第一章集合、常用邏輯用語與不等式

1.1集合

'考試要求

1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.

2.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.

3.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合

間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

住備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?甚啾回扣

教材回扣4

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)e或@表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負(fù)整數(shù)集正整有理

集合整數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)數(shù)集數(shù)集

符號(hào)NN?（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合力，B，如果集合片中任意一個(gè)元素都是集合B中的元

素,就稱集合4為集合8的子集，記作匹旦(或〃

(2)真子集：如果集合4G氏但存在元素4,且運(yùn)4,就稱集合力是集合4的真子集,

記作力膜》或8呈力).

(3)相等：若力￡8,且0，則4=8.

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(2)任何集合都是自身的子集.

3.集合的基本運(yùn)算

表示

運(yùn)算

集合語言圖形語言記法

并集

或

交集4cB

且33

補(bǔ)集Lid

且武川U?

W=J教材拓展

1.若集合力中有〃(〃三1)個(gè)元素，則集合/有2"個(gè)子集，(2”-1)個(gè)真子集，(2"-1)個(gè)非

空子集，(2"-2)個(gè)非空真子集.

2.若力GA,4GC,則/1GC.

3.ACB=4=AGB,4UB=A=BGA.

4.[M4G8)=M，/)U([M),[必U8)=((Mn(Cu8).

5.cardMU5)=card(J)+card(B)—card(^05).

基礎(chǔ)檢測(cè)

1.判斷(正確的畫“，”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)集合*￡N*=x},用列舉法表示為{-1,0,1}.(X)

(2)"卜=<+1}=3%，=/+1}={(小y).=/+l}.(x)

(3)若1￡{r，x},則》=-1或x=L(X)

(4)對(duì)任意集合/,B,都有(4n8)G(4U8).(V)

2.(人數(shù)A版必修第一冊(cè)Pl4T6改編)已知全集U=4U8=*￡N|0WxW10},

={1,3,5,7},則集合B=Z0,2,4,6,8,9,10，.

解析：因?yàn)閁=/U8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},片G([u8)={l,3,5,

7},luBQA,所以Cu8={l,3,5,7),故8=[“>8)={0,2,4,6,8,9,10}.

3.(人教A版必修第一冊(cè)P35T9改編)已知集合力=[1,3,a2},B={\,a+2},若力U8

=A,則實(shí)數(shù)c/=2.

解析：因?yàn)榱8=4所以4G4所以〃+2￡4當(dāng)“+2=3,即〃=1時(shí)，A={\,3,

1),不滿足集合中元素的互異性，不符合題意：當(dāng)〃+2=標(biāo)時(shí)，〃=一1(舍去)或4=2,此時(shí)

A={\t3,4},8={\,4},符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a=2.

4.(人數(shù)A版必修第一冊(cè)P9T5⑵改編)已知集合力={x|0<x<。},8=30氣<2},若BG4

則實(shí)數(shù)a的取值范困為〔？，*8).

解析：因?yàn)?口力，所以利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知〃22.

一^^ZL>

02ax

母鍵能力提升互動(dòng)悚究■考點(diǎn)精講一

考點(diǎn)1集合的含義與表示

【例1】(1)已知集合4={x|ad—3x+2=0}的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)。的值為(C)

9

A.B.0

8

o

C.或0D.無解

8

【解析】集合力中只有一個(gè)元素，即方程。好一31+2=0有一解或有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)

2,

解，當(dāng)a=0時(shí)，4={訃加一3》+2=0}=3一3》+2=0：=廿，符合題意：當(dāng)aWO時(shí)，ax2

一3大+2=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，則/=9-8。=0,解得4="綜上可得”=0或〃="故選

88

C.

