江蘇省鹽城市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本數(shù)據(jù)2,4,5,6,8的中位數(shù)為()

911

A?—B.5C.—D.6

22

2.向量值=(1,0,2),ZJ=(-l,0,m),若不//B，則實數(shù)"?的值為()

A.B.1C.2D.-2

3.直線x-石)，+1=0的傾斜角為

A.三B.巳C.迎D,

6336

4.已知隨機變量X~N(L"),若尸(X>2)=0.2,則戶(0<X<l)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

5.已知變量x,)，的取值如下表所示，若)，與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為)，=10.5x+a，

則a等于

X24568

y2040607()80

A.0.5B.1.5C.2D.2.5

6.數(shù)列｛〃“｝滿足4=3,則42=()

7.雙曲線=力〉0)的離心率為2,其中一條漸近線與圓

E:(x—2)2+(y+G『=4相交于A,4兩點，則|A8|=()

A.巫B.—C.V15D.713

22

8.已知直線/為曲線/(x)=e'-l與g(x)=lnx+l的公共切線，則直線/的方程可以為()

A.y=x-\B.y=x+\C.y=ex-\D.y=ex+l

二、多選題

9.已知（2+x）"的展開式中常數(shù)項為32,則（）

A.〃=5B.二項式系數(shù)和為64

C.含V的項的系數(shù)為80D.所有項的系數(shù)和為243

10.若點P（m,2及）是拋物線C：V=-4x上一點，尸為拋物線C的焦點，連P產(chǎn)交拋物線。

于另一點Q,則（）

A.in=-2B.\PF\=3

C.OPA.OQ（O為坐標原點）D.\PF\=2\QF\

11.若隨機事件4,8滿足P（8）=P（B|A）=P（A⑸=；,則（）

2_2

A.P（A）=§B.-

C.P（A+8）[D.P（fi|A）=|

三、填空題

12.甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙兩人不相鄰的排法數(shù)為.（用數(shù)字表示）

13.已知函數(shù)八》）=鳥，則/（x）的最大值為

c

14.在平行六面體中，幺48=必八。=/明。=],AB=1,AD=AAI=2,

則異面直線與CG所成角的余弦值為.

四、解答題

15.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，已知生+$3=12,牝=9.

⑴求｛q｝的通項公式；

⑵求數(shù)列）的前〃項和工一

16.如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的體積為46，且4?=2,點E,F,G分別為棱4A，

試卷第2頁，共3頁

BBi，CG的中點.

(1)求證：平面4/：C〃平面《4G；

(2)求銳二面角B-AC-B,的余弦值.

17.某電商平臺促銷盲盒商品，盲盒的外層包裝分4、B兩種類型.外層包裝為A型的概率

為彳，每個A型盲盒中含限量版商品的概率為:；外層包裝為8型的概率為每個B型

JJJ

9

盲盒中含限量版商品的概率為正.小王一次性隨機購買5個盲盒(假設(shè)各盲盒包裝類型及

所含商品相互獨立)

(I)求每個盲盒含限量版商品的概率；

(2)設(shè)隨機變量X為小王抽中含限量版商品的盲盒數(shù)量，求X的概率分布：

⑶若抽中的某個盲盒含限量版商品，求該盲盒外層包裝為4型的概率.

18.已知橢圓氏夕+/=1(。＞》＞0)的離心率為3,且經(jīng)過點(13)，點尸為橢圓F的右

焦點.

⑴求橢圓E的標準方程；

(2)過點M(4.0)作直線/交橢圓E于4,B兩點，。為坐標原點.

①若(歷=】。4+!兩，求直線/的斜率；

44

②若過點A作直線x=l的垂線，垂足為。，點N為線段FM的中點，求證：B,Q,N三點

共線.

19.已知函數(shù)/(x)=aFTnx

⑴當4=1時，求/⑴的單調(diào)區(qū)間;

⑵當〃＞0時，求證：

⑶若關(guān)于X的不等式〃x)2sinx恒成立，求整數(shù)。的最小值.

《江蘇省鹽城市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案BDACBBDCADABD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】根據(jù)題意.結(jié)合數(shù)據(jù)中位數(shù)的定義與計算方法，即可求解.

【詳解】由數(shù)據(jù)2,4,5,6,8,根據(jù)中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5.

故選：B.

2.D

【分析】利用向量共線列式求解.

12

【詳解】向量才=(1。2),坂=(一1。〃?)，由乙//萬，得」；二二,

所以m=-2.

