12.2平行線

夯基礎(chǔ)

題型一平行公理及推論的應(yīng)用

（2024七年級下?天津?專題練習(xí)）

1.下列說法中正確的個數(shù)有（）

（1）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線

（2）經(jīng)過直線外一點，能夠畫出一條直線與已知直線平行，并且只能畫出一條

（3）如果4〃8,b//C,則4〃C

（4）兩條不平行的射線，在同一平面內(nèi)一定相交.

A.1B.2C.3D.4

（23-24七年級下?河南鄭州?期中）

2.下列說法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.垂線段就是點到直線的距離

D.直線a,b,c在同一平面內(nèi)，若￡_1_刃，c,貝iJa_Lc

（23—24七年級下?河北石家莊?階段練習(xí)）

3.已知直線/,在同一平面內(nèi)，甲、乙、丙得到如下結(jié)論，下列判斷正確的是（）

甲：與直線/垂直的直線有且只有一條；乙：經(jīng)過一點，有且只有一條直線與直線/平行;

丙：若兩條直線〃，6都與直線/平行，則直線a,b平行

A.甲對乙錯B.甲錯乙對

C.甲對丙錯D.乙錯丙對

（22-23七年級下?廣西南寧?階段練習(xí)）

4.a、b、c?是直線，下列說法正確的是（

A.若a_Lb,b〃c,則a/cB.若a_Lb,bYc,則a_Lc

C.若2〃1）,blc,則D.若a〃b,b//c,則

題型二平行線的判定

試卷第1頁，共12頁

（23—24七年級下?四川成都?階段練習(xí)）

5.如圖，直線4,4被直線4所截，下列選項中能得到4的是（）

B.Z3=Z5

C.Z2=Z5D.Z2+Z4=180°

（23-24七年級下?山東青島?期中）

6.如圖，直線都與直線。相交，給出下列條件:①N1=N2；②N3=N6；③N4+N7=180。；

④/5=/8.其中能判斷°〃力的條件是（

C.①③④D.①②③

（22—23七年級下?江蘇南通?期中）

7.如圖所示，下列條件不能判定力4〃CQ的是（）

B.Z1=Z5C.Z3=Z5D.Zl+Z2=180°

（22—23七年級下?四川達州?期中）

8.如圖，點石在8C的延長線上，下列條件中不能判斷的是（）

試卷第2頁，共12頁

AD

B.N5=NB

C.ZD+Z5CZ）=180°D.NB+"CD=180。

題型三平行線的性質(zhì)

（2024?云南紅河?模擬預(yù)測）

9.如圖，直線。與直線b被直線。所截,若N1=N2,貝JN3與N4的數(shù)量關(guān)系為（)

A.Z3>Z4B.Z3<Z4C./3=/4D.無法判斷

（22-23七年級下?貴州遵義?期中）

1（）.如圖，AB//CD,4=50。，則N1的度數(shù)是（）

C.130°D.150°

（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）

II.如圖，直線4〃/2〃4，N1=25°,N/5C=73。,則N2的度數(shù)為()

C.138。D.132°

（23-24七年級下?河北石家莊?階段練習(xí)）

12.如圖，直線?！ㄈ酥本€c與直線。、力分別相交于4、B兩點、,于點兒交直

試卷第3頁，共12頁

的度數(shù)為（）

題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

（23-24七年級下?廣西百色?期末）

17.如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)港后，和原來的方向相同.如果第一次的拐角//=135。，則第

二次的拐角N8度數(shù)是（）

——/%-------

---------日/

A.45°B.130°C.135°D.140°

（23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末）

18.一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，前進的方向仍與原來相同，那么這兩次

轉(zhuǎn)彎的角度可以是（）

A.先右轉(zhuǎn)60。，再左轉(zhuǎn)120。B.先左轉(zhuǎn)60。，再右轉(zhuǎn)60°

C.先左轉(zhuǎn)60。，再左轉(zhuǎn)120"D.先右轉(zhuǎn)60。，再右轉(zhuǎn)60。

（23-24七年級下?浙江寧波?期末）

19.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時\要發(fā)生折射.由

于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一

束平行光線經(jīng)過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行.若Nl=45。，

Z2=120°,則/3+N4的度數(shù)是（）

（23-24七年級下?廣西貴港?期末）

20.在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名叫作蛾子，如圖，這是

試卷第5頁，共12頁

一桿古秤在稱物時的狀態(tài)，已知Nl=102。，則N2的度數(shù)為（）

A.102°B.72°C.78°D.90°

題型六求平行線間的距離

（河南省商丘市虞城縣城區(qū)學(xué)校2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期四分之一月考試題）

21.如圖，a〃b,點、B,C在直線。上，點A在直線5上，AB1AC,AB=6,4C=8,

8c=10,則圖中。與b之間的距離為

（廣西壯族自治區(qū)來賓市2023—2024學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）

22.如圖，?！ΓcA在直線。上，點C在直線6上，AC1b,如果46=10cm,

/C=8cm,8C=6cm,那么平行線6之間的距離為cm.

