年上海師范大學第二附屬中學自主招生數(shù)學試卷1.已知直線l∥l∥l∥l，相鄰兩條平行線間的距離均為h，矩形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB＝4，BC＝6，則tanα的值等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】過點C作CE⊥l4于點E，延長EC交l1于點F，根據(jù)同角的余角相等求出∠α=∠DCF，利用兩角對應相等的兩三角形相似證明△BEC∽△CFD，再由相似三角形對應邊成比例可得BE=h，然后在Rt△BCE中利用銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解．【詳解】如圖，過點C作CE⊥l4于點E，延長EC交l1于點F，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∵∠α+∠BCE=90°，∠BCE+∠DCF=180°-90°=90°，∴∠α=∠DCF，又∵∠BEC=∠CFD=90°，∴△BEC∽△CFD，∴，即，∴BE=h，在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，第1頁/共21頁∴tanα==，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，作輔助線，構(gòu)造出相似三角形以及∠α所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．2.如圖，正方形的對角線與相交于點，的角平分線分別與、交于，兩點，若，則線段的長為（A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．作于點證，即可求解．【詳解】解：如圖，作于點，∵四邊形正方形，∴為等腰直角三角形第2頁/共21頁∵平分，為對角線交點，∵，且即化簡故選：C.3.如圖，在直角坐標系中，以坐標原點O（0，0A（0，4B（3，0）為頂點的Rt△AOB，其兩個銳角對應的外角角平分線相交于點P，且點P恰好在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為（）A.36B.48C.49D.64【答案】A【解析】【詳解】過P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E，如圖，利用勾股定理計算出AB＝5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PE＝PC＝PD（tt×t×（t﹣4+×5×t+×t×（t﹣3）第3頁/共21頁+×3×4＝t×t，求出t得到P點坐標，然后把P點坐標代入y＝中求出k的值．【解答】解：過P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E，如圖，∵A（0，4B（3，0∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的兩個銳角對應的外角角平分線相交于點P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，設(shè)P（t，tPC＝t，∵S+S+S+S＝S，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故選：A．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式．4.如圖，一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑，則它獲取食物的概率是（第4頁/共21頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題考查樹狀圖法求概率．根據(jù)題意可知，共有種等可能得結(jié)果，其中有種情況可以獲取食物，即可得獲取食物的概率．【詳解】解：由圖可知，共有條路徑，其中有條路徑可以獲取食物，根據(jù)題意可知，螞蟻選擇每條路徑的可能性相同，它獲取食物的概率是．故選：B．5.，為直徑的圓交于點的的切線交于點．若，，則的半徑是（A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，由勾股定理可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求的長，再根據(jù)勾股定理可求的長，即可求的半徑．【詳解】解：如圖，連接，，∵是切線，∴，∵是直徑，第5頁/共21頁∴，且，∴，且，∴，且，∴，在中，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關(guān)鍵．6.二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③拋物線與軸的另一個交點為；④．其中正確的結(jié)論是（A.①②B.①④C.②④D.③④【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷，然后根據(jù)自變量為時對應的函數(shù)值為負數(shù)可對②進行判斷；x軸的一個交點為得到拋物線與x軸的另一個交點為，則可對③進行判斷；最后由拋物線開口方向得到，由對稱軸位置可得，由拋物線與y軸的交點位置可得，于是可對④進行判斷．第6頁/共21頁【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴∴，∴①正確．∵時，，∴，∴∴②錯誤．∵拋物線與x軸的一個交點為，而拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∴③錯誤．∵拋物線開口向上，∴，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴，∴，∴④正確．綜上，正確的有①④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，對于二次函數(shù)程為直線，當時，拋物線開口向上，當時，拋物線開口向下；當拋物線與y軸交于y軸正半軸時，，當拋物線與y軸交于負半軸時，當對稱軸在y軸左側(cè)時，a、b同號，當對稱軸在y軸右側(cè)時，a、b異號；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面2.42______米．第7頁/共21頁【答案】####【解析】【分析】本題考查勾股定理，將圖形進行標注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根據(jù)計算求解，即可解題．【詳解】解：根據(jù)上圖，進行如下標注：由題知，，，，，，，梯子長度不變，，，，故答案為：．8.如圖1P從的頂點B勻速運動到點A2是點P的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M是曲線部分的最低點，則的面積是___________．【答案】48【解析】第8頁/共21頁【分析】先分析出點P在和上運動時的大小變化，再結(jié)合函數(shù)圖象得到相應線段長．P在上運動時，C點時，時；當P在上運動時，先減小再增大，在此過程中，時，此位置記為，有最小值為，由勾股定理可得，P點到達A點時，可得，由勾股定理可得，∴，∴故答案為：48．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的理解和應用，勾股定理的應用，把圖形和圖象結(jié)合理解得到線段長度是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長是__________.【答案】【解析】【分析】連接AM，證明BM是線段AC的垂直平分線，結(jié)合勾股定理求解.【詳解】解：如圖，連接AM，第9頁/共21頁由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，△ACM為等邊三角形，AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∠ABC＝90°，AB＝BC＝，AC＝＝CM＝，AB＝BC，CM＝AM，BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝；OM＝＝.BM＝BO＋OM＝.故答案為：.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理，要求學生應理解旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等.10.