2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計(jì)模型在氣象學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.在氣象學(xué)中，若要研究某地月平均氣溫與年降水量之間的關(guān)系，最適宜采用的統(tǒng)計(jì)圖形是（）。A.散點(diǎn)圖B.條形圖C.餅圖D.直方圖2.對(duì)于氣象觀測(cè)數(shù)據(jù)，若存在系統(tǒng)性的偏差，主要影響參數(shù)估計(jì)的（）。A.無偏性B.有效性C.一致性D.線性性3.在建立氣象要素（如溫度）對(duì)多個(gè)影響因素（如日照、濕度、風(fēng)速）的線性回歸模型時(shí)，若自變量之間存在高度相關(guān)性，則可能出現(xiàn)的嚴(yán)重問題是（）。A.模型預(yù)測(cè)偏差增大B.模型參數(shù)估計(jì)方差增大C.模型無法通過顯著性檢驗(yàn)D.模型擬合優(yōu)度R2必然很低4.時(shí)間序列模型ARIMA(p,d,q)中的參數(shù)d表示（）。A.模型中的滯后階數(shù)B.對(duì)序列進(jìn)行差分的次數(shù)C.模型中移動(dòng)平均項(xiàng)的階數(shù)D.序列的均值參數(shù)5.在使用統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行氣象預(yù)測(cè)時(shí)，若模型的殘差呈現(xiàn)系統(tǒng)模式而非隨機(jī)分布，這表明（）。A.模型擬合良好B.模型可能遺漏了重要信息或違反了基本假設(shè)C.預(yù)測(cè)結(jié)果必然不準(zhǔn)確D.模型需要增加更多的自變量二、填空題（每空2分，共10分）6.統(tǒng)計(jì)推斷的目的是利用樣本信息來推斷______的屬性，統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常利用______和______兩種方法來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。7.在進(jìn)行方差分析（ANOVA）時(shí)，為了檢驗(yàn)不同組別均值是否存在顯著差異，通常需要構(gòu)造______分布，并計(jì)算______和______。8.對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列，其統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）不隨時(shí)間變化，這是許多時(shí)間序列模型（如ARIMA）能夠應(yīng)用的關(guān)鍵假設(shè)條件。9.在多元回歸分析中，衡量模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合程度的統(tǒng)計(jì)量是______，而衡量模型中各變量對(duì)被解釋變量貢獻(xiàn)大小的是______。10.考慮到氣象數(shù)據(jù)常具有空間相關(guān)性，在進(jìn)行區(qū)域氣象分析時(shí)，傳統(tǒng)的基于獨(dú)立觀測(cè)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)方法可能失效，需要采用能夠處理______的模型或空間統(tǒng)計(jì)方法。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共15分）11.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)中“無偏性”和“有效性”的含義，并說明它們?cè)跉庀髷?shù)據(jù)建模中的重要性。12.解釋什么是多重共線性，并簡(jiǎn)述其在氣象回歸分析中可能帶來的問題。13.為什么在進(jìn)行氣象時(shí)間序列分析之前，通常需要對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)？如果不滿足平穩(wěn)性條件，可以采用哪些常用的方法進(jìn)行處理？四、計(jì)算題（每題8分，共24分）14.某氣象站觀測(cè)到某年4月連續(xù)10天的日最高氣溫（單位：℃）數(shù)據(jù)如下：28,29,30,27,31,29,30,32,28,31。（1）計(jì)算這10天日最高氣溫的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（2）假設(shè)已知該地4月日最高氣溫的總體均值μ=30℃。檢驗(yàn)這10天的日最高氣溫是否顯著高于常年平均水平（α=0.05），請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的基本步驟（包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、得出結(jié)論）。15.假設(shè)研究者建立了如下氣象線性回歸模型來描述某地年降水量（Y，單位：mm）與年日照時(shí)數(shù)（X1，單位：小時(shí)）和年平均氣溫（X2，單位：℃）的關(guān)系：Y=β0+β1X1+β2X2+ε。根據(jù)某地區(qū)的數(shù)據(jù)，得到模型擬合結(jié)果的部分信息如下：R2=0.75，調(diào)整后R2=0.73，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=45.2（p<0.01），β1的估計(jì)值為2.5（標(biāo)準(zhǔn)誤為0.8），β2的估計(jì)值為15（標(biāo)準(zhǔn)誤為5）。（1）解釋R2和調(diào)整后R2的區(qū)別，并說明它們的值在這里的含義。（2）根據(jù)F檢驗(yàn)的結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？（3）檢驗(yàn)變量X1（年日照時(shí)數(shù)）的系數(shù)是否顯著異于0（α=0.05），請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的基本步驟。