專題13.3命題與證明（舉一反三講義）

【滬科版2024]

颼題型歸納

【題型1判斷是否是命題】......................................................................2

【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】...............................................................4

【題型3判斷命題真假】........................................................................5

【題型4舉反例】..............................................................................8

【題型5逆命題】.............................................................................10

【題型6定理與證明】.........................................................................12

【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】....................................................13

【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】...........................................................16

【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】........................................................21

【題型10演繹推理】..........................................................................26

舉一反三

知識點1命題

1.判斷某一件事情的語句叫命題.

2.命題的定義包含兩層含義

（1）命題必須是一個完整的句子，常為陳述句；

（2）命題必須對某件事情作出肯定或否定的判斷.

知識點2命題的組成與分類

1.許多命題由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項；結(jié)論是由己知事項推出的事項.這樣的命題通

?？蓪懗伞叭绻敲础钡男问?用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分就是結(jié)

論.

2.命題分真假命題,正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題.要判斷一個命題是真命題，可以

用演繹推理加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出

一個符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了.在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”.

知識點3定義

我們需要用不同的語句來說明我們學(xué)過的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內(nèi)

不相交的兩條直線”來說明“平行線”所包含的意義.這樣的語句叫做這些名詞的定義.

知識點4定理

公認的真命題稱為基本事實.數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判

斷它們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.

對干基本事實，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，它是經(jīng)過證明的真

命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù).

知識點5原命題與逆命題

將命題“如果P,那么q"中的條件與結(jié)論互換，使得到一個新命題"如果q,那么p",我們把這樣的兩個命題稱

為互逆命題,其中一個叫作原命題,另一個就叫作原命題的逆金題.

知識點6證明及證明的一般步驟

1.根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫

做證明.

2.證明的一般步驟

根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證，經(jīng)過分析找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并

注明依據(jù).

【題型1判斷是否是命題】

【例1】（2425七年級卜四川德陽?期中）下列語句是命題的有（）個.

①你喜歡數(shù)學(xué)嗎？②熊貓沒有翅膀；③任何一個三角形一定有直角；④作線段48=CD：⑤無論〃是怎樣

的自然數(shù)，式子標(biāo)-幾+11的值都是質(zhì)數(shù)；⑥如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相

平行.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】本題考查命題，判斷事件的語句叫命題.掌握對事件是否作出了判斷是解題的關(guān)鍵。根據(jù)命題的定

義逐一分析是否對事件作出了判斷，即可得出答案.

【分析】①是疑問句，沒有對事件作出判斷，不是命題；

②對事件作出了判斷（熊貓確實無翅膀），是命題；

③對事件作出了判斷（三角形一定有直角），是命題；

④沒有對事件作出判斷，只是描述了事件，不是命題；

⑤對事件作出了判斷（式子九2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)），是命題；

⑥對事件作出了判斷（這兩條直線也互相平行），是命題.

綜上，②、③、⑤、⑥為命題，共4個，

故選B.

【變式11】（2526八年級上?全國?單元測試）下列語句是命題的是（）

A.W-ABIICDB.若zl=/2,Z2=z3,則41=43

C.兩條直線被第三條直線所械D.一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎

【答案】B

【分析】本題考查了命題.熟練掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵.判斷一件事情的語句叫做命題.命題必須具

有判斷性，即對一件事情作出"肯定〃或"否定”的判斷，不論其判斷的結(jié)果是否正確.

根據(jù)命題的定義判斷即可，注意命題必須具有判斷性.

【詳解】A.作A0||CD,不是命題，因為它不是判斷性語句，是敘述一個過程的語句；

B.若乙1=△2,△2=43,則/1=匕3,是命題，因為它是一個具有判斷性的語句；

C.兩條直線被第三條直線所截，不是命題，因為它不是判斷性語句；

D.一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎，不是命題，因為它不是判斷性語句，是疑問句.

故選：B.

【變式12】（2526八年級上?全國?隨堂練習(xí)）下列選項中不是命題的是（）

A.正數(shù)大于負數(shù)B.過直線外一點作直線的平行線

C.三角形的任意兩邊之和大于第三邊D.如果a=b,a=c,那么力=c

【答案】B

【分析】本題考查了命題的定義：判斷一件事情的語句叫命題.命題必須是一個完整的句子，它必須對某一

件事情作出肯定或否定的判斷，命題一般為陳述句，疑問句與作圖語句（祈使句）、感嘆句等都不是命題.判

斷一件事情的語句，叫做命題.根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：A.正數(shù)大于負數(shù)，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

B.過直線外一點作直線的平行線是作圖語言，不是可以判斷真假的陳述句，不是命題，符合題意；

C.三角形的任意兩邊之和大于第三邊，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

D.如果a=b,a=c,那么匕=c,是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

故選：B.

【變式13】給出下列語句：①畫出已知先等于兩個已知角的和：②鈍角總大于直角：③過點4畫直線48IICD；

結(jié)論是.