（湖南省永州市雙牌縣2023-2024學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）

23.已知在同一平面內(nèi)，直線。，b,?；ハ嗥叫校本€口與b之間的距離是4cm,直線/）與

。之間的距離是2cm,那么直線〃與。的距離是.

（重慶市求精中學(xué)校2023-2024學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）

24.已知直線a,'。在同一平面內(nèi)，且?！╞〃c,a與6之間的距離為5cm,6與。之間

的距離為2cm,則a與c之間的距離是.

題型七根據(jù)平行的判定與性質(zhì)證明

（云南省曲靖市沾益區(qū)2023-2024學(xué)年下學(xué)期期中考試七年級數(shù)學(xué)試卷）

25.如圖，點2E,尸分別是△力AC的邊8CC4力4上的點，DF//CA,NFDE=NA.求證:

試卷第6頁，共12頁

DE//AB.

A

（遼寧省鐵嶺市實驗學(xué)校2022—2023學(xué)年七年級下學(xué)期第二次數(shù)學(xué)階段性測試題）

26.如圖，EF工/C于點R,DB人AC于點、M,Zl=Z2,Z3=ZC,請問48與MV平行

嗎？說明理由.完成下列推理過程：

解：AB//MN.

理由如下：

vEF1AC,DBLAC,:已知)

.-.ZCF￡=ZGWD=90°

:?EF〃OM、(_)

??.N2=NCOM.(_)

vZl=Z2,(已知)

.-.Z1=Z_,(_)

.-.MN//CD,(_)

???N3=NC(已知)

:.AB//CD,(_)

:.AB〃MN.(_)

(安徽省黃山地區(qū)2023—2024學(xué)年七年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)

27.如圖，已知=AB//CD,點七在線段C8延長線上，。七平分/4QC.

試卷第7頁，共12頁

AD

（1）求證：/DEC=NEDC；

（2）若ND4E=5/B4E,/AED=45。,求NOEC的度數(shù).

（陜西省渭南市韓城市2022—2023學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）

28.如圖，4BJ.4C,點D、七分別在線段4C、"上,DF、CE分別與交于點、M、

N,若N1=N2,NC=/F,求證：ABLBF.請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的

依據(jù).

證明：???/1=N2,/2=/3,

.--Z1=Z.（等量代換）

DF//CE.（）

，乙=N.（兩直線平行，同位角相等）

vZC=ZF,（已知）

???N4OM=N.（等量代換）

:?AC〃BF,（）

.??4=4.（）

?.Y814C,（已知）

/.ZJ=90°.

.?"=90°.

AAB1BF.（）

題型八根據(jù)平行的判定與性質(zhì)求角度

（22—23七年級下?寧夏石嘴山?期中）

29.如圖，已知4P//DM,點、B,。分別是射線加＞,DM上的點，ZD=Z/15C=60°,

試卷第8頁，共12頁

AM,力N分別平分/歷IC和NCW.

(2)若/AND=NACB,求/力C8的度數(shù).

(23—24七年級下?貴州畢節(jié)?期中)

30.如圖，AD//EF,Zl=Z2,ZAGD=75°,求/歷IC的度數(shù).請將求/歷1C的度數(shù)的

過程及理由填寫出來.

解：因為AD〃EF,

根據(jù)“”，

所以/2=/3.

又因為N1=N2,

所以N1=N3,

根據(jù)“”，

所以48〃OG,

根據(jù)““

所以/A4C+N=180°.

又因為/XGQ=75。，

所以/84C=.

(23-24七年級下?四川內(nèi)江?開學(xué)考試)

31.如圖，已知4=4GE,ZD=ZDGC.

(1)試判斷/也與C。的位置關(guān)系，并說明埋由;

試卷第9頁，共12頁

⑵若/2+/I=180。，且N6EC=2N3+24。，求NC的度數(shù).

（22—23七年級下?四川達州?期中）

32.如圖EE〃力。，Zl=Z2,/切。=70。，求乙4G。的度數(shù).