16.某氣象學(xué)家收集了某地過去20年的年降雨量數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的波動(dòng)性。通過分析判斷，該序列可能適合ARIMA(1,1,1)模型。假設(shè)已根據(jù)數(shù)據(jù)擬合得到該模型的參數(shù)θ?=-0.6，φ?=0.5，α=0.1，β=0.2（其中α和β分別是AR和MA項(xiàng)的方差），且模型殘差序列是白噪聲。請(qǐng)寫出該ARIMA(1,1,1)模型的具體形式，并解釋模型中各參數(shù)的含義。五、綜合應(yīng)用題（共16分）17.某研究團(tuán)隊(duì)希望利用統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測(cè)未來一周某地每日的最高氣溫。他們收集了該地過去五年同期（相同日期）的歷史每日最高氣溫?cái)?shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，并記錄了每天的相關(guān)氣象因素，如日出時(shí)間、日落時(shí)間、平均風(fēng)速、平均濕度等。請(qǐng)簡(jiǎn)要描述從數(shù)據(jù)準(zhǔn)備到模型建立與評(píng)估，這一預(yù)測(cè)過程可能涉及的統(tǒng)計(jì)步驟和方法，并說明選擇模型時(shí)需要考慮哪些因素。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.B4.B5.B二、填空題6.總體；點(diǎn)估計(jì)；區(qū)間估計(jì)7.F；組內(nèi)平方和；組間平方和8.時(shí)間序列分析9.決定系數(shù)（R2）；偏回歸系數(shù)10.空間相關(guān)性三、簡(jiǎn)答題11.無偏性指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，保證了估計(jì)的平均準(zhǔn)確性。有效性指在所有無偏估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量，保證了估計(jì)的精確性。在氣象數(shù)據(jù)建模中，無偏性確保了我們對(duì)氣象參數(shù)的估計(jì)不會(huì)系統(tǒng)性地偏離真實(shí)值，有效性則保證了估計(jì)結(jié)果的精確度，從而提高氣象預(yù)報(bào)和氣候分析的可靠性。12.多重共線性是指回歸模型中兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)的關(guān)系。其問題在于：①使得回歸系數(shù)估計(jì)值的方差增大，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不穩(wěn)定，對(duì)樣本數(shù)據(jù)敏感；②難以區(qū)分每個(gè)自變量對(duì)因變量的獨(dú)立影響；③可能導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)與預(yù)期相反；④使得模型預(yù)測(cè)精度下降。在氣象回歸分析中，若忽略多重共線性，可能導(dǎo)致對(duì)氣象因素作用效果的誤判。13.氣象時(shí)間序列分析需要基于平穩(wěn)性假設(shè)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)經(jīng)典時(shí)間序列模型（如ARIMA）要求序列具有恒定的均值、方差和自協(xié)方差函數(shù)，不隨時(shí)間變化。如果不滿足平穩(wěn)性條件，模型的參數(shù)估計(jì)可能無效，預(yù)測(cè)結(jié)果也會(huì)缺乏可靠性。處理非平穩(wěn)序列的常用方法包括：①差分法（如一階差分、多階差分），通過差分使序列變得平穩(wěn)；②趨勢(shì)消除法（如對(duì)數(shù)變換、多項(xiàng)式擬合去除趨勢(shì)）；③季節(jié)性調(diào)整法（如移動(dòng)平均法、季節(jié)性分解）。四、計(jì)算題14.（1）樣本均值$\bar{x}=(28+29+30+27+31+29+30+32+28+31)/10=29.5$。樣本方差$s^2=[(28-29.5)^2+(29-29.5)^2+...+(31-29.5)^2]/(10-1)=5.9167$。樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{5.9167}\approx2.433$。（2）檢驗(yàn)步驟：①提出假設(shè)：$H_0:\mu\leq30$vs$H_1:\mu>30$。②選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體方差未知且樣本量較?。╪=10），使用t檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量$t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$。③計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$t=(29.5-30)/(2.433/\sqrt{10})\approx-0.65$。④確定拒絕域：自由度$df=10-1=9$。對(duì)于$\alpha=0.05$的右尾檢驗(yàn)，查t分布表得臨界值$t_{0.05,9}\approx1.833$。拒絕域?yàn)?t>1.833$。⑤得出結(jié)論：由于計(jì)算得到的$t\approx-0.65$不在拒絕域內(nèi)，因此不能拒絕原假設(shè)$H_0$。即沒有充分證據(jù)表明這10天的日最高氣溫顯著高于常年平均水平（α=0.05）。15.（1）R2表示模型中自變量對(duì)因變量的變差解釋比例，取值范圍在0到1之間，值越大表示模型解釋能力越強(qiáng)。