［答案】乙4>乙B,乙B>Z.CLA>LC

【分析】本題考查了命題的結(jié)果，掌握命題是由題設(shè)（條件）和結(jié)論組成是關(guān)鍵，根據(jù)命題的結(jié)果判定即可

求解.

【詳解】解：如果乙4>乙8,乙8>乙C,那么乙4>±C,

（3這個命題的條件是4/>乙B,乙B>乙C,結(jié)論是NA>zC,

故答案為：①N/>4B,NB>NC,（2）/.A>zC.

【變式23］（2425七年級下?上海金山?期末）將命題“在三角形中，大邊對大角〃改寫成“如果......,那么......”

的形式是.

【答案】如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角

【分析】本題主要考查的知識點是如何將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果〃后面是命題的條件，"那么〃

后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到命題中相應(yīng)的條件和結(jié)論.命題中的條件是一個二角形中一邊大于另

一邊，放在“如果〃的后面，結(jié)論是該邊所對的角大于另一邊所對的角，應(yīng)放在“那么”的后面.

【詳解】解：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角

故答案為：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角.

【題型3判斷命題真假】

【例3】（2425七年級下?江蘇蘇州?期末）如圖,線段AC,8。相交于點。，連接AD,2a并延長40至點E,乙BCA

的平分線與48DE的平分線相交于點M.①若41=2"CM,貝必臼的。；②若乙M=2乙80M,則4EIIMC；

③若乙力=43,則乙EDM+4BCM=90。；④若乙10。=4BC。，則4M—乙8=90°.以上命題中真命題的

個數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到"C8=2乙BCM,由心力=2〃CM可得乙1=LACB,利用平行線的判定得

到4EIIBC,可判斷①：根據(jù)角平分線的定義得到乙BDE=2乙8DM,liuM=24BDM可得4M=乙8?？谠?/p>

根據(jù)平行線的判定可判斷②；利用三角形內(nèi)角和定理推L1U4DB=乙ACB,再利用角平分線的定義求出

乙EDM+48cM=90。，可判定③；延長CM交BD千點產(chǎn)，利用角平分線的定義求出“OM+/8CM=90。,

利用三角形外角的性質(zhì)得到“MD=乙CFD+乙BDM,乙CFD=乙8+乙BCM,進而得到ZTMO=+

/.BDM+LBCM=Z.B+90°,可判斷④，即可得出結(jié)論.

【詳解】解?：團CM平分匕4C8,

^LACB=2Z.BCM,

0Z4=24BCM,

必=Z.ACB,

團4EII8C,故①是真命題；

國。/平分NBOE,

回乙BOE=2乙BDM,

=2乙BDM,

囹4M二乙BDE,

由=無法證明力EIIMC,故②是假命題；

囹乙4=NB,Z.AOD=Z.BOC,

(3NADB=Z.ACB,

^Z-BDE+Z.ADB=180°,

0ZFDE+Z.ACB=180°,

國CM平分4/1C8,OM平分匕BOE,

團/EDM+乙BCM

11

=-/-BDE+-Z.ACB

乙乙

1

=-x180°

乙

=90。，

G3ZFDM+/-BCM=90°,故③是真命題；

如圖，延長CM交8。于點尸，

a

B

0Z/WO=Z-BCO,Z.BDE+Z-ADO=180°,

田乙BDE+LBCO=180°,

團CM平分々AC8,DM平分乙BOE,

0ZFDM+乙BCM

11

=-Z.BDE+-Z-BCO

22

1

=-x180°

L

=90。，

0ZCMD=乙CFD+乙BDM,Z.CFD=+乙BCM,

（3ZCMD=ZB+Z.BDM+乙BCM=zB+90°,

回乙CMO—NB=90。，故④是真命題：

團真命題的個數(shù)是3.

故選:C.

【點睛】本題考查了判斷命題真假、平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定

義，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

【變式31】（2425七年級下?湖南長沙?期末）命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等”是—命題（真/假）.

【答案】真

【分析】本題主要考查了命題，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)判斷一件事情的語句，叫做命題.正確的命題是真命題進行分析即可.

【詳解】解：命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等''的條件是兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)絕對值

相等，這是一個真命題.

故答案為：真.

【變式32】（2526八年級上?全國裸前預(yù)習(xí)）命題：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③垂直于同一

條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行.其中是真命題的有.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

【答案】①④/④①

【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)健是了解對頂角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，根據(jù)對頂角的

性質(zhì)、平行線的判定判斷即可.

【詳解】解:①對頂角相等，是真命題；

②相等的角不一定是對頂角，原命題是假命題；

③在同一平面上，垂直于同一條直線的兩條直線平行，原命題是假命題；

④平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；

其中是真命題的有①④；

故答案為：①④.

【變式33】（2425七年級下?內(nèi)蒙古通遼?期末）如圖，在三角形48c中，點D,E,F分別在邊BC,AC,4B上,

連接DE,OF.下列四個命題中，是真命題的是（）

①若乙BFD=Z力，則。"INC；

②若4EDF=乙DEC,則DWI/IC；

③若4力+Z,AED=180°,則4BIIDE；

④若4B=乙EDF,則4BII0E.