所以N2=_（）,

又因為N1=N2（已知），

所以/1=/3（等量代換）.

所以QG〃—（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以彳C+/4GO=180。（）.

因為N"C=70。（已知），

所以4GQ=_.

B提能力

（22—23七年級下?遼寧鐵嶺?期末）

33.已知直線力8〃。，點、E在/1B、8之間，點、P、。分別在直線力8、CO上，連接

（I）如圖1,直接寫出/4PE、/PEQ、NCQE之間的數(shù)量關(guān)系；

⑵如圖2,PF平分NBPE,QF平分乙EQD、當(dāng)/尸￡。=150。時，求出/尸尸。的度數(shù)；

（3）如圖3,若點￡在CO的下方，PF平分/BPE,QH平■，分乙EQD,0”的反向延長線交所

于點尸，當(dāng)乙P￡Q=60。時，直接寫出/尸世的度數(shù).

試卷第10頁，共12頁

(22—23七年級下?山東青島?期中)

34.如圖1,0為直線上一點，過點。作射線。。，乙4。。=30。，將一直角三角板

(NM=30。)的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線。力上，另一邊QW與OC都在直線

川？的上方，將圖1中的三角板繞點0以每秒3。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.

AOBAOB

備用圖1備用圖2

(1)幾秒后ON與0c重合?

(2)如圖2,經(jīng)過f秒后，14N//AB,求此時，的值;

(3)若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線。。也繞。點以每秒6。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那

么經(jīng)過多長時間0C與0M重合?

(4)在(3)的條件下，當(dāng)射線OC,射線0M,射線08三條中的一條是另外兩條組成的夾

角的平分線時，請直接寫出/的值.

(23—24七年級下?廣西河池?期末)

35.如圖①，已知直線//(且/，和4、4分別交于A,8兩點，乙和乙、分別交于C,

。兩點，點P在線段月8二(點P和A,6兩點不重合)，ZJCP=Z1,/BD尸=N2,

⑵試找出/I,Z2,N3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)應(yīng)用(2)中的結(jié)論解答下面的問題：如圖②，點A在8的北偏東43。的方向上，在。的

北偏西45。的方向上，求/區(qū)4C的度數(shù).

試卷第11頁，共12頁

(4)如果點P在直線&上且在線段4B外側(cè)運動(尸和A,8兩點不重合)，其他條件不變，試

探究/I,Z2,N3之間的關(guān)系.

(23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末)

36.在學(xué)校開展的社團活動中，“數(shù)學(xué)大師”社團開展了題為《關(guān)于三角板的數(shù)學(xué)思考》綜合

實踐活動，使用一副三角板，分別為三角板48c(2C8=90。，48C=30。)，三角板CFQ

(zLEFD=90°,NFED=45°).

C(E)

圖1圖2

(1)小明將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點少落在力8上，點C與點￡重合，且

AB//CD,NACF=.

(2)如圖2,小亮將一個三角板ABC放在一組直線MN與尸。之間，并使頂點B在直線MN上,

頂點C在直線尸。上，現(xiàn)測得/PU=35。，ZMBA=25°,請判斷直線MV,尸。是否平行,

并說明理由；

(3)現(xiàn)將三角板45c和三角板力EE按圖3的方式擺放，使頂點8在直線A/N上，頂點E在直

線。。上，MM〃P。，直角頂點。與尸重合.

①若點〃、C、￡在同一直線上，則NMBA與NOE。之間的關(guān)系式為；

②若點8、C、￡不在同一直線上，其他條件不變，如圖4,則/MBA、NDEQ與/BCD之

間的關(guān)系式為.

試卷第12頁，共12頁

1.c

【分析】本題主要考查了平行線的定義、平行公理及推論，逐項判斷即可，熟記平行線的定

義、平行公理及推論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???(I)在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線，是平行的定義，故正

確；

(2)經(jīng)過直線外一點，能夠畫出一條直線與已知直線平行，并且只能畫出一條，是平行公

理，故正確：

(3)如果。〃人b//c,則a〃c,是平行公理推論，故正確；

(4)兩條不平行的射線，在同一平面內(nèi)也不一定相交，例如“在同一平面內(nèi)，點A在點〃的

正北方向，點A向正西方向作射線，點"向正南方向作射線“，兩射線不平行也不相交，故

原說法錯誤.

二正確的是(1)(2)(3)共3個.

故選：C.

2.B

【分析】此題考查了垂線和平行線.熱練掌握平行公理，垂線性質(zhì)，點到直線的距離、平行

線的判定，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行公理，垂線性質(zhì)，點到直線的距離、平行線的判定，，逐一判斷求解即可.

