年湖北省重點高中八校聯(lián)考自主招生優(yōu)錄數(shù)學試卷（二）一、選擇題（每小題3分，共分）1.若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.且D.且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得a≠0且△=22-4a＞0，解得a＜1且a≠0．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．2.已知直線與拋物線）A.0個B.1個C.2個D.1個或2個【答案】C【解析】【分析】先由直線過一、二、三象限，求出，通過判斷方程實數(shù)解的個數(shù)可判斷直線與拋物線交點的個數(shù)．【詳解】解：∵直線過一、二、三象限，∴．由題意得：，即，∵△，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)解．第1頁/共29頁∴直線與拋物線的交點個數(shù)為2個．故選：C．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質及利用一元二次方程根的判別式求解是解題的關鍵．3.如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：步驟1：以點為圓心，小于的長為半徑作弧分別交、于點、．步驟2：分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點．步驟3：作射線交于點．則的長為（）A.6B.C.D.【答案】B【解析】【分析】過點F作FG⊥AB于點G，根據(jù)作圖信息及角平分線的性質可推出FC＝FG，再利用等面積法求出，最后由勾股定理即可求得結果．【詳解】解：過點F作FG⊥AB于點G，由尺規(guī)作圖可知，AF平分∠BAC，∵，第2頁/共29頁∴FC⊥AC，∴FC＝FG，在中，，，，∴，∵，∴，即，解得，在中，由勾股定理得；故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的作法與性質、勾股定理，熟練掌握角平分線的作法與性質及利用勾股定理解直角三角形是解題的關鍵．4.已知拋物線與軸有兩個交點，與軸的一個交點是，則的值是（）A.5B.C.5或1D.或【答案】C【解析】【分析】將往右平移m個單位后得到，由此即可求解．【詳解】解：比較拋物線與拋物線，發(fā)現(xiàn)：將前一個拋物線往右平移m個單位后可以得到后一個拋物線的解析式，∵與軸的一個交點是，與軸有兩個交點，，∴當前一個拋物線往右平移1個單位時，后一個拋物線與軸的一個交點是，故m=1，當前一個拋物線往右平移5個單位時，后一個拋物線與軸的一個交點是，故m=5，故選：C．第3頁/共29頁【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移規(guī)律，左右平移時y值不變，x增大或減小，由此即可求解．5.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ONOM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BDAC，又四邊形MOND的面積是1，正方形ABCD的面積是4，故選：C．第4頁/共29頁【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．6.如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山腳點C處測得通信基站頂端M的仰角為60°，測得點C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點F處測得點F距離通信基站ND的水平距離FE為50m，測得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，點C，B，E，F(xiàn)在同一水平線上，則兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差為（）A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7m【答案】C【解析】【分析】分別解直角三角形和，求出NE和MB的長度，作差即可．【詳解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，∴頂端M與頂端N的高度差為，故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，掌握解直角三角形是解題的關鍵．7.若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程第5頁/共29頁的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A.5B.8C.12D.15【答案】B【解析】【分析】先計算不等式組解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到解得，再解分式方程得到是2a的值，最后求和．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，不等式組的解集為：解分式方程得整理得，則分式方程的解是正整數(shù)，，且是2的倍數(shù)，，且是2的倍數(shù)，第6頁/共29頁整數(shù)a的值為-1,1,3,5,故選：．【點睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．8.ABCD的頂點AB在x的圖象經(jīng)過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點E為AC的中點，的面積為1，則k的值為（）A.B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】設D點坐標為，表示出E、F、B點坐標，求出的面積，列方程即可求解．【詳解】解：設D點坐標為，∵四邊形ABCD是矩形，則A點坐標為，C點縱坐標為，∵點E為AC的中點，則E點縱坐標為，∵點E在反比例函數(shù)圖象上，代入解析式得，解得，，∴E點坐標為，同理可得C點坐標為，∵點F在反比例函數(shù)圖象上，同理可得F點坐標為，第7頁/共29頁∵點E為AC的中點，的面積為1，∴，即，可得，，解得，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質和矩形的性質，解題關鍵是設出點的坐標，依據(jù)面積列出方程．二、填空題（每小題3分，共分）9.不透明袋子中裝有黑球1個、白球2個，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，將袋子中的球搖勻，再隨機摸出一個球，記下顏色，前后兩次摸出的球都是白球的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，通過列表法或畫樹狀圖的方法進行求解即可．【詳解】列表如圖所示：黑白白黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由上表可知，所有等可能的情況共有9種，其中兩次摸出的球都是白球的情況共有４種，∴兩次摸出的球都是白球的概率，故答案為：．【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖的方法求概率，熟練掌握這兩種基本方法是解題關鍵．10.ABCD，ABCD為圓心，的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________）第8頁/共29頁【答案】【解析】AB得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴；∴菱形ABCD的面積=∵四個扇形的半徑相等，都為，且四邊形的內(nèi)角和為360°，∴四個扇形的面積=，∴陰影部分的面積=；故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、菱形的性質，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．