A.①②B.③④C.①②③D,①②③④

【答案】C

【分析】本題考查平行線的判定定理，本題中每組條件都可判斷直線平行.但是有三個不能判斷題目所需的

直線平行，所以依據(jù)平行線的判定定理，要找準(zhǔn)截線和被截線.

先觀察已知先的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理判斷通過已知角可得哪兩條直線平行，可得出結(jié)論.

【詳解】解：?^BFD=AA,則DFIL4C,是真命題；

②若4EDF=^DEC,則D/IMC,是真命題；

③若N4+44ED=180°,則48IIDE,是真命題；

④若N8=（EDF,無法判斷4孫。凡是假命題；

故選:C.

【題型4舉反例】

【例4】（2425七年級下?陜西西安?期末）能說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角〃是假命題的反例是（）

A.Z1=82°,Z.2=40°B.41=89°,Z2=2°

C.41=65°,z2=30°D.Z1=30°,z2=20°

【答案】D

【分析】本題考查命題與定理，要說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角"是假命題，需找到兩個銳角的和不是

鈍角的例子，即可判斷.

【詳解】解：A、82。+40。=122。，是鈍角，不符合題意；

B、89。+2。=91。，是鈍角，不符合題意；

C、65。+30。=95。，是鈍角，不符合題意；

D、30。+20。=50。，是銳角，說明兩銳角的和可能不是鈍角，符合題意.

故選：D.

【變式41】為說明命題“如果⑷=|力那么Q=b”是假命題，你舉出的一個反例是.

【答案】a=1,b=-l（答案不哇一）

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得當(dāng)3=|可，得出。=6或。=-匕，舉例只要兩個數(shù)互為相反數(shù)即可得.

【詳解】解：v|a|=\b\,

???a=b或a=—b,

例如：Q=1,匕=一1時，|a|=⑸，

（3命題“如果|a|=網(wǎng)，那么a=b"是假命題，

故答案為：a=1,b=-l（答案不唯一）.

【點睛】題目主要考查絕對值的性質(zhì)，深刻理解絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式42］（2425七年級下?湖北宜昌?期末）對于命題“如果/1-/2=90。,那么21手22”,能說明它是假

命題的反例是（）

A.Z1=45°,Z2=45°B.zl=30°,z2=60°

C.Z1=60°,Z2=60°D,Z1=30°,z2=40°

【答案】A

【分析】本題考杳舉反例，要說明命題“如果+42=90。，那么41N42〃是假命題，需找到滿足+N2=

90。但41=42的反例.

【詳解】解：A、Z1=45°,Z2=45°,和為90。，且N1二42,滿足反例條件.

B、41=30。,匕2=60。，和為90°,但42,支持原命題.

C=60。,42=60。，和為120。，不滿足條件.

D、Z1=30°,Z2=40°,和為70。,不滿足條件.

故選A

【變式43】（2425七年級下?全國?課后作業(yè)）判斷命題“如果0<72V1,那么濃-1>0〃是假命題，只需舉

出一個反例，反例中的值可?以是.

【答案】（答案不唯一）

【分析】只要從滿足條件的數(shù)中找到一個數(shù)，使結(jié)論不成立，就可以說明命題是假命題.本題考查了舉反例

判斷假命題，只要從符合0</<1中找出一個數(shù)，能使小-1〉0不成立，就可以說明此命題是假命題，

所以準(zhǔn)確從條件，結(jié)論兩個角度去判斷解題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)九:時，符合條件0V"VI,

?54

但n2-1=G）-1=-^<0,

團命題“如果0<n<1,那么n?-1>0〃是假命題.

同樣當(dāng)幾=：時，也可以判斷命題,如果0〈九V1,那么是假命題，

故答案為：3（也可以是:等，答案不唯一）.

【題型5逆命題】

【例5】（2425七年級下?江蘇無錫?期末）下列命題中：

①相等的角是對頂角；

②直角三角形兩個銳角互余；

③如果Q=b,則|a|=向；

④如果一個點是這條線段的中點，那么這個點到線段兩端的距離相等.

逆命題是真命題的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了命題與逆命題，判斷命題真假，分別寫出四個命題的逆命題，并逐一判斷其真假即可,

掌握命題與逆命題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：命題①的逆命題：“對頂角相等〃，對頂角一定相等，故逆命題為真；

命題②的逆命題：“兩個銳角互余的三角形是直角三角形"，若兩銳角之和為90。，則第三個角為90。，故三

角形為直角三角形，逆命題為真：

命題③的逆命題："若|a|=g|,則。=非，絕對值相等時，Q與b可能相等或互為相反數(shù)，逆命題為假；

命題④的逆命題："到線段兩端距離相等的點是中點"，該點可能在線段的垂直平分線上而非線段上，故逆

命題為假；

綜上，逆命題為真的有2個，

故選：B.