【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與己知直線平行，

故選項A不符合題意；

B、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選項B符合題意；

C、直線外一點到這條直線的垂線段的長度就是這點到這條直線的距高，

故選項C不符合題意；

D、直線“，b,c在同一平面內(nèi)，若。_|_/),則B〃C.

故選項D不符合題意.

故選：B.

3.D

【分析】本題考查的是平行線公理及推論，牢記平行公理是關(guān)鍵，根據(jù)平行公理及垂直的性

質(zhì)直接判斷即可.

答案第1頁，共25頁

【詳解】解：已知直線/,在同一平面內(nèi)，

與直線/垂直的直線有無數(shù)條，故甲說法錯誤：

經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與直線/平行，故乙說法錯誤；

若兩條直線“，方都與直線/平行，則直線小〃平行，故丙說法正確；

故選：D.

4.D

【分析】本題考查了平行公理，根據(jù)平行公理以及平行線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，若@_1忙b〃c,則。原說法錯誤，不符合題意；

B、在同一平面內(nèi)，若alb,blc,則原說法錯誤，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，若@〃也blc,則“JLc,原說法錯誤，不符合題意：

D、若?！▋篵//c,則正確，符合題意.

故選：D

5.A

【分析】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的判

定定理判斷求解即可.

【詳解】解：???/1=/2,故A符合題意；

由N3=N5,不能判定4〃4,故B不符合題意；

由/2=/5,不能判定/J//?，故C不符合題意；

由N2+N4=180。，不能判定/1〃4,故D不符合題意.

故選：A.

6.D

【分析】本題考查了平行線的判定、對頂角相等.根據(jù)同位角相等兩直線平行，即可判斷

①；根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可判斷②；根據(jù)對頂角相等和同旁內(nèi)角互補兩直線平

行，即可判斷③；根據(jù)對頂角相等和同旁內(nèi)角互補兩直線平行，即可判斷④，綜合即可得

出答案.

【詳解】解：vZl=Z2,

.'.a//b,故①正確；

???Z3=Z6,

答案第2頁，共25頁

：.a//h,故②正確：

vZ4+Z7=180°,

又Z4=Z6,

.-.Z6+Z7=180°,

:故③正確；

vZ5=Z3,Z8=Z2,

又???N5=/8,

:.N3=N2,

???不能推出?！?，故④不正確，

綜上可得：能判斷〃〃力的條件是①②③.

故選：D.

7.C

【分析】此題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法.根據(jù)平行線的判

定方法對選項逐個判斷即可.

【詳解】解：A,由23=N4能判定力B〃CQ（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），選項不符合題意;

B、由Nl=/5能判定力（同位角相等，兩直線平行），選項不符合題意；

C、由/3=/5不能判定力8〃。。，選項符合題意；

D、由N1+N2-180。，結(jié)合N2+45-180。，則Nl=N5能判定,4夕〃。（同位角相等，兩直

線平行），選項不符合題意.

故選：C.

8.C

【分析】本題主要考查了平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、rhZl=Z2,可以根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到48〃CO,不符合題

意;

B、由N5=N8,可以根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到48〃CO,不符合題意；

C、由NQ+N8CZ）=180。，可以根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到不可以得

至|J48〃C。，符合題意：

D、由4+48=180。，可以根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到相〃C。，不符合題意；

故選：C.

9.C

答案第3頁，共25頁

【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì).先根據(jù)平行線的判定定理得出?！ㄈ嗽倨?/p>

行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：.?.N1=N2,

:.a〃b,

/3=/4,

故選：C.

10.B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.T〃〃CO,4=50。，

.?.ZI=ZJ=50°：

故選B.

11.D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)4〃」〃4，/1=25。,45。=73。,得出

/4=48。-25。=48。，結(jié)合N2+/4=180。，代入數(shù)值進行計算，即可作答.

【詳解】解：如圖：

V〃/?〃4,N1=25。,/ABC=73°

.-.Z1=Z3=25°,Z2+Z4=180°

則Z4=ZABC-25°=73°-25°=48°

vZ2+Z4=180°

.-.Z2=132n

故選：D

12.A

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，此

題難度不大.

先根據(jù)平行線的性質(zhì)求空N84。的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義和余角的性質(zhì)求出N2的度數(shù).

【詳解】解:如圖：

答案第4頁，共25頁

A

2D?.?直線

~~/B(?b

N1+N84Q=18O。，

?.?力。_1_48于點人，Zl=38°,

/.N2=180°-90。-38°=52。，

故選：A.

