2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——圖模型在復(fù)雜數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.在圖模型中，節(jié)點通常代表？A.數(shù)據(jù)觀測值B.隨機(jī)變量或?qū)嶓wC.概率分布D.模型參數(shù)2.連接兩個節(jié)點的邊表示？A.變量間的函數(shù)關(guān)系B.變量間的依賴或關(guān)聯(lián)C.變量的取值范圍D.模型的計算復(fù)雜度3.以下哪個不是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的基本性質(zhì)？A.因果性表示B.條件獨立性C.概率守恒D.節(jié)點可交換性4.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的目標(biāo)通常是？A.估計節(jié)點間的相關(guān)系數(shù)B.確定變量間的因果關(guān)系C.學(xué)習(xí)節(jié)點的概率分布D.最小化網(wǎng)絡(luò)的邊緣似然5.在馬爾可夫隨機(jī)場中，若節(jié)點X在給定其鄰居Y的條件下與節(jié)點Z獨立，則稱X與Z滿足？A.貝葉斯條件獨立性B.馬爾可夫獨立性C.連通性D.拓?fù)渑判?.以下哪個算法常用于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)學(xué)習(xí)？A.Dijkstra算法B.K-means聚類C.最大似然估計D.拓?fù)渑判?.以下哪個不是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)常見的推理任務(wù)？A.概率預(yù)測B.節(jié)點預(yù)測C.參數(shù)估計D.查找最短路徑8.因子圖是馬爾可夫隨機(jī)場的一種等價表示形式，其基本組成單元是？A.節(jié)點和邊B.節(jié)點和因子C.邊和權(quán)重D.節(jié)點和權(quán)重9.社交網(wǎng)絡(luò)分析中，度中心性度量的是？A.節(jié)點的平均路徑長度B.節(jié)點與其他節(jié)點的連接數(shù)量C.節(jié)點所在社群的大小D.網(wǎng)絡(luò)的連通性10.選擇圖模型進(jìn)行分析時，首要考慮的因素通常是？A.模型的計算復(fù)雜度B.模型的美觀程度C.研究者的個人喜好D.數(shù)據(jù)的存儲格式二、填空題（每題2分，共20分）1.在有向無環(huán)圖中，從一個節(jié)點到另一個節(jié)點存在一條路徑，則稱這兩個節(jié)點是________的。2.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，表示節(jié)點Xi在給定其父節(jié)點Parent(Xi)條件下的概率分布的表稱為________。3.馬爾可夫隨機(jī)場的結(jié)構(gòu)可以用________來表示，它包含了變量間的約束關(guān)系。4.信念傳播算法（BeliefPropagation）也稱為________算法，常用于處理馬爾可夫隨機(jī)場的推理問題。5.圖模型中，衡量網(wǎng)絡(luò)緊密程度或社群內(nèi)部連接強(qiáng)度的指標(biāo)是________。6.在圖模型應(yīng)用中，將實際問題轉(zhuǎn)化為節(jié)點、邊和參數(shù)的過程稱為________。7.對于一個貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，若已知所有節(jié)點的邊緣分布，則可以通過________來推斷未觀測節(jié)點的邊緣分布。8.若一個圖模型中所有變量都是二元的（取值為0或1），則稱其為________模型。9.社交網(wǎng)絡(luò)分析中的“社群檢測”問題，旨在識別網(wǎng)絡(luò)中________的節(jié)點群。10.圖模型能夠有效處理數(shù)據(jù)中的________關(guān)系，這是其區(qū)別于傳統(tǒng)統(tǒng)計方法的重要特點。三、簡答題（每題5分，共25分）1.簡述貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和馬爾可夫隨機(jī)場的主要區(qū)別。2.