【變式51】下列命題：①如果a>b,那么a+c>b+c；②如果於0,bVO,那么abWO；③直角三角形有兩

個銳角.

其中原命題與其逆命題都是真命題的有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】A

【分析】運用不等式的基本性質(zhì)艮】可判斷①的原命題和逆命題是否正確；

運用不等式的基本性質(zhì)先判斷出②的原命題是否正確，再判斷逆命題〃如果abWO,那么a20,bV0〃是否正

確；運用直角三角形的性質(zhì)判斷③的原命題正確與否，再判斷逆命題"如果一個三角形有兩個銳角，那么這

個二角形是直角二角形”正確與否，問題即可解答.

【詳解】①：原命題"如果a>b,那么a+c>b+c”是真命題；逆命題"如果a+c>b+c,那么a>3”是真命題.

（2）：原命題“如果薛0,b<0,那么abwO”是真命題；逆命題“如果abwO,那么堀0,b<0”是假命題，可能

還存在a>0,b<0,或a<0,b>0,或a$0,b>0的情況.

③：原命題“直角三角形有兩個銳角〃是真命題；逆命題“如果一個三角形有兩個銳角，那么這個三角形是宜

角三角形”是假命題，如鈍角三角形.

故只有①的原命題與其逆命題都是真命題.

故選A.

【點睛】本題考查判斷原命題與逆命題正確與否的問題，首先判斷原命題的條件及結(jié)論，將其對調(diào)即可寫

出其逆命題是解題的關(guān)鍵.

【變式52】（2425八年級下?福建三明?期中）以下命題的逆命題中，屬于真命題的是（）

A.如果Q>0,b>0,則Q+b>0B.直角都相等

C.兩宜線平行，同位角相等D.若。=上則/=/

【答案】C

【分析】本題考查逆命題，逆命題的真假識別，掌握逆命題把原命題的題設(shè)變?yōu)榻Y(jié)論，把結(jié)論變?yōu)轭}設(shè)，

逆命題的真假識別方法是解題關(guān)鍵.

首先明確各個命題的逆命題，再分別分析各逆命題的題設(shè)是否能推出結(jié)論得出答案.

【詳解】解：A.逆命題為：如果a+b>0,則a>0,b>0,反例3+（-2）=1>0,a=3>0,b=-2<0,

故該選項的逆命題是假命題，不符合題意；

B.逆命題為：相等角是直角，反例乙A==30。，但不是直角，故該選項的逆命題是假命題，不符合題

盡；

C.逆命題為：同位角相等，兩直線平行，根據(jù)平行線判定定理知其是真命題，故該選項的逆命題是真命題,

符合題意；

D.逆命題為：小二82,則Q二d反例32=（—3）2,3工—3故該選項的逆命題是假命題，不符合題意；

故選：C.

【變式53】（2425八年級下?江西萍鄉(xiāng)?期中）命題”等腰直角三弟形的兩個銳角相等〃，請寫出它的逆命

題.該逆命題是（填"真"或"假"）命題.

【答案】有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形假

【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題：正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命

題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.也考查了逆命題.根據(jù)給出的命題將其結(jié)論與條件互換即得到其逆

命題，然后分析其真假即可.

【詳解】解：逆命題為有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形，該逆命題是假命題，

故答案為：有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形，假.

【題型6定理與證明】

【例6】請舉出一個關(guān)于角相等的定理：—.

【答案】兩直線平行，同位角相等

【分析】任意寫出一個角相等的定理即可.

【詳解】解—：關(guān)于角相等的定理：兩直線平行，同位角相等

故答案為：兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）.

【點睛】本題考查角相等的定理，如同位角、內(nèi)錯角或?qū)斀?，寫出相?yīng)的定理即可.

【變式61】下列語句中，是定義的是（）

A.若兩角之和為90。，則這兩個角互余B.相等的角是對頂角

C.同角的余角相等D.延長3C至。使CD=8。

【答案】B

【分析】本題考查了全是與定理的知識，利用定義的定義分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解?：A.若兩角之和為90。，則這兩個角互余，不是定義，不符合題意；

B.相等的角是對頂角，是定義，符合題意;

C.同角的余角相等，不是定義，不符合題意；

D.延長BC至。使CD=8C,不是定義，不符合題意；

故選：B

【變式62】（2425七年級下?全國裸后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的，根據(jù),可以得到

推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和.

【答案】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義兩個內(nèi)角

【分析】本題考查定理和命題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平常的定義推出三角形的外角的性質(zhì)，作答即

可.

【詳解】解：定理可以作為證明后續(xù)命題的依據(jù)，根據(jù)三角形內(nèi)帝和定理及平角的定義，可以得到推論：三

角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

故答案為：依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，兩個內(nèi)角

【變式63］下列命題可以作定理的有個.

①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程+7=英它的根；④三角形的內(nèi)角

26

和是180。；⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式.