13.C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

兩直線平行，內(nèi)錯角相等得至UNl=N2+45°,再由/1=77。，即可得到N2=32。.

??.Z1-Z2+450,

?:Zl=77°,

.-.Z2=32°,

故選C.

14.C

【詳解】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，BCD=ABC=46。，zFEC+zECD=180,求出/ECD,

根據(jù)乙BCE-zlBCD-乙ECD求出即可.

解答：解：vABHEFHCD,ZABC=46°,zCEF=154°,

.-.ZBCD=ZABC=46°,zFEC+zECD=180°,

.-.ZECD=18O0-ZFEC=26°,

.-?zBCE=zBCD-zECD=46°-26o=20o.

故選C.

15.B

答案第5頁，共25頁

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，解決本題要熟練掌握平行線的性

質(zhì).根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/3。。+/8=18()。，由對頂用的性質(zhì)可得/8。。=/1=70"進

而可求解的度數(shù).

【詳解】解：?:CD"BE,

.?./8OQ+N8=180。，

?：NBOD=/m

.?.Z5=180o-70o=110°,

故選B.

16.B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解

題的關(guān)鍵.

由角平分線定義得到=由平行線的性質(zhì)得到NC4E=EG/=35。,即可得出

結(jié)論.

【詳解】解：是的平分線，

/BAE=ZCAE,

'：DF//AC,ZEGF=35°,

NCAE=EGF=35。,

.-?/B,4E-35°,

故選：B.

17.C

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).根據(jù)兩直

線平行，內(nèi)錯角相等，可知/8=乙4,進而得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

?.?一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同,

AC//BD,

.?.4=4=135。，

故選：C.

18.B

答案第6頁，共25頁

【分析】本題考查了平行線在實際生活中的應(yīng)用，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題

意畫出圖示即可.

【詳解】解：A.如圖所示，不符合題意；

D.如圖所示，不符合題意:

答案第7頁，共25頁

故選：B.

19.C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì).先利用平行線的性質(zhì)可得：Z1=Z3=45°,Z4=60°,

然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答.

【詳解】解：如圖:

?:AC，BD、

Z1=Z3=45°,

?：CD//EF,

Z2+Z4=180°,

???Z2=120°,

/.Z4=I8O°-Z2=6O°,

/.Z3+Z4=105°,

故選：c.

20.C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，依題意，AB//DC,

A

C

1

:.Z2=/BCD,

vZ5CZ)+Zl=180°,Zl=102°,

Z5CZ)=180°-Zl=78°,

.-.Z2=78°.

答案第8頁，共25頁

故選：c.

【分析】本題考查了兩條平行線間的距離，三角形的面積的計算，解決本題的關(guān)鍵是熟記點

到直線的距離的定義，正確的識別圖形，明確三角形面積的不同計算方法.根據(jù)三角形的面

積計算公式S==?力"即可得至IJ結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)。與人之間的距離為x,

?.?43=6,4C=8,BC=l。,

6x824

二x=------=一,

105

???設(shè)。與6之間的距離為當(dāng)，

24

故答案為：y.

22.8

【分析】本題考查了平行線之間的距離，關(guān)鍵是掌握平行線之間距離的定義.從一條平行線

上的任意一點到另?條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，由此可得出答

案.

【詳解】解…a"b,4C〔b,

AC_La,

v/IC=8cm,

???平行線a、b之間的距離為8cm,

故答案為:8.

23.6cm或2cm

【分析】本題考查平行線間的距離，分直線c在直線之間，和直線c在直線久占的外側(cè),

兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)直線。在直線b之間時，直線。與。的距離是4-2=2（cm）；

當(dāng)直線。在直線的外1W時，直線。與。的距離是4+2=6（cm）：

故答案為：6cm或2cm.

24.3cm或7cm##7cm或3cm

答案第9頁，共25頁

【分析】此題考查了平行線間的距離，分兩種情況畫出圖形，分別進行解答即可.

【詳解】解：如圖1,直線c在八b外時,

------------------b

--------------c

圖1

?：a與b的距離為5cm,b與c的距離為2cm,

:?a與c的距離為5+2=7(cm),

如圖2,直線C在直線a、6之間時，

------------------h

圖2

與b的距離為5cm,b與c的距離為2cm,

???a與c的距離為5-2=3(cm),

綜上所述，。與c的距離為女m或7cm.

故答案為：3cm或7cm.