如圖，在矩形中，垂足為，點分別在上，則的最小值為___________【答案】【解析】【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′PQ⊥ADPQA′Q⊥AD時AP+PQAP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案.第10頁/共21頁【詳解】解：設(shè)BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE?DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如圖，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點為A′，連接A′D，，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等邊三角形，∵，∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=，故答案為：.AAP+PQ的最A′DA如圖，為⊙的直徑,為⊙平分于點,的長為________.第11頁/共21頁【答案】【解析】詳解】試題解析：如圖，連接BD、CD，∵AB為的直徑，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，即解得第12頁/共21頁故答案為12.如圖，已知正方形的頂點AB在CD在繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在上．若正方形的邊長和的半徑均為，則點D運動的路徑長為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心為O，連接，易證三角形是等邊三角形，確定，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：設(shè)圓心O，連接，∵，∴，三角形是等邊三角形，∴，同理：是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，點D運動的路徑長為：．故答案為：．第13頁/共21頁【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用以及弧長公式的運用，題目的綜合性較強，解題的關(guān)鍵是正確的求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．13.甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地，乙駕車從B地到A地，他們分別以不同的速度勻速行駛，已知甲先出發(fā)6（千米）與甲出發(fā)的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示，當乙到達終點A時，甲還需________分鐘到達終點B．【答案】78．【解析】【分析】根據(jù)路程與時間的關(guān)系，可得甲乙的速度，根據(jù)相遇前甲行駛的路程除以乙行駛的速度，可得乙到達A站需要的時間，根據(jù)相遇前乙行駛的路程除以甲行駛的速度，可得甲到達B站需要的時間，再根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案．【詳解】解：由縱坐標看出甲先行駛了1千米，由橫坐標看出甲行駛1千米用了6分鐘，甲的速度是1÷6=千米/分鐘，由縱坐標看出AB兩地的距離是16千米，設(shè)乙的速度是x千米/分鐘，由題意，得10x+16×=16，解得x=千米/分鐘，相遇后乙到達A站還需（16×）÷=2分鐘，相遇后甲到達B站還需（10×）÷=80分鐘，當乙到達終點A時，甲還需80-2=78分鐘到達終點B，故答案為：78【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，利用同路程與時間的關(guān)系得出甲乙的速度是解題關(guān)鍵．14.如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若，，,則線段AE長為_____．第14頁/共21頁【答案】【解析】BE=xAB=AD=CD=2xx理即可求得AE值．【詳解】解：設(shè)BE=x，∵菱形，∴AB=AD=CD=2x，∵，∴,∴BD=3x，∴OB=OD=，∴，∴x=2，∴AB=4，BE=2，∴，∴,故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理的應用，熟練掌握菱形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.與某建筑物底端相距與點同一剖面的斜坡行走米至坡頂?shù)钠露龋ɑ蚱卤龋┨帨y得該建筑物頂端的俯視角為，則建筑物的高度約為__________（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）．第15頁/共21頁【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，需要用到坡度坡角、三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)相關(guān)知識，解題可先根據(jù)斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距離，再結(jié)合三角函數(shù)求出相關(guān)線段長度，進而求出建筑物的高度．【詳解】作于點，作于點，作，如圖，設(shè)，，由勾股定理，得，解得：，不合題意，舍去，∴，，∴．∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案為：．16.層多一個圓圈，一共堆了層．將圖①倒置后與原圖①拼成圖②的形狀，這樣我們可以算出圖①中所有圓第16頁/共21頁圈的個數(shù)為．如果圖③和圖④中的圓圈都有層．(1)我們自上往下，在圖③的每個圓圈中填上一串連續(xù)的正整數(shù)，，，，，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是__________．(2)我們自上往下，在圖④的每個圓圈中填上一串連續(xù)的整數(shù)，，，，，則最底層最右邊這個圓圈中的數(shù)是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題主要考查了圖形的變化類，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題；注意連續(xù)整數(shù)相加的時候的這種簡便計算方法.（1）13層時最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是第12層的最后一個數(shù)加1；（2）首先計算圓圈的個數(shù)，從而分析出23個負數(shù)后，又有多少個正數(shù)，即可解題；1）當有13層時，圖中共有個.故最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是79.故答案為：79.（2231個067個正數(shù)，最底層最右邊這個圓圈中的數(shù)是67；故答案為：67.17.如圖1，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點落到點處，交于點．第17頁/共21頁（1）求證：是等腰三角形；（2）如圖，過點作，交于點，連接交于點．判斷四邊形的形狀，并說明理由；若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）詳見解析；．【解析】）根據(jù)折疊的性質(zhì)得，又四邊形是矩形，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，最后等腰三角形的判定即可求證；（）由四邊形據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可；由四邊形是矩形，得，，通過勾股定理求，從而，設(shè)，則，由勾股定理得解得，從而求解；本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應用．【小問1詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)得，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；【小問2詳解】四邊形是菱形，理由如下：∵四邊形是矩形，∴，第18頁/共21頁∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；∵四邊形