【答案】2/兩

【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題,

舉一個反例即可說明；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經(jīng)過推理論證；經(jīng)過判斷可以得到①、②、

③是假命題，④、⑤是真命題，是經(jīng)過推理論證的，據(jù)此可以解決問題.

【詳解】解：①2與6的平均值是4,故此命題是假命題，不是定理；

②能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；

③把5代入方程;％+7=嗜，方程兩邊不相等，故不是真命題，更不是定理；

N6

④三角形的內(nèi)角和為180。，是經(jīng)過證明的是真命題，故是定理；

⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式，符合等式的性質(zhì)，是定理；

綜上所述：③和④是定理，共2個.

故答案為：2.

【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】

【例7】命題：直角三角形的兩銳角互余.

A

⑴將此命題寫成”如果...，那么..."：；

（2）請判斷此命題的真假.若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明

過程.

【答案】（1）如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余

⑵該命題是真命題，詳見解析

【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，逆命題的概念：

（1）根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，即可證明.

【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；

故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余

（2）解：該命題是真命題

已知：如圖，在△48C中，ZF=90°

求證：Z-A+Z.C=90°

證明：???乙4+43+4（？=180°

:.Z.A+Z,C=180°-乙B

???乙B=90°

???NA+“=180°-90°=90°.

【變式71】（2425七年級下?江蘇南京?期木）請將三角形內(nèi)角和定理的推論補充完整并加以證明.

定理：三角形的外角等于的和.

已知：

求證：

【答案】見解析

【分析】本題主要考杳了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角

的和，據(jù)此補全定理，再寫出對應(yīng)的已知和求證，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義證明即可.

【詳解】定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

已知：乙4c。是AABC的一個外角.

求證：Z-ACD=+

證明：如圖所示，在△48C中，Z4+ZJ?+Z,ACB=180°,

0Z/1CF4-Z.ACD=180°,

[I1Z/1CD=Z.A+Z.B.

【變式72]證明：平行于同一條直線的兩條直線平行.

已知：.

求證：.

證明:

【答案】見解析

【分析】寫出已知，求證，利用平行線的判定定理證明即可.

【詳解】已知：如圖，直線a、b、c中，a\\b,bile,

-------------------b

-------------------c

求證:a\\c.

^a\\b,

0Z.1=Z.2,

助lie,

0z2=z.3?

0Z.1=z.3,

13alic.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)犍是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式73］（2425七年級下?山東泰安?期中）證明三角形的內(nèi)角和為180,要求：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合

畫出的圖形寫出已知和求證，并嘗試證明.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，將三角形的三個內(nèi)角集

中到同一個頂點，再由平角為180。，證明即可.

【詳解】解：已知：如圖，△洋BC,

求證：4A+乙8+4。=180°：

證明：過點4作EFIIBC,如圖,

團"IIBC,

:.乙B=z.1,Z.C=Z.2,

???zl+Z.BAC+Z2=180°,

Z.A+Z-B+Z.C=180°,

???三角形內(nèi)角和180。.

【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】

【例8】（2425七年級下?吉林長春?期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級下冊數(shù)學(xué)教材習(xí)題8.1第6題部

分內(nèi)容.

如圖，在△48。中，4/18。的平分線與41cB的外角平分線相交于點。.試找出乙。與

的內(nèi)角44之間的關(guān)系.

(1)小明閱讀題目后.沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路.干是嘗試代入N4的度數(shù)，即可求N。的度數(shù).

①當(dāng)乙4=60。時，ZD=度；當(dāng)乙4=120。時，乙0=度；

②于是小明猜想乙。與乙4之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)以下是小明完成猜想證明的部分過程：

證明：???8。平分乙A8C,

：?Z.DBC=乙ABD=^ABC.

2

???C。平分々4CE,

ADCE=Z,ACD=-Z-ACE.

2

證明過程缺失

請你補全缺失的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】(3)如圖，在四邊形48CD中，BF平分乙48C,CG平分外角4CE,連結(jié)”.若〃=140°,ZD=90°,

則/F+乙G=度.

【答案】⑴①30：60：②4(2)見解析；⑶205

【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的外角性

質(zhì).

(1)①當(dāng)乙4分別是60度和120度時,得到乙。的度數(shù)；

②猜想得到乙。

(2)由角平分線定義得到NDBCADCE=^ACE,由三角形的外角性質(zhì)推出;44+：乙48。二

ZD+-Z/15C,即可證明乙0=2/力；

22

(3)延長8/1和CD交于M,延長8E和CG交于N,由三角形的外角性質(zhì)求出zM=50。，由(2)的結(jié)論即可

求ll"N=x50°=25°,由三角形的外角性質(zhì)即可求出4BFG+乙CGF=205°.