故選：D

3.A

【分析】首先將直線化為斜械式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】由直線x-"y+l=O,

設(shè)直線的傾斜角為。，

所以tana--，

3

所以.

6

故選：A

【點睛】本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性求出概率.

【詳解】隨機變由尸(X>2)=0.2,得P(Xv0)=P(X>2)=0.2,

所以P(O<X<1)=』-P(XK0)=0.3.

2

答案第1頁，共11頁

故選：c

5.B

【分析】利用線性回歸方程過樣本中心點伍?即可求解.

【詳解】根據(jù)表格可得7=（（2+4+5+6+8）=5,7=（（20+40+60+70+80）=54,

因為線性回歸方程過樣本中心點（：；），

所以將（5,54）代入y=10.5,V+rt中得，67=1.5.

故選：B.

6.B

【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系，依次計算確定周期即可得解.

【詳解】數(shù)列｛4｝中，q=3,由?！?|=1-―，得生=1一｝=%=1一十=一3,

?4=1--=3,因此數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列，周期為3,

所以

故選：B

7.D

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，求得漸近線方程.y=±Gx,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系,

以及點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.

【詳解】由雙曲線?-1=1（00力〉0）的離心率為2,可得6=51=2,

可得2=石，所以雙曲線的漸近線方程為,，=±6%,即6x±y=0,

a

又由圓（X-2）2+（,+@=4,可得圓心為E（2,-6）,半徑r=2,

當），=限時，即、&-），=0,可得圓心E到漸近線的距離為d=￥,一（—""=巫＞2,

7（＞/3）2+（-1）22

此時直線與圓不相交，不符合題意;

二廠|2x/3-V3|&

當當y=-3時，即Gx+y=0,可得圓心石到漸近線的距離為4=^^----=]=—,

222

'7（V3）+（-D

此時直線與圓相交，符合題意,

答案第2頁，共11頁

所以|AB|=2\lr2-d2=2,4-（爭=2/一.=屈.

故選：D.

8.C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出兩條曲線的切線方程，再利用公共切線可解出切點，進而求得切線的

方程.

【詳解】設(shè)直線/與曲線/（工）的切點坐標為儲方），直線/與曲線的切點坐標為（毛，％），

直線/方程為），=依+匕，

Q/（x）=e'-l,..?.直線/的方程為），一），廣西（xf）,

又%=eJ,/.直線/的方程化簡為），=e^-ex'x,+ev'-l,

???g（x）=lnxil,,.直線/的方程為。一上三一（“一電）,

XX2

又％=始%+1,「?直線/的方程化簡為y=—x+\nx2t

???直線/為曲線/（X）=-1與月（X）=Inx+1的公共切線，

11

?*-e'=；①，-e'+e<-1=Inx2（2）,

1,1eX，

由①得々e、=1，兩邊取對數(shù)得，（-^2）=inx2+x,=In1=0,Inx2=-x,,

代入②中得，一爐西+爐-1=-3，即（e*—1）（1-％）=0,

解得$=1或$=。，

當玉=0時，攵=1,〃=0,直線/的方程為），=壬

當$=1時，k=e,b=-l,直線/的方程為y=J—1；

根據(jù)選項可知直線/的方程可以為y=ex-l.

故選：C.

9.AD

【分析】先寫出二項展開式的通項，令2=0即可得到常數(shù)項，從而求出〃的值，判斷A選

項；B選項利用二項式系數(shù)公式2”進行求解?；C選項令攵=3可求解：D選項采用賦值法可

得解.

【詳解】設(shè)（2IX）”的展開式的通項為小=《-2”士/（0必力）,

答案第3頁，共11頁

對于A選項，因為展開式中常數(shù)項為32,所以令2=0得，7J=C>2"-x0=32,

解得〃=5,故A正確；

對于B選項，二項式系數(shù)和為2"=25=32,故B錯誤；

對于C選項，令攵=3,則(=仁?22.丁=40/，

所以含Y的項的系數(shù)為40,故C錯誤；

對于D選項，令x=l,則所有項的系數(shù)和為寸=243,故D正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】求出拋物線的焦點及準線，結(jié)合拋物線定義及直線與拋物線交點坐標逐項判斷

【詳解】拋物線C：V=-4x的焦點尸(-1,0),準線x=l,

對于AB,由(2嬤得切__2,|PF|=l-(-2)=3,AB正確；

對于CD,直線P。方程為)，=2垃一。(X+1),即)，=—2及*+1),

由《2‘“消去y得2—+5尤+2=(),則。(一：,—75),

y=-4.r2

OPOQ=-2x(--)+2yf2x(-y/2)=-3<0,OP,OQ不垂直，\QF\=-=-\PF\,C錯誤，D

222

正確.

