1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

【考點梳理】

考點一空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念

(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點。和一個單位正交基底｛i，j，k｝,以。為原點，分別以i,j,k的方向為正

方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直

角坐標(biāo)系Orvz.

(2)相關(guān)概念：Q_叫做原點，i,j,A都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為蟲L平面、

Ovz平面、Ozx平面,它們把空間分成八個部分.

2.右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向的正方向，食指指向ylt的正方向，如果中指指向逐的正方向，則稱

這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

考點二空間一點的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Qyyz中，i,方士為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量―，且點A的位置由向量晶唯

一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使晶=xi+0+北在單位正交基底｛i,j,以下

與向量OA對應(yīng)的有殍實數(shù)組(x,v,z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,)、，z),其中工叫做點A

的橫坐標(biāo)，￡叫做點A的縱坐標(biāo)，工叫做點4的豎坐標(biāo).

考點三空間向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Qxyz中，給定向量〃，作04=a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)?使a=

京+0+zA.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系。ryz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a=(x,y,z).

考點四空間向量的坐標(biāo)運算

設(shè)。=(曲,。2,〃3)，b-(b\fbz，①)，有

向量運算向量表示坐標(biāo)表示

加法上+歷，出+公)

減法a-ba—b=(aLb],他一歷，坦一回)

數(shù)乘/M癡=(血，〃2，筋3)，2￡R

數(shù)量積aba,b=a；bi+a2b2+a3b3

考點五空間向量的平行、垂直及模,夾角

設(shè)a=31，42，。3)，b=(bi,bl，例)，則有

當(dāng)力W0時，a//b<^a=/.b<^a\=Xb\,公=徹,的=物(，￡11)；

aA_b^>ah=()^>a]b\+0262+0363=。;

\a\=\[ah=y]a^-\-ai+alt

/ab4仍1+。2—+。3力3

cos=麗=7的+?+成

考點六空間兩點間的距離公式

設(shè)P|（匯，y\,Z|）,「2（X2，”，Z2）是空間中任意兩點，則P1P2=|品2|=＞。2—汨）2+。2—M）2+⑵一」產(chǎn).

【題型歸納】

題型一：空間向量的正交分解問題

■|，3)B.(1,3)

A.（一，C.（3,[，|）D.小1-3)

A.-5B.5C.-9D.9

題型二：空間向量的坐標(biāo)運算問題

題型三：空間向量的模長的坐標(biāo)問題

題型四：空間向量的平行的坐標(biāo)表示問題

A.2B.4C.-4D.-2

A.一2B.2C.D.\_

22

A.1B.2C.3D.4

題型五：空間向量的垂直的坐標(biāo)表示問題

A.1B.-2C.-4D.0

題型六：空間向量的夾角余弦的坐標(biāo)問題

A.60,B.120°C.45：，D.135°

題型七：空間直線的方向向量問題

A.-6B.6C.14D.-14

題型八：空間向量的坐標(biāo)運算的綜合問題

(1)求G，方夾角的余弦值.

(2)求乙5夾角的余弦值;

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

A.1B.V2C.GD.2

27.(2022?湖北?宜昌市夷陵中學(xué)高二階段練習(xí))下列四個結(jié)論正確的是()

A.21B.4C.-4D.10

A.-2B.1C.一1或2D.1或一2

【高分突破】

一：單選題

c.1D.V2

c.VioD.3萬

44

c.0或二D.。或Q

C-VD-

二、多選題

40.（2022?福建龍巖?高二期中）對于非零空間向量入B，入現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（）

C.8"的中點坐標(biāo)為（1,1,1）D.點片關(guān)于），軸的對稱點為（-2,2,-2）

42.（2022?江蘇?沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）

44.（2021?浙江臺州?高二期末）下列說法正確的是（）

45.（2022.全國?高二期末）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

三、填空題

47.（2022?江蘇?漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）己知空間三點A（l,1,1）,8（1,2,2）,C（2,I,1）,則而在北

上的投影向量的模是______.