解釋什么是圖模型中的條件獨立性，并舉例說明。3.描述貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的常用方法之一（如基于依賴關(guān)系的方法）的基本思想。4.什么是圖模型的推理？列舉至少三種貝葉斯網(wǎng)絡(luò)常見的推理任務(wù)。5.簡述圖模型在分析復(fù)雜數(shù)據(jù)（如社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)、生物網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)）時相比傳統(tǒng)統(tǒng)計方法的優(yōu)勢。四、計算題（每題10分，共30分）1.假設(shè)有一個簡單的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下：A->B->C，其中A是二元變量（0或1），B和C是三元變量（0,1,2）。已知條件概率表如下：P(A=1)=0.7P(B=1|A=0)=0.3,P(B=1|A=1)=0.6P(C=1|B=0)=0.4,P(C=1|B=1)=0.5,P(C=1|B=2)=0.7計算在A=1的條件下，B=1且C=1同時發(fā)生的概率P(B=1,C=1|A=1)。2.考慮一個馬爾可夫隨機(jī)場的因子圖表示，包含變量X1,X2,X3，因子包括f1(X1,X2)和f2(X2,X3)。因子f1(X1,X2)的形式為α1*P(X1,X2)，因子f2(X2,X3)的形式為α2*P(X2,X3)。請寫出變量X1,X2,X3的聯(lián)合概率分布P(X1,X2,X3)的表達(dá)式，并說明α1和α2的作用。3.假設(shè)你正在分析一個包含5個節(jié)點的無向圖，節(jié)點代表不同的商品，邊代表商品之間的關(guān)聯(lián)購買情況。你使用圖的聚類系數(shù)來衡量每個商品（節(jié)點）的關(guān)聯(lián)程度。已知節(jié)點1的度數(shù)為3，與其直接相連的三個鄰居的聚類系數(shù)分別為0.8,0.6,0.7。請估算節(jié)點1的聚類系數(shù)（可以使用鄰域聚類系數(shù)的定義）。五、綜合應(yīng)用題（15分）某公司希望分析其用戶的購買行為，收集了用戶對A、B、C三種產(chǎn)品的購買數(shù)據(jù)，并假設(shè)這三種產(chǎn)品的購買決策可能受到用戶收入水平（高/低）和產(chǎn)品類型偏好（科技/生活）的影響。研究者初步構(gòu)建了一個貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)為：收入->偏好->A,收入->偏好->B,收入->偏好->C。其中，收入和偏好是二元變量，A、B、C是三元變量（代表購買數(shù)量0,1,2）。請：1.說明該貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的合理性。2.描述如何利用收集到的數(shù)據(jù)來學(xué)習(xí)該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。3.假設(shè)學(xué)習(xí)完成后，發(fā)現(xiàn)收入對產(chǎn)品A的購買有顯著影響，請解釋這可能意味著什么，并討論如何利用這一發(fā)現(xiàn)為公司制定營銷策略提供參考。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.D4.B5.B6.C7.D8.B9.B10.A二、填空題1.可達(dá)2.條件概率表(CPD)3.因子圖4.Sum-Product5.聚類系數(shù)6.模型構(gòu)建7.信念傳播(或Sum-Product算法)8.二元9.密集或同質(zhì)10.關(guān)聯(lián)或依賴三、簡答題1.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)調(diào)節(jié)點間的有向因果關(guān)系，結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)目標(biāo)是發(fā)現(xiàn)因果依賴；馬爾可夫隨機(jī)場強(qiáng)調(diào)節(jié)點間的馬爾可夫?qū)傩裕ň植恳蕾嚕Y(jié)構(gòu)可以是任意的無向圖，學(xué)習(xí)目標(biāo)通常是發(fā)現(xiàn)全局約束。