【詳解】(1)解：①當(dāng)44=60。時，設(shè)4/BC=2a,則乙ICE=2a+60。，

回BD'F分N4BC,CD'F分N4CE,

團/DBC=Z.ABD=-2/.ABC=a,2乙DCE=Z.ACD=-/.ACE=Q+30°,

團4D=乙DCE-Z.DBC=a+30°-a=30°；

當(dāng)乙4=120。時，設(shè)乙48C=2仇則乙4CE=20+120。，

團BD平分4ABC,C。平分，

團/D8c=乙ABD=^ABC=0,乙DCE=LACD=*CE=/?+60°,

0ZD=乙DCE-乙DBC=0+60。一/?=60°：

故答案為：30,60；

②于是小明猜想N。與24之間的數(shù)量關(guān)系為N。=344

故答案為：

(2)證明：團80平分

團乙D8C=Z-ABD=-2Z-ABC,

團CD平分乙4C￡,

團iDCE=Z.ACD=-Z-ACE,

2

田乙DCE=+乙DBC,

嗎/ACE=4+2BC,

^/-ACE=Z.A+/.ABC,

^AA+^Z.ABC=NO

0zD=-2z.A；

(3)如圖,延長B4和CD交于M,延長BE和CG交于M

M

13BF平分448C,CG平分外角NDCE,

，

=-2Z.M

0Z/WC=90。，

團乙10M=180°-90°=90°,

團4M=Z-BAD-Z-ADM=140°=90°=50°,

(3zW=-x50o=25°,

2

團4BFG=ZN+乙FGN,乙CGF=△N+乙NFG,

?乙BFG+Z-CGF=Z.N+Z.FGN+Z/V+乙NFG=180°+25°=205°,

故答案為：205.

【變式81】補全下列推理過程：

如圖，EF1BC,AD1BC,zl=Z2,試說明OG||84.

解：0EF1BC,AD1BC,（已知），

⑦乙BFE=^BDA=90°（垂直的定義），

0EF||AD（）.

0Z2=43（）.

團41=42（已知），

團（等量代換），

WGIIAB（）.

【答案】答案見詳解；

【分析】本題考查證明補充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接滇寫即可得到答案;

【詳解】解：團EF1BC,AD1BC（已知），

^LBFE=^BDA=90°（垂直的定義），

0FFIIAD（同位角相等，兩直線平行）,

回乙2=乙3（兩直線平行，同位角相等）,

0Z1=Z2（已知），

0Z1=Z3（等量代換），

團OG||AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【變式82］（2425七年級下?湖南衡陽?期末）如圖，。是△4BC邊3C上的一點，乙8=乙440,LADC=70°.

⑴求4B的度數(shù)：請在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容.（理由或數(shù)學(xué)式）

解：（1）團44DC是△4BO的外角，乙40c=70。（已知），

團4B4-=Z.ADC=70°（）.

又叵48=乙BAD（已知）,

團乙B=（等量代換）

⑵若平分乙區(qū)4C,求乙C的度數(shù).（請寫出完整的解答過程）

【答案】（1）答案見解析

（2）75°

【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識.熟記三角形的外角性質(zhì)、

角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由，力。。是△48。的外角，利用“三角形的一個外角等「和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和“，可求出的度數(shù);

（2）利用角平分線的定義和“三角形的內(nèi)角和等于180。〃，可求出乙。的度數(shù).

【詳解】（1）解:團乙40c是△ABD的夕卜角，/力。。=70。（己知），

團乙B+乙&4。70。（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）.

又RZ8=乙BAD（已知），

0ZF=35°.（等量代換）；

（2）解：團/1。平分N8/1C,匕8/10=35。（已知），

^LBAC=2x35°=70。（角平分我的定義）.

團在△力8。中，28=35°,Z.BAC=70°（已證），

團”=180。-35。-70。=75。（三角形的內(nèi)角和定理）.

【變式83］（2425七年級下?廣東茂名?階段練習(xí)）如圖，Z1=Z2,Z3+z4=180°.試說明：ACWFG.

請你完成下列推理過程（括號內(nèi)寫出理由）：

解：因為乙1=/2,（已知）

所以____________U___________.（）

因為43+44=180°,（已知）

所以____________L，（）

所以4cl尸G.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

【答案】4C；OE：內(nèi)錯角相等，西宜線平行；OE；FG；DEWFG；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得出力QICE，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行可得由OEIIFG,然后根據(jù)平行線的傳遞性即可得證.

【詳解】解?：因為，1=42,（已知）

所以力CIIDE.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

因為43+44=180°,（已知）

所以DEI尸G,（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

所以ACI尸G.（平行于向一條直線的兩條直線平行）

故答案為：AC；DE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE；FG；DEIFG；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】

【例9】如圖，直線a,b,。被直線〃?，〃所截，有下列命題:

m

@LBAC=LBDCx@￡AFE=￡FED；③milTI.

從①②③中選出兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并說明理由.

【答案】見解析

【分析】本題考查命題的證明，根據(jù)命題的定義，選擇條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，進行證明即

可.