【分析】根據(jù)題意，利用條件概率的計算公式，概率的加法公式，以及對立事件的概率關(guān)系,

逐項求解，即可得到答案.

【詳解】因為0(4網(wǎng)=!，可得尸(同人)=與黑所以2A8)=：P(A),

3"(A)J3

答案第4頁，共11頁

又因為P(4固=：,可得P(A⑻=與黑=：,所以戶

—12—12

由P(8)=l—P(8)=l—；=7,代入可得a48)=；X7=5,所以B正確；

33339

——121

又由A=可得P(A)=P(A8)+P(AB)=5P(4)+§=5,所以A偌誤；

由概率的加法公式，可得P(4+B)=P(Q+P(8)-尸(4團=：+；-衿=1，所以C正確；

又由P(和力=1-P(/4)=1-：=[,所以D正確.

JJ

故選：BCD.

12.480

【分析】根據(jù)給定條件，利用不相鄰問題插空法列式求解發(fā).

【詳解】依題意，甲、乙兩人不相鄰的排法數(shù)為A：&=480.

故答案為：480

13.4

e

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值.

【詳解】函數(shù)f(x)=5的定義域為R，求導(dǎo)得>。)="；7)，

當x<3時，r(x)>0；當x>3時，/V)<0,

函數(shù)/(x)在(TO,3)上單調(diào)遞增，在(3,*o)上單調(diào)遞減，

所以當x=3時，取得最大值/(3)=亍27.

故答案為：/27

14.3

6

【分析】利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征確定異面直線所成的角，再借助空間向量數(shù)量積的運算

律求出8Q.進而利用余弦定理求得答案.

【詳解】在平行六面體ABCD-ABGR中，CCJ/OR,

則N8。。是異面直線BD、與CC\所成角或其補角，

而幺A8=Z4,AO=N8AD=q，AB=1,AD=A\=2,

3

BD=VAB2+AD1-2ABADcosZBAD=75，

答案第5頁，共11頁

西=可-麗=福+麗-麗，

|西|=+AD2+AB2+2AA;AD-2ADAB-2ABA^，

=J22+22+l2+2x2x2xl-2x2xlx-!--2xlx2x-!-=3,

V222

BDf+DD--BD232+22-(x/3)25

在△8QR中,

cos/BDQ=2x3x2--6

2BD.?DD1

⑵會

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列Z,｝的公差為d,利用等差數(shù)列通項的基本廉運算列方程組，求出

4”，即得數(shù)列通項公式；

（2）利用裂項相消法即可求得&

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,

由見+邑=4+d+3%+3d=12,即4+d=3,①

由%=4+4d=9,②，聯(lián)立①<2),解得q=l,d=2,

則｛〃“｝的通項公式為凡T+（刀-DX2=2〃-1：

1J(1______!_

⑵設(shè)七

(2〃-1)(2〃+1)-2n+\

則T”=濟+%+…+2

答案第6頁，共11頁

=-(1---------)---------.

22〃+12/1+1

16.(1)證明見解析；

(2)亙.

19

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行、面面平行的判定推理得證.

(2)由柱體體積公式求出8局，取AC中點。，作出二面角的平面角，利用幾何法求出余

弦值.

【詳解】(1)在正三棱柱ABC—A4G中，E￡G分別為中點，

則AE//B|F,AE=87，四邊形AE87為平行四邊形，于是A尸〃[E,

而與Eu平面EBQ,"?0平面石印6,則人尸〃平面所。，同理。尸〃平面FB。，

又AFcCF=F,AF,CFu平面ATC,所以平面AFC//平面EB￡.

(2)由4?=2,得正三角形ABC面積5=立4如=&，由正三棱柱ABC-ABC的體積為

4

4逐,

得S?BB】=4g,解得34=4,取AC中點。，連接4。,40,則AO_LAC,

由8片_1平面ABC,ACu平面A8C,得8q_L4C,而3?？?氏80,84u平面80々，

因此AC_L平面804,又80u平面8?！?，則B0_L4C,/BO片為二面角8-AC—4的

平面角，

_________RC

在R^B。片中，BO=6BQ=JBO、BB；=回，cosZBOBl=—=^—t

Vz1J

所以銳二面角3-AC-4的余弦值為辭.