25.見解析

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題關(guān)

鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可.

【詳解】-DF//CA,

:.Z.DFB=,

?：NFDE=NA,

：?/DFB=ZFDE,

???DE//AB.

26.見解析

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定定理.

首先得到』CFE=4CMD=90",推出EF//DM,得至UZ2=NCDM,等量代換得到Zl=ZCDM,

推出MN〃CO,同理得到力8〃CO,進而得到

答案第10頁，共25頁

【詳解】解：AB//MN.

理由如下：

?:EhAC,DB1AC,:已知）

:./CFE=4CMD=9G。

:.EF//DM,（同位角相等，兩直線平行）

.?.N2=NCDW.（兩直線平行，同位角相等）

vZl=Z2,（已知）

/.Zl=ACDM,（等量代換）

:（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

vZ3=ZC（己知）

:.AB〃CD,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

AB//MN（平行干同一條直線的兩條直線平行）.

27.（1）見解析

（2）60°

【分析［本題為平行線與角平分線的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義

等知識，綜合性較強，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵，第（2）步要注意根

據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，用含工的式子表示出相關(guān)角，列出方程解答.

（1）根據(jù),48〃。得到/A4O+N/OC-180。，根據(jù)角平分線的定義得到N4OE-NE。。,

即可證明；

（2）設(shè)=/E=5x,則/4）C=180。—4x,根據(jù)川?〃CD得到，進而得到

ZADC=180°-BAD=180°-4x,根據(jù)40〃8C,N4耳）=45。，得到

Z.EAD+ZAED+ZDEC=180°,從而求出.

【詳解】（1）證明：?.?小〃CD,

.-.Z5/lD+ZJDC=180n,

vABAD=ZC,

.-.ZC+ZJZ>C=180°,

:.AD//BC；

ZADE=ZDEC,

?：DE平分N/DC,

：?乙4DE=乙EDC,

答案第11頁，共25頁

：./DEC=NEDC；

（2）IW：-：ZDAE=5ZBAEfZAED=45°,

可設(shè)ABAE=x,NDAE=5x,

:"DAB-4/BAE-4x,

-AB//CD,

:.ZADC=180°-/BAD=180°-4x,

???QE平分/力OC,

：.4EDC=-ZADC=90°-2x

2

"DEC=ZEDC=90°-2x

?：4D〃BC,NAED=45。,

：.Z.EAD+乙4EC=180。，即NEAD+NAED+/DEC=180°

.-.5x+45°+90°-2x=180°,

解得：x=15°,

ZZ）￡C=90°-2x=60°.

28.見解析

【分析】本題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定，證明/C〃加"進而根據(jù)力B_Z月C',即可得出力

【詳解】證明：,??N1=N2,/2=/3,

???Nl=/3.（等量代換）

：.DF//CE.（同位角相等，兩直線平行）

"ADM=ZC.（兩直線平行，同位角相等）

vZC=Z.F,（已知）

^ADM=ZF.（等量代換）

：.AC〃BF,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

???/力=N8.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

?.Y8KC,（已知）

.-.ZJ=90°.

.?.N8=90。.

答案第12頁，共25頁

：.ABiBF.(垂直的定義)

故答案為：3：同位角相等，兩直線平行：C；F；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行,

內(nèi)錯角相等：垂直的定義.

29.(1)60°

(2)80°

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：

(1)先由平行線的性質(zhì)得到/比10=180。-/。=120。，再由角平分線的定義得到

ZCAN=-ZCAD,/CAM='/BAC,據(jù)此可得

22

/MAN=/CAN+ZCJM=-Z.BAD=60°；

2

(2)先證明/A4O+N43C=180。，得到月O〃BC,則=再證明

ZCAD=ZBAN,得到N￡UN=N〃4C,則N￡UN=NBWC==40°,可

得/4C8=NC4O=N￡UN+NaN=80。.

【詳解】3解：■:AP//DM,

.?.Z5JD=180°-ZZ)=120o,

vAM,AN分別平分ZBAC和NC4D,

：.NCAN=、NCAD,ZCAM=-ZBACt

22

:./MAN=ZCAN+ZCAM=-ZBAC+-ZCAD=-(ABAC+ZCAD)==60°；

222V72

(2)解:?.?ZB/4D=120°f48c=60°,

N8/1Q+N月80=180。，

AD//BC,

："ACB=/CAD,

vAPHDM,

:.ZAND=/BAN,

?：4AND=4ACB,

:"CAD=/BAN,

:./DAN=NBAC,

:./DAN=ABAC=ZNAC=-ZBAD=40°,

3

:?NAC8=Z(JAD=NLM/V+NCAN=8。，

答案第13頁，共25頁

30.兩直線平行，同位角相等：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

AGD；105°

【分析】本題主要考查了利用平行線的判定以及性質(zhì)求用的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得出

/2=/3,等量代換可得出Nl=/3,進而得出力8〃OG,由平行線的性質(zhì)可得出

N84C+NZGO=180。，進而可求出答案，

【詳解】解：因為4D//EF,

根據(jù)兩直線平行，同位角相等，

所以N2=/3.