【詳解】從題干中選出其中的兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出3個命題，分別為：①②團③;

②③回①；①③回②.以上3個命題都是真命題，

①②團③，

Z.AFE=乙FED,

???bIIc,

“AB+/.ABD=180°,

vZ.BAC=Z.BDC,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

???m||n；

②③團①，

vZ.AFE=/.FED,

???bIIc,

Z.CAB+/.ABD=180°,

m||n,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

:.Z.BAC=乙BDC；

①③團②，

mII九，

???/.ABD+Z.BDC=180°,

Z.BAC=Z.BDC,

Z.BAC+Z.ABD=180%

bIIc,

???Z.AFE=乙FED.

【變式91］如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①4BIICD；②"="；③"=N工請以其中2個論斷為條件,

另一個論斷為結(jié)論構(gòu)造命題.

⑴請寫出所有的真命題；

⑵請選擇其中一個命題加以證明.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【分析】（1）分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結(jié)論可寫出3個命題;

（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對命題進行證明即可.

【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；

命題2：由①③得到②：

命題3：由②③得到①；

（2）命題1證明如下：

蜘BIICD,

團4B=4CD",

0z.5=z.C9

團/。=zCD?，

團CEIIB產(chǎn)，

（3zE=zF；

命題2證明如下：

團4BIICD,

團乙8=乙。。/，

團。￡||8F,

Hz.C=Z.CDF,,

團ZB=4C；

命題3證明如下：

0zF=zF,

fflCfHFF,

0z.C=z.CDF,

（3NB=ZC,

0z.^=z.CDF>

團AB||CD.

【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質(zhì)，熟練運用平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的

關(guān)鍵.

【變式92］【閱讀】在證明命題"如果Q>b>0,cV0,那么a?+加>ab+ac"時，小明的證明方法如下：

證明：0a>d>0,

團Q2>.0a2+be>___.

回Q>匕，c<0,

Me>___.團ab+be>___.

0a2+be>ab+ac.

【問題解決】

⑴請將上面的證明過程填寫完整；

⑵有以下幾個條件：①a>b,@a<b,③aVO,?b<0.請從中選擇兩個作為已知條件，得出結(jié)論

|a|>g|.你選擇的條件序號是并給出證明過程.

【答案】（1）見解析

⑵②④，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)a>b>0,可得標(biāo)〉〃〃.從而得到a?+be>ab4-be.再由a>b,c<0,可得be>ac.從

而得到ab+be>ab4-ac.即可求證；

（2）選擇②④.理由：根據(jù)a<b,b<Q,可得a<0.再由絕對值的性質(zhì)可得|a|=-a,\b\=-b.然后根

據(jù)“<〃，可得—a>—b,即可.

【詳解】（1）證明：0a>b>O,

回M>出）.

0a2+be>ab+be.

^a>b,c<0,

毗>ac.

^ab+be>ab4-ac.

0a2+be>ab+ac.

（2）解團選擇②④.

證明如下：加。，b<0,

國a<0.

回⑷=-a,\b\=—b.

0（7<Z?,

0-a>-b.

（3|a|>\b\.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式93］如圖，已知直線EFIIGH,給出下列信息：

@AC1BC；②8c平分乙。CH；③々AC。=LDAC.

EADBF

G3C^H

⑴請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，你選擇的條件

是一，結(jié)論是_（只要填寫序號），并說明理由.

（2）在（1）的條件下，若乙4CG比，3cH的2倍少3度,求〃力C的度數(shù).

【答案】（1）①②；③；理由見解析

（2）59°

【分析】（1）由角平分線的定義可得48C。再根據(jù)等角的余角相等可得出ZJ1CZ）=/ACG,再由

平行線的性質(zhì)可得4力CG=4D4C,從而結(jié)論得證；

（2）由（1）得：Z.ACG+Z-BCH=90°,根據(jù)41CG比，8cH的2倍少3度，可得關(guān)系式乙4CG=2Z8CH—3。,

求得乙BCH=31°,LACG=59°,再根據(jù)乙。力C=乙4（?。即可得到乙ZMC的度數(shù).

【詳解】（1）解：條件：①②，結(jié)論：③.理由如下：

團BC平分乙CCH,

團乙BCD=Z.BCH,

團4c1BC,

^Z.ACD+乙BCD=90°,Z-ACG+乙BCH=90%

0Z/1CD=Z.ACG,

團"IIGH,

^Z.ACG=LDAC,

0Z.4CD=Z.DAC.

故答案為：①②；③.

（2）由（1）得：^ACG+^BCH=90%

團NACG比NBC”的2倍少3度，

0Z/1CG=2Z,BCH-3°,

^2LBCH-3。+Z.BCH=90°,

解得：Z.BCH=31°,

^ACG=90°-乙BCH=59°,

^/.DAC=Z.ACG=59°.

回乙D4c的度數(shù)59。.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質(zhì)，解方程組等知識.理解和掌握平行

線的性質(zhì)，等角的余角相等是解題的關(guān)鍵.