答案第7頁，共11頁

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算.

(2)求出X的可能值，結(jié)合(1)中概率，利用二項分布求出概率分布列.

(3)由(I)的信息，利用條件概率公式求解.

【詳解】(I)設(shè)事件A表示盲盒為A型包裝，事件B表示盲盒為8型包裝，事件C表示盲盒

含限量版商品，

4129

則尸(A)=丁尸(砌=片P(C|A)=-,P(C|B)=—,

42191

所以每個盲盒含限量版商品的概率P(C)=P(4)P(C|A)+P(A)P(C|B)=^XW+WX^=5.

(2)由(1)知，1個盲盒含限量版商品的概率為g,隨機變量X的可能值為0」,2,3,4,5,

X~3(5,g),

P(x=o)=cg)54,P(x=o=c；g)Y，尸—加明—亮

所以X的分布列為:

X012345

155551

r>

/323216163232

(3)抽中的某個盲盒含限量版商品，該盲盒外層包裝為A型的概率為

42

一X—

P(C|A)P(A)_55_16

P(4|C)=

18.(1)E:

⑵①士±叵；②證明見解析

【分析】(1)利用橢圓離心率定義和經(jīng)過的點坐標，聯(lián)立方程組，求得“也即得橢圓方程；

(2)①由題知直線/的斜率不為0,設(shè)/』=叫+4,與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A(XQJ,8(%,①,

3—Q—?__3

求得韋達定理，推得)1)、-(X+K)，由=-OA+—OM得至ljy=-3,!,將其與韋達定

2m4424

答案第8頁，共11頁

14/-_5

理聯(lián)立，解得〃?=.右，即得直線斜率；②依題意，求得N(；,0),0(1，計算人力A。，

消元后將(*)代入化簡，即得心8-2NQ=。，故得結(jié)論.

【詳解】(I)由6=必亙=，可得瘋1=28①，

a2

橢圓經(jīng)過點(1尚)，則，■+點=1②，

聯(lián)立①，②，可得4=2,〃=

則橢圓E的標準方程為七：二+t=1；

43

(2)①當直線/的斜率為0時，可取4(-2,0),僅2,0),因M(4,0),顯然不滿足函

44

故可設(shè)直線/"=，叫+4,代入橢圓方程工+《=1,消去大，

43

可得(3m2+4)y2+24/ny+36=。,由△=576m2-144(3/n2+4)>0,解得/〃>2或〃?<一2,

24m公

y+必二-『77’①

3m+43

設(shè)B(xy)則則一丁(,+為)(*)

2t2f36個

②

由O月可得(N，M)=京X，)'i)+；(4,0)，即得必=:)1，

將其代入①，可得y=--：6二,

/(3/fi+4)7(3/??+4)

八、^一/口96/7/72m36…/口14/-

代入②，可得7c「工人*】/々解得〃?=±77石，

7(3〃r+4)7(3/??+4)3〃?+415

故直線/的斜率為±三石；

14

②如圖，因尸(1，。)，知(4,0),點N為線段的中點，則N§,0),

k：%.2-

依題意，Q(l,%),則直線NB的斜率為麗一5一2尤-5,直線NQ的斜率為

X2-T*

=2%+生=6—+2-(2占-5)=6y2+2.(2/世2+3)=4加岳乃+6(y+乃)

~2X2-5~~~3(24-5)~-3(2〃%+3)-3(2/叫+3)

+6(y+%)二一6(%+%)+6(弘+乃)二0

將(*)代入，可得心8一除Q

3(2wy2+3)3(2〃?>2+3)

即心8=心。，因點艮。不重合，故從Q,N三點共線.

答案第9頁，共11頁

19.(1)答案見解析

(2)證明見解析

(3)1

【分析】(1)通過對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(xb，--l=ad—inx+，--l,利用求導(dǎo)判斷得到

4a4a

=^-(In(2f7)4--!--1),設(shè)〃(x)=lnx+’-l,(x>0),求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性得到

22ax

心)min=」⑴=0,故可得g。)。。，從而得證；

(3)先就加-InxNsinx恒成立，取x=l,結(jié)合條件推出在。=1時，設(shè)

2

w(x)=x-lnx-x,(x>0),通過求導(dǎo)推得“(x)min="⑴=0,即得!一5X/%在XE(0,4-00)上

恒成立，再證當xw(0,+℃)時，x>sinx,可得不等式