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的推理有封閉域假設(shè)，而馬爾可夫隨機(jī)場的推理通常更復(fù)雜。2.在圖模型中，如果變量X的條件概率分布P(X|Y,Z)等于P(X|Y)（給定Y，Z的信息對X的條件概率分布沒有影響），則稱X與Z在給定Y的條件下獨立。例如，在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)A->B->C中，B與C在給定A的條件下獨立(P(B,C|A)=P(B|A)P(C|A,B))。3.基于依賴關(guān)系的方法通常從數(shù)據(jù)出發(fā)，計算變量間的相關(guān)或依賴強(qiáng)度。例如，使用卡方檢驗、互信息、置換檢驗等統(tǒng)計檢驗方法來判斷變量對之間是否存在顯著的依賴關(guān)系。然后根據(jù)這些依賴關(guān)系，逐步構(gòu)建有向無環(huán)圖，確保滿足馬爾可夫性質(zhì)（d-separation）。常用的算法有HillClimbing、貪婪搜索等。4.圖模型的推理是指利用已知的部分變量信息推斷未知的變量信息的過程。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)常見的推理任務(wù)包括：①似然推理（已知證據(jù)變量，推斷查詢變量的邊緣分布）；②假設(shè)檢驗（驗證特定變量間關(guān)系的假設(shè)）；③參數(shù)估計（根據(jù)數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)）；④最小割/最大流問題（在特定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中尋找最優(yōu)路徑或分配）。（注：此處列舉多于三種，但核心是似然推理和參數(shù)估計）5.圖模型的優(yōu)勢在于能夠顯式地表示變量間的復(fù)雜關(guān)系（如依賴、因果、關(guān)聯(lián)），適合處理高維、稀疏、具有層次結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)方法通常假設(shè)變量獨立或依賴關(guān)系簡單，難以捕捉數(shù)據(jù)中的復(fù)雜模式和相互作用。四、計算題1.P(B=1,C=1|A=1)=Σ_x3P(B=1,C=1,x3|A=1)/P(B=1,C=1|A=1)=Σ_x3P(B=1|A=1,x3)*P(C=1|B=1,x3)*P(x3|A=1)/P(B=1,C=1|A=1)由于P(x3|A=1)是邊緣分布，需要進(jìn)一步分解或假設(shè)。更簡單的方法是利用條件獨立性。給定A=1，B和C的條件分布僅依賴于B：P(B=1,C=1|A=1)=P(B=1|A=1)*P(C=1|B=1)=0.6*P(C=1|B=1)由于C是三元變量，P(C=1|B=1)是P(C=1|B=1,C=0)P(C=0|B=1)+P(C=1|B=1,C=1)P(C=1|B=1)。通常假設(shè)在給定B的情況下，C的值是獨立的或均勻的，即P(C=k|B=b)是固定的。如果題目隱含C的分布是均勻的（未明確說明），可以假設(shè)P(C=1|B=1)=P(C=0|B=1)=P(C=2|B=1)=1/3。則P(B=1,C=1|A=1)=0.6*(1/3)=0.2。（注：此題計算基于對C分布的假設(shè)，若題目有不同設(shè)定，結(jié)果可能不同。）2.根據(jù)因子圖的定義和聯(lián)合概率的乘法規(guī)則，P(X1,X2,X3)是所有因子乘積的歸一化結(jié)果。P(X1,X2,X3)∝α1*P(X1,X2)*α2*P(X2,X3)=α1*α2*P(X1,X2,X3)歸一化常數(shù)N=Σ_x1Σ_x2Σ_x3P(X1,X2,X3)因此，P(X1,X2,X3)=(α1*α2/N)*P(X1,X2)*P(X2,X3)α1和α2是歸一化常數(shù)，用于確保聯(lián)合概率分布的總和為1。它們通過對P(X1,X2)和P(X2,X3)進(jìn)行積分（對于連續(xù)變量）或求和（對于離散變量）并取倒數(shù)得到，目的是消除因子函數(shù)中的冗余信息，使得最終的聯(lián)合分布滿足概率分布的性質(zhì)。3.節(jié)點i的鄰域聚類系數(shù)（也稱為局部聚類系數(shù)）衡量的是節(jié)點i與其鄰居節(jié)點之間形成緊密連接的程度。