如圖，中，點D為邊BC的中點，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點E，與AD交于點O．若，，則AD的長為__________．第9頁/共29頁【答案】3【解析】性質可得推出是得出AO的長度，即可求出AD的長度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點，∵點D為邊BC的中點，O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了翻折的性質，三角形的中位線的判定和性質，以及平行線分線段成比例的性質，掌握三角形的中位線的判定和性質，以及平行線分線段成比例的性質是解題的關鍵．12.了途徑．某商家將藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個，搭配為A，B，C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，1個迷你音箱；B盒中藍牙耳機與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍牙耳機與迷你音箱的數(shù)量之比為32C盒中有132個迷你A盒的成本為145B盒的成本為245C盒的成本為__________元．第10頁/共29頁【答案】155【解析】【分析】設B盒中藍牙耳機3a個，迷你音箱2a個，列方程求出B盒中各種設備的數(shù)量，再設藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列出方程組，再整體求出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設B盒中藍牙耳機3a個，迷你音箱2a個，優(yōu)盤的數(shù)量為3a+2a=5a個，則，解得，a=1；設藍牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本分別為x、y、z元，根據(jù)題意列方程組得，②-①得，，③×3-①得，，故答案為：155．【點睛】本題考查了三元一次方程組和一元一次方程的應用，解題關鍵是找準題目中的等量關系列出方程13.如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為__________．【答案】【解析】DE為DE求出AF的長度，即可求解．【詳解】解：∵將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合，∴DE垂直平分AF，，，，第11頁/共29頁∵DE∥BC，∴，，，∴，∴，∴，即D為AB的中點，∴DE為的中位線，∴，∵AF＝EF，∴是等邊三角形，在中，，，∴，∴，∴四邊形ADFE的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質等內(nèi)容，掌握上述基本性質定理是解題的關鍵．14.如圖，、分別是正方形的邊、、于點，連接，若正方形的邊長為2．則線段的最小值為______________．第12頁/共29頁【答案】【解析】【分析】此題考查勾股定理，正方形的性質，全等三角形的判定及性質，圓周角定理，熟記各定義并應用解決問題是解題的關鍵．先證明，推出，確定當A、G、H三點共線時，最短，運用勾股定理列式計算，由此求出答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，取的中點H，則即G在以為直徑的圓上當A、G、H三點共線時，最短，∴故答案為：．15.如圖，在中，點D，E分別是的中點，與相交于點F，若，則的長是______．第13頁/共29頁【答案】9【解析】DE=ABDE∥ABDEF∽△ABFEF，可得BE．【詳解】解：∵點D，E分別為BC和AC中點，∴DE=AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案為：9．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是根據(jù)中位線的性質證明△DEF∽△ABF．16.已知的三個頂點都是同一個正方形的頂點，的平分線與線段交于點D的一條邊長為6，則點D到直線的距離為__________．【答案】3或或或【解析】【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進行解答．【詳解】解：∵△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點，第14頁/共29頁如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點，過點D作DF⊥AB，垂足為F，當AB=BC=6，則DF=BC=3；當AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過點D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS∴AB=BF，當AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當BC=6，則AB=AC==，第15頁/共29頁同理可得：，綜上：點D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點睛】本題考查了正方形的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，知識點較多，解題時要結合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．三、解答題（共分）17.如果一個自然數(shù)的個位數(shù)字不為與都是兩位數(shù)，與的十位數(shù)字分解成例如，和的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，是“合和數(shù)”．又如，和的十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字之和不等于，不是“合和數(shù)”．（1）判斷，是否是“合和數(shù)”？并說明理由；（2）把一個四位“合和數(shù)”進行“合分解”，即．的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為；的各個數(shù)位數(shù)字之和與的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為，當能被整除時，求出所有滿足條件的．【答案】（1）不是“合和數(shù)”，是“合和數(shù)”，理由見解析（2）滿足條件的有：，，，【解析】【分析】本題考查的是新定義題，主要考查了列代數(shù)式，以及數(shù)的分解，正確地讀懂題目信息是前提，解題的關鍵是用字母，表示出，．第16頁/共29頁（1）根據(jù)“合和數(shù)”的定義直接判定即可；（2）設的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則，，得出，能被整除時，設值為，對或進行討論．【小問1詳解】解：，和十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字，不是“合和數(shù)”．，和十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字，是“合和數(shù)”．