（2）已知集合力={0,I,a2},B={1,0,2〃+3},若4=8,貝IJa=（C）

A.-1或3B.0

C.3D.-3

【解析】*：A=B,：.a2=2a+3,解得〃=-1或。=3,當(dāng)。=一1時(shí)，?2=2?+3=1,

不滿足集合中元素的互異性，舍去.當(dāng)。=3時(shí)，*=2〃+3=9,此時(shí)力=8={0,1,9},滿

足題意.綜上，。=3.故選C.

規(guī)律總結(jié)

解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；

三是根據(jù)元素的特征（滿足的限制條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

\z=X

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1］（1）設(shè)集合力={2,4},8={1,2},集合y,x^A,

則M中所有元素之和為（C）

A.3B.5

C.7D.9

解析：當(dāng)x=2,y=1時(shí)，z=2;當(dāng)x=2,y=2時(shí)，z=1:當(dāng)x=4,y=1時(shí)，z=4;當(dāng)

x=4,y=2時(shí)，z=2.所以M={1,2,4},M中所有元索之和為7.故選C.

（2）已知集合彳={a+l,/+4。-9,2025},若一4￡力，則實(shí)數(shù)a的值為（B）

A.-5B.1

C.5或一1D.—5或1

解析：*：A={a+\,/+4a—9,2025）,且一4￡4，-4=。+1或-4=。2+4〃-9,

若一4=屋+4“一9,則a=—5或a=l.當(dāng)a=-5時(shí)，a+l=-4,標(biāo)+4”-9=—4,此時(shí)不

滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)4=1時(shí)，a+l=2,/+4a—9=-4,此時(shí)4={2,

-4,2025},符合題意.若〃+1=—4,則。=一5,此時(shí)不滿足集合中元素的互異性，故舍

去.綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為1.故選B

考點(diǎn)2集合的基本關(guān)系

【例2】（1）（2024?山西陽泉三模）設(shè)集合。=［箕/=廿+1},M={x［y=k）g2（x-2）},則集

合加與集合戶的關(guān)系是（C）

A.M=PB.P^M

C.M^PD.P三M

【解析】集合M=,|-3vxvl},N={x|-lWx<4},則MUN={x|-3vx<4}.故選C.

(2)(2024?全國甲卷理)三知集合[={1,2,3,4,5,9},8=3工￡4},則。(408)=(D)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}

C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【解析】因?yàn)榱?{1,2,3,4,5,9},B={x\x^A}={\,4,9,16,25,81},所

以。(4C8)={2,3,5}.故選D.

命題角度2根據(jù)集合的運(yùn)算求參數(shù)

【例4】（2024?福建寧德三模）已知集合力=1-2.0.2.4},{x\\x-3\^ni].若力D8

=4則〃？的取值范圍是（D）

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(5,+8)D.[5,+8)

【解析】由ACB=A,得AGB,由卜一3|W"i,得一〃？+3WxW〃？+3,則有

-m+3W-2,m25,

解得即〃?25.故選D.

〃?+324,心1,

;規(guī)律總結(jié)

1.對(duì)于集合的運(yùn)算問題，若所紿集合是用描述法表示的，則需要將其具體化，如求出不

等式的解集，再結(jié)合數(shù)軸和Venn圖進(jìn)行集合之間的運(yùn)算.

2.若所紿集合中帶有參數(shù)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)要注意參數(shù)范圍的邊界值是否可以取到.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（1）（2024?新課標(biāo)I卷）已知集合力=3-5<13V5},4={-3,—1,0,2,

3),則4G8=(A)

A.{-1,0}B.⑵3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

解析：集合力={x|-5今3<5},8={-3,-1,0,2,3},(—3)3=—27,(—1)3=-1,

03=0,23=8,33=27,則4。5={-1,0}.故選A.

(2)(2024?湖南邵陽三模)已知全集U=R,集合力=3-1WXW2},4={x|lWxW6},如圖

A.*|TWxW6}

B.{小<一1}

C.{.r|x>6）

D.{x|xv—1或x>6}

解析：因?yàn)榱?任|一1WXW2},8={x|lWxW6},所以力U8=3一1WxW6},所以題圖

中陰影部分表示的集合[u（4U8）={小<-1或x>6}.故選D.