【題型10演繹推理】

【例10]（2025?山東濟寧?二模）某班級到勞動實踐基地參加活動，基地指導(dǎo)老師讓同學(xué)排成一列縱隊后，

按照從前到后的順序四人一組，根據(jù)李明和張雪的對話

給出以下四個結(jié)論：

①如果李明和趙偉同?組，那么張雪和王凱也同?組；②如果李明和趙偉不同?組，那么張雪和王凱也不

同一組；③如果張雪和王凱同一組，那么李明和趙偉也同■組：④如果張雪和王凱不同一組，那么李明和

趙偉也不同一組.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C,①④D,①②③

【答案】C

【分析】本題考查了推理，列舉法求試驗結(jié)果，根據(jù)題意舉出反例或列舉是解題的關(guān)鍵.

設(shè)中間隔著的人用刀代替，令右為前，左為后，則排序為：…，X,X,王凱，X,張雪，X,趙偉，X,X,李

明，》,X,然后再根據(jù)選項分析即可.

【洋解】解：依題意，設(shè)中間隔看的人用W弋替，令右為前，左為后，則排序為：

…，X,X,王凱，X,張雪，X,趙偉，X,X,李明，X,X,?-?

對于①，如果李明和趙偉同一組，滿足四人一組，則有（趙偉，X,X,李明）這樣排列，那么（王凱，X,

張雪，X）為一組，故①正確；

對干②，如果李明和趙偉不同一組，那么可以排列（李明，X,X,X）,（X,趙偉，X,X）.則（％,王

凱，X,張雪），故張雪和王凱可能在同一-組，故②錯誤；

對于③，如果張雪和王凱同一組，那么可以排列（X,王凱，X,張雪），則（X,趙偉，X,工），故李明

和趙偉可能不在同一組，故③錯誤：

對于④，如果張雪和王凱不同一組，可以排列（％,X,X,王凱），（，張雪，X,趙偉），（X,X,李

明，X）,符合題意李明和趙偉也不同一組；

或者可以排列（，X,王凱，X）,（張雪，X,趙偉，X）,（X,李明，X,X）,符合題意李明和趙偉也

不同一組，故④正確，

故選：C.

【變式101］（2025?湖南長沙?一模）有三張牌，分別為紅心A、紅心2、紅心8,將這三張牌按任意左右順

序排列，再根據(jù)下列步驟操作：

第一步：將紅心2與左邊的牌互換，如果紅心2已經(jīng)在最左邊，則不動：

第二步：將紅心8與右邊的牌互換，如果紅心8已經(jīng)在最右邊，則不動；

第三步：將紅心A與左邊的牌互換，如果紅心A已經(jīng)在最左邊，則不動.

經(jīng)過以上三步操作后，請問最右邊的牌是（）

A.紅心4B.紅心2

C.紅心8D.紅心A、紅心2、紅心8都有可能

【答案】C

【分析】本題主要考查了簡單的邏輯推理，三張牌的所有排列組合共有6種：A,2,8,A,8,2,2,

A,8,2,8,A,8,A,2,8,2,A,據(jù)此分6種情況分別求出三步操作后最右邊的牌即可得到答

案.

【詳解】解：首先，三張牌的所有排列組合共有6種：

A,2,8,

A,8,2,

2,4,8,

2,8,A,

8,4,2,

8,2,A,

第一種初始排列：人，2,8,

第一步：紅心2的位置是中間，左邊是A.所以紅心2與左邊的A互換位置，變?yōu)?,A,8,

第二步：處理紅心8的位置，此時排列是2,A,8.紅心8在最右邊，所以不動.

第二步：處理紅心A,此時紅心乂在中間位置，左邊是2,所以A與左邊的2互換位置，得到A,2,8.,

所以第三步結(jié)束后的排列是42.8.所以最右邊是8.

第二種初始排列：4，8,2,

第一步：紅心2的位置是右邊第三位，即最右邊，所以紅心2在初始排列的最右邊，左邊是8.所以第一步

需要把紅心2和左邊的8互換位置，得到A,2,8.

第二步處理紅心8的位置.此時排列是A,2,8,紅心8在最右邊，所以不動.

第三步處理紅心A,此時紅心A在第一位，已經(jīng)是最左邊，所以不動.最終排列還是A,2,8,最右邊是8.

第三種初始排列：2,A,8,

第一步：紅心2已經(jīng)在最左邊，所以不動，排列還是2,A,8,

第二步：紅心8在最右邊，所以不動，排列還是2,A,8,

第三步：紅心A在中間位置，左邊是2,所以紅心4與2互換位置，得到A,2,8.最右邊還是8.

第四種初始排列：2,8,A,

第一步：紅心2在第一位，不動，排列保持2,8,A,

第二步：紅心8在中間位置，右邊是A.所以將紅心8與右邊的A互換位置，得到2,A,8,

第三步：處理紅心A的位置，此時紅心A在中間，左邊是2,所以互換，得到A,2,8.最右邊是8.

第五種初始排列：8,4,2,

第一步：紅心2在最右邊，所以需要將紅心2與左邊的A互換位置，得到8,2,A,

第二步：處理紅心8的位置，此時紅心8在第一位，左邊沒有牌，右邊