又因為N1=N2,

所以/1=/3,

根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，

所以AB〃DG、

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，

所以NBAC+ZAGD=\800.

又因為44G0=75。，

所以NA4C=】05。

故答案為：兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補；AGD；105°

31.(\)AB//CD；理由見解析

(2)ZC=52°

【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)、判定，往往要相互轉(zhuǎn)化，交

替運用，注意在實際解題中多加體會.

(1)根據(jù)對頂角相等及已知條件證得乙4=/。，即可得到結(jié)論：

(2)根據(jù)對頂角相等和平行線的判定推出CE〃尸6,得到/6￡C+N6=18()c,根據(jù)

NBEC=2NB+240,求出N8=52。，得到/8EC=128。，再利用”〃CO,得到

"=52。.

【詳解】(1)解：AB//CD,理由如下：

因為/AGE與ZDGC是對頂角，

所以N/GE=/OGC,

又因為=ZZ?=ZL>GC,

答案第14頁，共25頁

所以/力=/。，

所以4?〃。。；

（2）解：因為N1與/4"是對頂角，

所以=

又因為N2+Nl=180。，

所以N2+4H8=180。，

所以CE〃FB,

所以N4￡T+NB=180。，

又因為N"C=2/8+24。，

所以2/5+24。+/8=180）,

所以N8=52。,

所以N8EC=128。.

乂因為48〃CO,

所以NAEC+NC=180。，

所以NC=52。.

32.已知；Z3；兩直線平行，同位角相等：AB；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；70。

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì).根據(jù)題干的提示逐步完善推理過程與推理依據(jù)

即可.

【詳解】解：因為E尸//KD（已知），

所以/2=/3（兩直線平行，同位角相等），

又因為N1=N2（已知），

所以Nl=/3（等量代換）.

所以QG〃48（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

因為NHC=70。（已知）,

所以乙1GQ=70。.

33.（1）NPEQ=N”E+NCQE,理由見解析

（2）ZPF0=1O5°

（3）/尸"0=150。

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線

答案第15頁，共25頁

解決問題，學(xué)會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

(1)如圖1,過點E作皮/〃/根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙4尸￡=/?！辍ǎ?/p>

/CQE=ZQE/I,等量代換即可得到結(jié)論；

(2)如圖2,過點“作〃/14,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

NBPE+ZEQD=360-(4PE+/C0E)=210°,根據(jù)角平分線的定義得到8尸尸=.NBPE,

NDQF=g/EQD,得至lj/8P尸+N。。產(chǎn)=g(N8PE+/￡0O)=1()5°,悴NF〃AB、

于是得

到結(jié)論：

(3)如圖3,過點￡作七必||。。，設(shè)NQ￡W=a,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

4DQE=180°-a,根據(jù)角平分線的定義得到ZDQH=；NDQE=90。-；a,

NBPE=180。-Z.PEM=180°-(60+a)=120°-a,根據(jù)角平分線的定義得到

NBPF=gNBPE=60。-ga,收NF"AB、于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：/PEQ=NAPE+/CQE,理由如下：

如圖1，過點、E作EH〃4B,

圖1

?;EH〃AB,AB//CD,

EH\\CD,

4CQE=AQEH,

???NPEQ=NPEII十ZQEH,

NPEQ=NAPE+ZCQE；

(2)解：如圖2,過點七作七時〃48,

答案第16頁，共25頁

P

AB

EJZM

c-----------2D

圖2

同理可得，“EQ=々APE十?QE=150°,

?/ZBPE=180°-NAPE,』EQD=180。-ZCQE,

/.BPE+ZEQD=360°-[ZAPE+NC0E)=210。,

?.PF平分NBPE,0尸平分/E。。，

:"BPF=|/BPE,Z.DQF=|ZEQD,

/BPF+/DQF=；(N〃PE+NEQD)=105°,

作■NF〃AB,同理可得，NPFQ=NBPF+NDQF=1。5。；

(3)解：如圖3,過點E作EMII。。，

設(shè)NQEM=a,

/.ZDQE=\S00-a,

?/QH平分/。?！?