計算公式為：C_i=(實際存在的連接數(shù)/可能存在的最大連接數(shù))。對于節(jié)點1，度數(shù)為3，與其直接相連的鄰居有3個。這3個鄰居之間可能存在的連接數(shù)是它們兩兩之間的連線數(shù)，即組合數(shù)C(3,2)=3。題目給出了這3個鄰居的聚類系數(shù)，分別是0.8,0.6,0.7。這意味著：-第一個鄰居與其他兩個鄰居的連接數(shù)是0.8*3=2.4（取整為2或解釋為平均關(guān)聯(lián)度）-第二個鄰居與其他兩個鄰居的連接數(shù)是0.6*3=1.8（取整為1或解釋為平均關(guān)聯(lián)度）-第三個鄰居與其他兩個鄰居的連接數(shù)是0.7*3=2.1（取整為2或解釋為平均關(guān)聯(lián)度）（注：此處題目描述稍顯模糊，若按字面理解為鄰居間實際存在的邊數(shù)，則與聚類系數(shù)定義矛盾。更合理的解釋是鄰居的平均聚類系數(shù)或鄰居間的平均連接數(shù)。若按聚類系數(shù)定義，即鄰居間實際邊數(shù)除以最大邊數(shù)3，則需題目明確給出實際邊數(shù)。此處按計算公式C_i=(鄰居間實際邊數(shù)/3)來估算。若假設(shè)題目數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，則計算如下：假設(shè)鄰居間實際邊數(shù)為a+b+c，則C_i=(a+b+c)/3。若a=2,b=1,c=2，則C_i=(2+1+2)/3=5/3=1.67。若題目意圖是求平均值，則平均聚類系數(shù)=(0.8+0.6+0.7)/3=0.7。根據(jù)題目要求估算單個節(jié)點的聚類系數(shù)，應(yīng)使用公式C_i=(鄰居間實際邊數(shù)/3)。若題目未給實際邊數(shù)，無法精確計算。此處假設(shè)題目意在提供鄰居間的平均連接信息，即C_i≈0.7。）假設(shè)題目意在考察公式應(yīng)用，且鄰居間實際邊數(shù)分別為2,1,2（使平均連接接近給定的0.7），則：C_1=(2+1+2)/3=5/3≈1.67。（若題目嚴(yán)格按字面，但未給出實際邊數(shù)，則無法作答。此處按公式C_i=(鄰居實際邊數(shù)/3)進(jìn)行估算，假設(shè)平均值為0.7，則單個節(jié)點聚類系數(shù)約為0.7。）五、綜合應(yīng)用題1.該結(jié)構(gòu)合理，因為產(chǎn)品購買決策通常會受到更宏觀因素（如收入）和個體傾向（如偏好）的影響。收入水平可能影響用戶購買力，進(jìn)而影響購買多種產(chǎn)品的可能性；用戶偏好則可能引導(dǎo)用戶傾向于購買特定類型的產(chǎn)品，從而影響對具體產(chǎn)品的購買決策。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的有向邊可以表示這種潛在的影響關(guān)系。2.學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和參數(shù)通常分兩步：a.結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)：使用收集到的用戶購買數(shù)據(jù)，應(yīng)用結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)算法（如基于依賴關(guān)系的方法、基于分?jǐn)?shù)的方法如BIC、AIC，或約束基于搜索算法）來發(fā)現(xiàn)變量間最可能的依賴關(guān)系，構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。例如，可以使用互信息或卡方檢驗來衡量變量對間的依賴強(qiáng)度，并構(gòu)建滿足d-separation的圖。b.參數(shù)學(xué)習(xí)：一旦網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定，使用同一批數(shù)據(jù)來估計每個節(jié)點的條件概率表（CPD）。對于離散變量，通常使用最大似然估計（MLE），即計算在給定父節(jié)點狀態(tài)下，每個父節(jié)點狀態(tài)組合下子節(jié)點狀態(tài)出現(xiàn)的頻率作為其概率估計值。3.收入對產(chǎn)品A購買有顯著影響，意味著收入水平與購買產(chǎn)品A的行為之間存在統(tǒng)計