調(diào)整后R2是在R2基礎(chǔ)上考慮了模型中自變量個(gè)數(shù)的影響，剔除了因樣本量增加而可能虛增的R2部分，更能反映模型的真實(shí)解釋能力，通常調(diào)整后R2會(huì)小于R2。這里的R2=0.75表示模型解釋了年降水量總變異的75%，調(diào)整后R2=0.73表示在考慮了樣本量和自變量個(gè)數(shù)后，模型實(shí)際解釋了年降水量總變異的73%。（2）F檢驗(yàn)的零假設(shè)是所有回歸系數(shù)同時(shí)為零（模型對(duì)因變量無解釋能力）。F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=45.2，對(duì)應(yīng)的p值小于0.01。在顯著性水平α=0.05下，p值小于α，因此拒絕原假設(shè)。這表明整個(gè)回歸模型是顯著的，即至少有一個(gè)自變量對(duì)年降水量有顯著的線性影響。（3）檢驗(yàn)步驟：①提出假設(shè)：對(duì)X1，$H_0:\beta_1=0$vs$H_1:\beta_1\neq0$。②選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t統(tǒng)計(jì)量，$t=\hat{\beta}_1/se(\hat{\beta}_1)$。③計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$t=2.5/0.8=3.125$。④確定拒絕域：自由度$df=n-p-1$，其中n是樣本量，p是自變量個(gè)數(shù)。假設(shè)樣本量足夠大（如n>30），可以近似使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值。對(duì)于α=0.05的雙尾檢驗(yàn)，臨界值約為±1.96。拒絕域?yàn)?|t|>1.96$。⑤得出結(jié)論：由于計(jì)算得到的$|t|=3.125$大于1.96，因此拒絕原假設(shè)$H_0$。即變量X1（年日照時(shí)數(shù)）的系數(shù)在α=0.05水平上顯著異于0，表明年日照時(shí)數(shù)對(duì)年降水量有顯著的線性影響。16.ARIMA(1,1,1)模型的具體形式為：$\DeltaY_t=\phi_1\DeltaY_{t-1}+\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}$，其中$\DeltaY_t=Y_t-Y_{t-1}$是一階差分后的序列。參數(shù)解釋：*$\phi_1=0.5$是自回歸（AR）項(xiàng)的系數(shù)，表示當(dāng)前差分值與前一個(gè)差分值之間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。*$\theta_1=-0.6$是移動(dòng)平均（MA）項(xiàng)的系數(shù)，表示當(dāng)前差分值與上一個(gè)白噪聲誤差項(xiàng)之間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。*$\alpha=0.1$是AR項(xiàng)的方差，衡量自回歸部分對(duì)序列波動(dòng)性的貢獻(xiàn)。*$\beta=0.2$是MA項(xiàng)的方差，衡量移動(dòng)平均部分對(duì)序列波動(dòng)性的貢獻(xiàn)。該模型通過捕捉序列自身滯后值（AR項(xiàng)）和過去誤差項(xiàng)（MA項(xiàng)）對(duì)當(dāng)前值變化的影響，來描述和預(yù)測(cè)時(shí)間序列的波動(dòng)性。五、綜合應(yīng)用題從數(shù)據(jù)準(zhǔn)備到模型建立與評(píng)估，可能涉及的步驟包括：1.數(shù)據(jù)收集與整理：收集歷史每日最高氣溫?cái)?shù)據(jù)及相關(guān)氣象因素（日出、日落、風(fēng)速、濕度等）數(shù)據(jù)，確保數(shù)據(jù)時(shí)間跨度足夠長(zhǎng)，覆蓋不同氣候條件。整理數(shù)據(jù)格式，處理缺失值（如插補(bǔ)或刪除）。2.數(shù)據(jù)探索性分析（EDA）：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化（如繪制時(shí)間序列圖、散點(diǎn)圖），計(jì)算描述性統(tǒng)計(jì)量（均值、方差、相關(guān)系數(shù)矩陣），初步了解數(shù)據(jù)分布、趨勢(shì)、季節(jié)性及變量間關(guān)系。3.數(shù)據(jù)預(yù)處理：根據(jù)EDA結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換（如對(duì)偏態(tài)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)），去除異常值，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化或歸一化處理，使不同量綱的變量具有可比性。4.特征工程：可能需要?jiǎng)?chuàng)建新的預(yù)測(cè)變量，如基于日出日落時(shí)間計(jì)算日照時(shí)長(zhǎng)、提取星期幾作為周期性變量等。5.模型選擇：根據(jù)數(shù)據(jù)特性選擇合適的預(yù)測(cè)模型。若數(shù)據(jù)包含明顯趨勢(shì)和季節(jié)性，可優(yōu)先考慮ARIMA模型或季節(jié)性ARIMA模型。若變量間關(guān)系復(fù)雜非線性，可考慮支持向量回歸（SVR）、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）或梯度提升樹等機(jī)器學(xué)習(xí)方法。選擇時(shí)需考慮模型原理、預(yù)測(cè)精度、計(jì)算復(fù)雜度、可解釋性以及對(duì)未來數(shù)據(jù)（如天氣變化）的適應(yīng)性。6.模型訓(xùn)練與參數(shù)調(diào)優(yōu)：將數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集