小問2詳解】解：設的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，的個位數(shù)字不為，且是一個四位“和合數(shù)”，，，則，，，．（，，是整數(shù)，或，當時，或，當時，或，當時，或，或，第17頁/共29頁當時，或，當時，或，當時，或，或．綜上，滿足條件的有：，，，．18.已知拋物線經(jīng)過點y隨xy隨x的增大而減?。Or是拋物線與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，．（1）求b、c的值：（2）求證：；（3）以下結論：，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．【答案】（1）b=-16，c=-223）m＞1，證明見解析【解析】1）根據(jù)拋物線經(jīng)過（0，-2）得到c值，再根據(jù)增減性得到對稱軸，可得b值；（2）根據(jù)r是拋物線與x軸的交點得到r是方程的解，代入得到，計算出，可得，從而可得；（3）由變形可得，再證明r＜0，根據(jù)不等式的性質可得結果．1）∵拋物線經(jīng)過點（0，-2∴，即c=-2，∵當x＜-4時，y隨x的增大而增大，當x＞-4時，y隨x的增大而減小，∴直線x=-4是拋物線的對稱軸，第18頁/共29頁∴，解得：b=-16，∴b=-16，c=-2；（2）證明：∵b=-16，c=-2，∴，∵r是拋物線與x軸交點的橫坐標，∴r是方程的解，即，則，∴，∴==∵，∴，∴；（3）m＞1正確，證明：由（2）可知：，∴，即，∴，在中，令，解得：或，∴r＜0，∴，，∴，∵，∴，即m＞1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，還涉及的二次函數(shù)的圖像和性質，二次函數(shù)與x軸的交點，解一元二第19頁/共29頁次方程，解題的關鍵是根據(jù)r是拋物線與x軸的交點得到關于r的方程，進行等式的變形．19.如圖，在一座山的前方有一棟住宅，已知山高m，樓高m，某天上午9時太陽光線從山頂點處照射到住宅的點外．在點處測得點的俯角，上午10時太陽光線從山頂點處照射到住宅點處測得點的俯角3m，m，問：以當天測量數(shù)據(jù)為依據(jù)，不考慮季節(jié)天氣變化，至少要買該住宅的第幾層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻？（）【答案】至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻【解析】【分析】設FD=x，則ME=80-x，在△EAM中求出AM=ME=80-x，在△AMF中求出，再由建立方程求出x的值進而求出FD，最后再根據(jù)每層樓高度為3米即可求出層數(shù)．【詳解】解：設FD=x，則ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，∵∠EAM=45°，MA⊥CM，△EAM為等腰直角三角形，其三邊之比為，AM=ME=80-x，∵∠FAM=60°，MA⊥MF，∴△AMF為30°，60°，90°直角三角形，第20頁/共29頁∴，∴，又，∴，解得米，∵每層樓的高度為3米，∴，答：至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握俯角的定義，三角函數(shù)的定義等是解決本題的關鍵．20.ABC內(nèi)接于⊙OAB是⊙OCAB的平分線交BC于點DO于點EEB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑和AD的長．【答案】（1）見解析（2）15，【解析】【分析】(1)連接OE，根據(jù)AE平分∠CAB，OA=OE，∠BEF＝∠CAE，證明∠BEF+∠OEB=90°即可．(2)證明△FEB∽△FAE，列比例式計算AB，計算AE：BE，利用勾股定理確定AE，BE的長；證明△EBD∽△EAB，計算DE的長，利用AD=AE-DE計算即可．【小問1詳解】連接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠CAE，∵OA=OE，第21頁/共29頁∴∠OAE＝∠OEA，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠CAE=∠OAE＝∠OEA，∵AB是圓的直徑，∴∠OEA+∠OEB=90°，∴∠BEF+∠OEB=90°，∴EO⊥EF，∴EF是⊙O的切線．【小問2詳解】∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠CAE，∵OA=OE，∴∠EAF＝∠OEA，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠EAF，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△FAE，∴，∵BF＝10，EF＝20，∴，解得AB=30，∴圓的半徑為15；∵△FEB∽△FAE，∴，第22頁/共29頁設BE=x，則AE=2x，∵AB是圓的直徑，∴∠AEB=90°，∴，解得x=，則AE=；∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠CAE，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠EBD＝∠EAB，∵∠DEB＝∠BEA，∴△EBD∽△EAB，∴，∴，∴=，∴AD=AE-DE=-=．【點睛】本題考查了圓的切線，三角形相似的判定和性質，勾股定理，圓的性質，熟練掌握圓的切線的判定，靈活運用三角形相似的判定定理是解題的關鍵．21.中，，，是從點出發(fā)以每秒的速度沿為邊作等邊（點在點運動的時間為秒，與重疊部分的面積為．（1）當點落在內(nèi)部時，求此時與重疊部分的面積（用含的代數(shù)式表示，不要第23頁/共29頁求寫（2）當點落在上時，求此時與重疊部分的面積的值；（3）當點落在外部時，求此時與重疊部分的面積（用含【答案】（1）（2）（3）【解析】）過點作于點，求得的長，再利用三角形面積公式即可求解；（）過點作于點，證明，利用相似三角形的性質求解即可；（分別交于，形的性質求得，根據(jù)解答即可求解．【小問1詳解】解：如圖，過點作于點，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，即；第24頁/共29頁【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，則，由（）知，，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∴；【小問3詳解】解：設分別交于，當點運動到點時，，解得，∵點落在外部，∴，∴，過點作于點，過點作于點，過點作于點，如圖，第25頁/共29頁同理（）得，，設，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，即．【點睛】本題考查了等邊三角形性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．22.經(jīng)過（01（41AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點．過點P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點E．第26頁/共29頁（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當△PDE周長取得最大值時，求點P的坐標和△PDE周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點PM是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點ABMN為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的