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值

12001200

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)尸（/?）=30'（力）+9萬(wàn)=-------+9/?=--------+3（36+4）-12,利用基本不等式求解.

3/7+43力+4

【詳解】由題意及N（/?）二堵S，可得N（0）=g=10,BP〃1=40,

小回島]

隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和

*/?)=30%02)+9〃=^^+9〃=^^+3(3萬(wàn)+4)—1222

-3(3/1+4)-12=108(萬(wàn)元),

當(dāng)且僅當(dāng)黃、=3（34+4）,即力=方（厘米）時(shí)*萬(wàn)）達(dá)到最小值.

故答案為：y.

例題3.（2023安徽）如圖,某小區(qū)要在一個(gè)直角邊長(zhǎng)為30m的等腰直角三角形空地上修建一個(gè)矩形花園.記

空地為VA8C,花園為矩形OEFG.根據(jù)規(guī)劃需要，花園的頂點(diǎn)尸在三角形的斜邊8c上，邊DG在三角

形的直角邊人C上，頂點(diǎn)G到點(diǎn)。的距離是頂點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離的2倍.

⑴設(shè)花園的面積為S（單位：nf）,AO的長(zhǎng)為r（單位：m）,寫出S關(guān)于犬的函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)AO的長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

【答案】(l)S=2x(30-3x),(0<x<10)

(2)當(dāng)AO的長(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150nf.

【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題、基本(均值)不等式的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值

【分析】(1)根據(jù)矩形面積即可求解，

(2)根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】(1)AO=x，貝！)。6=6/=2K，GD=3O-x-2x=3O-3x,

所以S=GOGF=2x(30-3x),(0<x<10)

.zr2

(2)S=2x(30-3x)=1-3x(30-3x)<|\"，C；—)二胎。，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=30-3x,即x=5時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)AO的長(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150mh

【即時(shí)演練】

1.近幾年來(lái)，“盲盒文化〃廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國(guó)落地生根，并發(fā)展處具有中國(guó)特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，

某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬(wàn)購(gòu)進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬(wàn)的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒X

年(工為正整數(shù))所用的各種費(fèi)用總計(jì)為2/+10X萬(wàn)元.

⑴該公司第幾年首次盈利(總收入超過(guò)總支出，今年為第一年)？

(2)該公司第幾年年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

【答案】⑴第3年

⑵第7年平均利潤(rùn)最大，為12萬(wàn)元

【知識(shí)點(diǎn)】基本(均值)不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

【分析】(1)先求得利潤(rùn)的表達(dá)式，由此列不等式來(lái)求得正碓答案.

(2)先求得平均利潤(rùn)的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】(D設(shè)利潤(rùn)為九貝!)>=50工-(98+2/+10?)=-2/+4。'-98卜￡汗)，

由一2一+40x—98>0整理得x2-20x+49<0,

解得10-后<x<10+6F,由于xeNZ

所以xe{xeN”|3"?17},所以第3年首次盈利.

(2)首先xe{xeN"|3?E7},

由(1)得平均利潤(rùn)4打+40<—2x2^^+=萬(wàn)元，

49

當(dāng)且僅當(dāng)工=一，x=7萬(wàn)元時(shí)等號(hào)成立，

x

綜上，第7年，平均利潤(rùn)最大，為12萬(wàn)元.

2.遼陽(yáng)大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費(fèi)者歡迎.某遼陽(yáng)大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客，提供兩種

購(gòu)買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價(jià)為24元，顧客買x(x>0)斤，每斤的售價(jià)降低x

元；第二種方案，顧客買X(x>0)斤，每斤的售價(jià)為(14+三)元.已知每位顧客限購(gòu)9斤大果榛子.設(shè)

一名顧客按照第一種方案購(gòu)買大果榛子的付款額為/(冕)元，按照第二種方案購(gòu)買大果榛子的付款額為

g(x)元.

⑴分別求函數(shù)/⑺，g(x)的解析式；

(2)已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的方案購(gòu)買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且

甲購(gòu)買了5斤大果榛子，試問(wèn)乙購(gòu)買了多少斤大果榛子？

【答案】⑴=+24x,XG(0,9];2(X)=14X+21,XG(0,9].