四、解答題

（1）求W的坐標(biāo)

56.（2021?山東省濰坊第四中學(xué)高二）如圖，已知直三棱柱在底面△月&?中，CA=CB=\,ZBCA

=90°,棱A4/=2,用，N分別是43/,4*的中點.

_________Ullll

（1）求麗的模；（2）求cos（貽，CB｝）的值；（3）求證：46_LGM.

（1）求工石;

【答案詳解】

I.A

【詳解】

故選：A.

2.D

【詳解】

3.B

【詳解】

4.B

【詳解】

故選：B.

5.A

【詳解】

故選：A.

6.A

【詳解】

故選：A

7.D

【詳解】

故選：D.

8.C

［詳解】

故選：C.

9.A

【詳解】

故選：A.

10.C

【詳解】

故選：c

II.C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

故選：C.

12.A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出y和x即可.

【詳解】

故選：A.

13.B

【詳解】

故選：B

14.C

【解析】

【分析】

【詳解】

而A、B、D說明乙與4平行.

故選：C

15.A

【解析】

【分析】

由空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算.

【詳解】

故選：A.

16.B

【詳解】

以。為原點，分別以04、04、0C所在直線為小y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

【詳解】

故選：C.

18.B

【詳解】

故選：B.

19.C

【詳解】

故選：C.

20.A

【詳解】

故選：A.

21.B

【詳解】

故選：B.

【解析】

(1)

(2)

由(1)可得

(3)

23.(1)5

【解析】

(1)

(2)

【解析】

(I)

(2)

(3)

25.C

【解析】

【分析】

利用空間向量的坐標(biāo)運算法則即可求解.

【詳解】

故選：C.

26.D

【解析】

【分析】

由空間平行向量，先求出用的值，再由模長公式求解模長.

【詳解】

故選：D

27.B

【解析】

【分析】

【詳解】

則A,B,。三點共線，B正確；

故選：B

28.C

【解析】

【分析】

【詳解】

???點A,B,C在同一條直線上

故選：C.

29.C

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：C.

30.C

【解析】

【分析】

根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.

【詳解】

由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標(biāo)為該點對應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù),

故選：C

31.(1)10

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算律，即可求解.

(2)根據(jù)空間向量的夾角公式，代入求解.

(1)

(2)

(3)

⑵歷

【解析】

【分析】

(1)

(2)

33.C

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：C

34.B

【解析】

【分析】

【詳解】

B'

故選：B

35.D

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：D

36.C

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：C.

37.C

【解析】

【分析】

由空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示直接計算可得.

【詳解】

故選：C

38.B

【解析】

【分析】

【詳解】

所以以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以異面直線AC與巴）所成角的余弦值為它，

4

故選:B.

39.AD

【解析】

【分析】

根據(jù)基底向量的要求不共體可以判斷A正確，B、C、D通過建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算進行運

算判斷正誤.

【詳解】

故選：AD.

40.BD

【解析】

【分析】

根據(jù)空訶向量夾角的定義、空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、空間向量基底的定

義逐一判斷即可.

【詳解】

D：假設(shè)c是共面向量，

故選：BD

41.BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點G的坐標(biāo)，由此判斷A;求出彳的坐標(biāo)，可判斷B;

利用中點坐標(biāo)公式求得臺R的中點坐標(biāo)，可判斷C;根據(jù)空間點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點的特點可判斷D.

【詳解】

故選：BCD

42.BCD

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：BCD

43.BCD

【解析】

【分析】

由空間向量平行的性質(zhì)及空間向量模長，數(shù)量積，夾角的坐標(biāo)運算進行判斷即可.

【詳解】

故選：BCD.

44.ACD

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：ACD.

45.AB

【解析】

【分析】

對于A.由向量共面的判定方法直接判斷；

對于B.由向量共面的判定方法直接判斷；

對于C.按照基底的定義直接判斷；

【詳解】

故選：AB

46.2

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向晟的坐標(biāo)運算與數(shù)量積公式求解即可

【詳解】

故答案為：2

【解析】

【分析】

【詳解】