（3）Q024?廣東佛山二模）已知集合4={X|X2-X20},B={x\x<a},且4U8=R,則實(shí)數(shù)q

的取值范圍是（D）

A.a>0B.

C.a>\D.

解析：由x2-x2(),可得或xWO,即/={x|x21或x〈O},由/1U8=R,4={x|rq},

可得1.故選D.

考點(diǎn)4集合的新定義問題

【例5】大數(shù)據(jù)時(shí)代，常需要對(duì)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，檢索過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)

象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，

編程人員需要:了解笛卡爾積.兩個(gè)集合力和8,用力中元素為第一元素，3中元素為第二元

素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫做力與B的笛卡爾積，又稱直積，記為4X5,

即/fX8={(x,y)|x￡/1且陰.關(guān)于任意非空集合M,N,7，下列說法一定正確的是(D)

A.MXN=NXA/

B.(MX7V)Xr=MXiWXD

C.MX(NU7)NWXMU(MX7)

D.MX(Arn7)=(MXA9A(MX7)

【解析】對(duì)于A,若止={1},N={1,2},則MXN={(1,1),(1,2)),NXM={(1,

1),(2,1)},"XNKNXM,A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若/W={1},N={2},T={3},則MXN={(1,

2)},(A/X；V)xr={((l,21,3)},而MX(NX7)={(I,(2,3))},(M義%XT#MX(NXT),

B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若河={1},N={2},7={3},則MX(NUr)={(l,2),(1,3)},」WXN=

{(1,2)},.MXT={(1,3)j,A/X(NUn=(MXN)U(.MXQ,C錯(cuò)誤；對(duì)于D,任取元素(x,

y)￡MX(Nn7),則且y￡NGT,則且y￡7;于是(x,y)￡MXN且(x,y)￡"XT,

即(x,y)W(MXN)n(MXr),反之若任取元素(x,y)￡(A/XN)C(A/xn，則(x,j，)￡/XN且(x,

JOEA/XT,因此y￡N且y￡7;即且卜任獷0兀所以(x,y)￡A/X(ND。，即

MX(ATA7^=(MXTV)D(MXT),D正確.故選D.

」規(guī)律總結(jié)

解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵

(1)緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠

應(yīng)用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在.

(2)用好集合的性質(zhì)：解題時(shí)要善于從題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之

處用好集合的性質(zhì).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024?浙江紹興模擬)對(duì)于集合4B,定義/13={小￡力且總㈤，則

對(duì)于集合/={x|x=6〃+5,〃￡N},8={My=3機(jī)+7,M￡N},C={X\X^A8且

000},以下說法正確的是(B)

A.若在橫線上填入“n”，則。的真子集有(2合一|)個(gè)

B.若在橫線上填入“U”，則。中元素個(gè)數(shù)大于250

C.若在橫線上填入“\”，則C的非空真子集有(2匕3—2)個(gè)

D.若在橫線上填入“U[N"，則CNC中元素個(gè)數(shù)為13

解析：X=6〃+5=3(2H+1)+2,y=3/〃+7=3(機(jī)+2]+1,集合4,8無公共元素，對(duì)于

A,集合。為空集，沒有真子集，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由6,7+5<1（）0（）得?<1655,由3w+7<l000

6

得加<331,因此。中元素個(gè)數(shù)為166+331=497,B正確；對(duì)于C,C中元素個(gè)數(shù)為166,非

空真子集個(gè)數(shù)為2,66-2,C錯(cuò)誤；對(duì)于D,卜。=［巾U（"8）］=（［N4）n「、（［：N8）］=（（N4）ri8,

而因此［NC中元素個(gè)數(shù)為331,D錯(cuò)誤.故選B.

口高考創(chuàng)新方向創(chuàng)新考法

。，1

【例】已知關(guān)于x的不等式辦一1>0的解集為如若2￡M且修則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是

【解析】因?yàn)?WM,所以2適合不等式，即2〃-1>0,解得a〉］.因?yàn)樾匏?