(2)乙購(gòu)買了2斤大果榛子

【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

【分析】(1)根據(jù)題意，寫出函數(shù)/a),g(x)的解析式；

(2)先求出/(5)>g(5),確定甲選擇方案二購(gòu)買，花費(fèi)91元，得到乙花費(fèi)44元，再分別討論按照方案

一和方案二乙可以購(gòu)買的大果榛子斤數(shù)，得到答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，/(X)=X(24-X)=-X2+24X,XG(0,9],

g(x)=x(14+2=14x4-21,XG(0,9].

(2)由(1),"5)=95,g(5)=91,所以〃5)>g⑸,則甲選擇方案二購(gòu)買，花費(fèi)91元，

則乙花費(fèi)135-91=44元，

若乙按照方案一購(gòu)買，則r\24x=44,解得x=2或22,又工?0,9],

.3=2,即乙可以購(gòu)買2斤大果榛子，

若乙按照方案二購(gòu)買，則14x+21=44,解得\二三<2,

14

所以乙應(yīng)該按照方案一購(gòu)買，乙購(gòu)買2斤大果榛子.

3.學(xué)習(xí)機(jī)是一種電子教學(xué)類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對(duì)學(xué)習(xí)有輔助作用的所有電子教育器材.學(xué)習(xí)機(jī)較其他移動(dòng)終

端更注重學(xué)習(xí)資源和教學(xué)策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)、全科輔學(xué)功能、多國(guó)語(yǔ)言學(xué)習(xí)、標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)詞典以及內(nèi)

存自由擴(kuò)充等功能成為學(xué)習(xí)機(jī)的主流競(jìng)爭(zhēng)手段，越來(lái)越多的學(xué)習(xí)機(jī)產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)、情境學(xué)習(xí)、隨身

學(xué)習(xí)機(jī)外教、單詞聯(lián)想記憶、同步教材講解、互動(dòng)全真題庫(kù)、權(quán)威詞典、在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存

和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴(kuò)充功能根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查.某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬(wàn)元，每生

產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)r萬(wàn)部并全部銷售完，每萬(wàn)部的銷售收

a-4A,0<x<10

入為R(x)萬(wàn)元，且R(”=5300bin.當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，

------------7,X>10

Xr

年利潤(rùn)為1196萬(wàn)元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬(wàn)元.

⑴寫出年利潤(rùn)卬(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)部)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

-4.r+184.v-20,0<x<10

【答案】（1）W40000，/…八

--------16.v+5280,x〉10

x

⑵當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值為3680萬(wàn)元

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函

數(shù)的值域或最值

【分析】（1）根據(jù)題意求出分別求出當(dāng)OvxWlO時(shí)和當(dāng)工>10時(shí)的年利潤(rùn)W=xR（x）-（16x+20）,

即可求解；

（2）分類討論，當(dāng)0<xW10時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，當(dāng)x>10時(shí)，根據(jù)基本不等式求出最

大值，綜合分析即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為1196萬(wàn)元，

所以(4-4x8)x8-20-8x16=1196,解得。=200,

當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬(wàn)部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬(wàn)元,

5300b

所以~20--201x20-20-20x16=2960,解得。=40000,

當(dāng)0<x?l()時(shí)，W=A7?(X)-(I6r+20)=x(200-4x)-(l6x+20l=-4x2+184,v-20,

W="H0+20)T密-竽卜(原+2。)=-遜76X+528。,

當(dāng)x>10時(shí),

-4.r+184.r-20,0<x<10

綜上W=40000

--------16x+5280,x>10

(2)①當(dāng)0<工410時(shí)，W=—4"—23產(chǎn)+2096單調(diào)遞增，所以叱皿=W(10)=1420；

②當(dāng)x>10時(shí)，W=-絲&-164+5280,

x

小工40000小、j40000“

由于-----+16x>2J-----x16.r=161A0n0n,

當(dāng)且僅當(dāng)-----=16x,即x=50>10時(shí)取等號(hào)，

x

所以此時(shí)W的最大值為3680,

綜合①②知，當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值為3680萬(wàn)元.

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練04

一、單選題

1.已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)、，=坐駕+（%一2）°的定義域是（）

A.(1,3)B.(1,2)U(2,3]C.(1,2)U(2,3)D.(13]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的定義域

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)與具體函數(shù)定義域的求法列式計(jì)