ZDQH=|ZDQE=90°—ga

/.ZFQD=180°-4DQH=90。+ga,

?/EM//CD,AB//CD,

AB//EM,

NBPE=1800-NPEM=180°-(60°+a)=120°-a,

答案第17頁，共25頁

:PF平分NBPE,

ABPF=>/BPE=60°--?,

22

作NF〃AB,同理可得，Z.PFQ=^BPF+ZDQF=150°.

34.（1）10秒后ON與OC重合

⑵經(jīng)過20秒或80秒后，MV〃48

（3）經(jīng)過20秒時間OC與OM重合

（4"的值為三或當(dāng)

【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的計算以及方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)該認真審題

并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動速度即可得；

（2）求出乙（ON=60。，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度口J得時也"；

（3）設(shè)N4ON=3，則//。。=30。+6，由題意列出方程，解方程即可；

（4）分四種情況討論：OM平分/8O。時（都在48上方），OC平分/飲明,。用平分/8OC

時（力8上方、下方各一個角），OB平分4COM，根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系列出方程，解方程即

可.

【詳解】（1）解：???30+3=10,

???10秒后ON與OC重合：

（2）解:分兩種情況：

在48上方時，如圖2.1,

?:〃AR,

.?.N8O.”=NM=30。，

?:/AON+NBOM=9Q0,

:./AON=60°,

??"=60+3=20,

???經(jīng)過2()秒后，MV〃48：

答案第18頁，共25頁

MN在48下方時，如圖2.2,

r

圖2.2

?.?MN〃48,/同=30。，

："BON=NN=60。,

.?.//ON=60。+180。=240°,

=240+3=80,

經(jīng)過20秒或80秒f后，MN||48；

(3)解：如圖3所示：

圖3

貝lj/AON+NBOM=90°,NBOC=NBOM,

???三角板繞點。以每秒3。的速度，射線OC也繞。點以每秒6。的速度旋轉(zhuǎn),

設(shè)N/1ON=31,則//OC=30。+61,

???OC與OM重合，

則N4OC+N8OC=180。，

可得：（30。+6/）+（90。-3/）=180。，

解得:f=20秒;

即經(jīng)過20秒時間OC與O.V/重合；

（4）解：分三種情況：

①OW平分/8。。時，此時OCOM在48上方，如圖4所示：

答案第19頁，共25頁

C

N

\/ZBOM=90°-3z,ZBOC=180°-30°-6r=150°-6r,

AOB

圖4

.-.1500-6/=2(90-3/),無解；

②OC平分乙MOB,此時OCOM在上方，如圖5所示：

N、_______

\/.4B0M=90°-37,4B0C=150°-6r,

AOB

圖5

90-3/=2(150-6/),

70

解得：秒；

③當(dāng)。8平分/COM時，如圖6,

NBOM==90。-3/,NBOC=6/—150。，

A5

圖6

.*.90-3r=6r-150,

解得：，=母；

④當(dāng)aw平分/8OC時，如圖7,

N

=6150。,

M

圖7

.■.6z-150°=2(3/-90°),無解；

答案第20頁，共25頁

.,A」70?80

故，的值.為或1.

35.(1)55°

(2)Z1+Z2=Z3,理由見解析

(3)88°

(4)/3=/2-/1或/3=/1-/2

【分析】(1)作夕交C。于〃，由平行線的性質(zhì)可知/1=/CP",N2=NDPH,結(jié)合

ZCPH+/DPH=/3,從而推出N3=/1+/2,即可得到答案；

(2)同(1)可知N1+N2=N3：

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可知N4/1C=N。氏1+N4CE,結(jié)合方位角度的定義即可得到答案：

(4)①當(dāng)點P線段"的延長線時，過P作PF〃L交A于F,可知PF〃k從而推出

Z2=ZFPZ),Nl=NFPC,結(jié)合N3=/。。一/"。即可得至ljN3=N2—N1；②當(dāng)點P在

線段的延長線上時，過戶作尸G〃/2交。于G,可知/2=NGPO,Z1=ZGPC,結(jié)合

Z3=/GPC-4GPD即可得至ljZ3=Z1-Z2.

【詳解】(1)解：如圖，作PH//L交CD于H,則N1=NC7W

Z2=NDPH

又,：NCPH+NDPH=A,Z1=22°,N2=33°

Z3=Z1+Z2=22°+33°=55°

故答案為：5