2

（11

不適合不等式，即。一14），解得aWl.綜上，a￡〔2'

創(chuàng)新解讀

本題難度低，計(jì)算量小，但是考查形式與常見的集合考查形式不一樣，學(xué)生很容易陷入

思維定式，不能深刻理解本題為對(duì)元素與集合關(guān)系的考查，導(dǎo)致無法作答，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)從

各種角度加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)概念的理解.

課時(shí)作業(yè)1

星基礎(chǔ)鞏固.

1.（5分）集合U={0,1,2,3,4）,4={1,2},5={xeZ|x2-5x+4<0},則C&UB）

=（C）

A.{（）,1,3,4}B.{1,2,3}

C.{（）,4}D.{0}

解析：因?yàn)榧?=“￡2a2—5工+4<0}={2,3},所以4U6={1,2,3},又集合U=

{0,1,2,3,4},所以（a4U8）={0,4}.故選C.

2.（5分）已知集合力={-1,0,1},則集合8中所有元

素之和為（C）

A.0B.1

C.-1D.2

解析：根據(jù)條件分別今加一1=一1,0,1,解得加=0,±1,±2,又加一侔4所以加

=-1,±2,〃={-1,2,-2）,所以集合8中所有元素之和是一1.故選C.

3.（5分）（2024?安徽安慶二模）若集合P={x|-24Vm—加，當(dāng)〃?=1時(shí)，集

合P的非空真子集個(gè)數(shù)為（C）

A.8B.7

C.6D.4

解析：根據(jù)題意，當(dāng)/〃=；時(shí)，集合尸='"-24工<4'XGZ={-2,-1,0},臬合P

中有3個(gè)元素,所以集合P的非空真子集個(gè)數(shù)為23—2=6.故選C.

4.（5分）己知集合/={1,-1},B={1,0,-1）,則集合/，b￡B}中

元素的個(gè)數(shù)為（D）

A.2B.3

C.4D.5

解析：當(dāng)a=l時(shí)，b=\,0,—1,則。一6=0,1,2:當(dāng)〃=—1時(shí)，b=1,0,-1,

則4一方=-2,-1,0.所以集合。={〃一臼。仁力，6￡8}={-2,-1,0,1,2},所以元素

的個(gè)數(shù)為5.故選D.

5.（5分）（2024?廣東廣州三模）已知集合5=5|-34<4},B={x|3<x<5},則{x［4Wx<5}

=（D）

A.jn（［Rz?）B.CR（jnz?）

C.（CR/QUZ?D.（［R4）G4

解析：由題得4={x|—3<x<4},B={x|3<x<5},AC\B={x|3<x<4!,〔碗={x|x24或xW

-3},CR8={X|X25或xW3},所以力P（［R8）={x|-3<xW3},故A錯(cuò)誤；鼠（/G8）={i|x24

或xW3},故B錯(cuò)誤；（［T）U5={x|xW-3或x>3},故C錯(cuò)誤；（［T）n5={x［4Wx<5},故

D正確.故選D.

6.（5分）（2024?河北邢臺(tái)二模）已知集合/={-7,-3,一1,2},8={x\a<x<a+3}t

若4G4中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（A）

A.（-4,-3）B.［-4,-3］

C.（-4,0］D.［-7,-3）

解析：一方面，若4C8中有2個(gè)元素x,y（x<y）,則由x,y^B=（a,。+3）知y—工<。+

3—4=3.由x,y￡4={-7,—3,—1,2},結(jié)合0勺一x<3,知x,y只可能分別是一3,—1.

所以a<—3,—1<。+3,得一4<a<一3.另一方面，若一4<a<-3,則3<—l<a+3,所以

力門4為2個(gè)元索-3,一1.綜上，。的取值葩圍是（一4,一3）.故選A.

7.（6分）（多選）知非空集合M,N,P均為R的真子集，nM—,則

（CD）

A.B.NKPG/W）

C.（RP^CRND.Mn（［RA9=0

解析：由題意知加裝N些尸，對(duì)于A,可知MUQ=P,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)镻CIM

=M,所以PHA/為N的具子集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,可知［R。為［RN的真子集，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)椋跼N為［R〃的真子集，且A/n（1RM）=0,所以〃0（品川）=0,故D正確.故選

CD.

8.（6分）（多選）（2024?云南曲靖二模）已知集合S,T,定義S「={?,仁S,y^T},則

下列命題正確的是（BD）

A.若5={1921,I949},7={0,1},則S7■與T5的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示實(shí)數(shù)集，R.表示正實(shí)數(shù)集，則SR=R.

C.若5={2024},R表示實(shí)數(shù)集，則RS=R

D.若5={2049},R表示正實(shí)數(shù)集，函數(shù)/）=log2（）24,x￡（R+）s，則2049屬于函數(shù)

./（X）的值域

解析：對(duì)于A,因?yàn)镾={1921,1949},r={0,”，根據(jù)所給定義可得爐={0,1},

5r={l,1921,1949},則S7■與T5的全部元素之和等于3872,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,SR={y\y

s2O2

=2021\x￡R}=R+,故B正確；對(duì)于C,R={y\y=x\x^R}t表示幕函數(shù)丁三足您十SR）

的值域，可知麻函數(shù)曠=￡。24。任2的值域?yàn)閇0,+8）,即R5=[0,+8）,故C錯(cuò)誤；對(duì)

于D,因?yàn)閄￡（R+）S={XM=/2049,6）},當(dāng)1=2024時(shí)，則可得人2024?岬）

=log202420242（M9=2049,故D正確.故選BD.

9.（5分）（2024?江西九江三模）若集合4={x|log3a-l）<l},8={x|lWx<2},則40（鼠8）

=bl2Wx<43.

解析：*.,log3（x—1）<1,0<；r—1<3,l^r<4,.*./!=-：x|l<x<4}.又：R8={小<1或x22},

故/n（[R5）={x|2Wxv4}.

10.（5分）（2024?山東日照二模）設(shè)〃PR,i為虛數(shù)單位.若集合力={1,2m+（〃?一手},

B=<0,1,2）,且力口,則〃1=]_.

解析：由集合4={1,2〃?+（m一l）i},8={0,1,2},因?yàn)樗援?dāng)2加+（州-l）i

=0時(shí)，2"一°’方程組無解；當(dāng)2m+（m-l）i=2時(shí)，2〃,—2，解得〃?=]綜上可

得，實(shí)數(shù)，〃的值為1.

[|—1WrW'

11.(16分)已知集合力={稱/一14”勿+1}，5=lvl'2L

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求4U8和NCB；

(2)若4U8=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

,x|—1WxW

解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，J={x|l<x<3},而8=1'2],

所以4U8={x|-lW/<3},A^B=\12).

a-12-1,

(2)由4U8=8,得4之B,顯然彳W。，于是:+]忘3解得OWaW；,

2

r0q

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是一'2d.

12.(16分)已知集合。={%)-220},5={x|(x-3)(x-5)<()).

(1)求力UB,[RC4n8)；

(2)定義M—N={x|x￡A才且.西N},求力一及

解：(l)J={x|x>2},8={x\3<x<5],

所以4U8={X|X22},AC\B={X\3<X<5},

所以CR（力C8）={x|xW3或x25}.

（2）因?yàn)?-N={x|x￡M且超N},A={x\x^2],B={x\3<x<5}f

力一4就是求屬于集合/但又不屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，所以力-8={x|2WxW3

或x25}.

理素養(yǎng)提升4

13.（5分）（2024?四川成都二模）如圖,已知集合4={刈o(hù)g2X〈l}，8={小<1},則陰影

部分表示的集合為（B