2025年考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計沖刺試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題卡上。1.設(shè)隨機事件A和B互斥，P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）（A）P(A|B)=P(B|A)（B）P(A|B)>P(A)（C）P(A|B)<P(A)（D）P(A|B)=1-P(B|A)2.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列關(guān)于F(x)的說法正確的是（）（A）F(x)是單調(diào)遞減函數(shù)（B）0≤F(x)≤1，且F(x)是右連續(xù)的（C）P(a<X≤b)=F(b)-F(a)（D）F(x)是嚴格單調(diào)遞增函數(shù)3.設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[(X+Y)^2]等于（）（A）2λ（B）λ^2（C）λ^2+2λ（D）λ^2+λ4.設(shè)隨機變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=3，X的方差DX=4，Y的方差DY=9，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY等于（）（A）3/4（B）1/2（C）3/2（D）1/45.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則下列統(tǒng)計量中不是μ的無偏估計量的是（）（A）X?=(1/n)Σ(xi,i=1ton)（B）X(1)=min{X1,X2,...,Xn}（C）X?-σ/√n（D）(X1+X2)/2二、填空題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填在答題卡上對應(yīng)題號后的橫線上。6.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X服從U(0,1)分布，Y服從指數(shù)分布E(2)，則P(X<Y)=_______.7.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={c(x-1)^2,0<x<2;0,其他}，則常數(shù)c=_______.8.設(shè)隨機變量X和Y的期望分別為E(X)=2,E(Y)=-1，方差分別為DX=1,DY=4，且Cov(X,Y)=-2，則E(XY)=_______.9.設(shè)總體X的均值未知，方差σ^2已知，X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，則樣本均值X?的方差DX?=_______.10.從總體X中抽取樣本容量為n=16的簡單隨機樣本，樣本均值記為X?，若總體X服從正態(tài)分布N(μ,4)，則統(tǒng)計量X?近似服從的分布是_______（寫出分布名稱及參數(shù)）。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，X的密度函數(shù)為fX(x)={e^(-x),x>0;0,x≤0}，Y的分布函數(shù)為FY(y)={0,y≤0;1-e^(-y/2),y>0}。（1）求隨機變量X的分布函數(shù)FX(x)；（2）求隨機變量X的期望E(X)和方差DX；（3）求隨機變量Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z)。12.（本小題滿分12分）設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示：Y\X|0|1|----|------|------|0|0.1|0.2|1|0.3|0.4|（1）求隨機變量X的邊緣分布律；（2）求隨機變量Y的邊緣分布律；（3）判斷隨機變量X和Y是否相互獨立；（4）求E(XY)。13.（本小題滿分14分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。（1）求隨機變量Z=X^2+Y^2的分布函數(shù)和密度函數(shù)；（2）求隨機變量W=X/Z的分布函數(shù)（提示：可先求密度函數(shù)）。14.（本小題滿分15分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0為未知參數(shù)，X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本。（1）求參數(shù)θ的矩估計量；（2）求參數(shù)θ的最大似然估計量。15.（本小題滿分15分）從一批燈泡中隨機抽取16只，測得它們的使用壽命（單位：小時）如下：1050,1100,1080,1200,1300,1150,1200,1250,1220,1180,1170,1200,1300,1270,1230,1200.假設(shè)燈泡的使用壽命X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)。（1）求樣本均值X?和樣本方差S^2的值；（2）在α=0.05的水平下，檢驗這批燈泡的平均使用壽命是否大于1100小時。（要求寫出檢驗的步驟）16.（本小題滿分10分）設(shè)總體X的均值E(X)=μ，方差DX=σ^2（σ^2>0），X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本。考慮如下兩個估計量：μ?1=(X1+X2+...+Xn)/n=X?,μ?2=(X1+2X2+...+nXn)/(1+2+...+n)。（1）證明估計量μ?1和μ?2都是μ的無偏估計量；（2）哪個估計量的方差更??？請說明理由。---試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.B二、填空題6.1/47.3/28.09.σ^2/n10.N(μ,1/4)三、解答題11.（1）FX(x)={0,x≤0;1-e^(-x/1),x>0}（即指數(shù)分布E(1)的分布函數(shù)）（2）E(X)=1,DX=1（指數(shù)分布E(λ)的期望和方差，λ=1）（3）fZ(z)={ze^(-z/2),z>0;0,z≤0}（獨立和的密度函數(shù)卷積結(jié)果，結(jié)果為指數(shù)分布E(3/2)）12.（1）X的邊緣分布律：P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.6（2）Y的邊緣分布律：P(Y=0)=0.3,P(Y=1)=0.7（3）X和Y相互獨立，因為P(X=0,Y=0)=0.1=P(X=0)P(Y=0)，且所有聯(lián)合概率等于邊緣概率乘積。（4）E(XY)=E(X)E(Y)=(0*0.3+1*0.7)*(0*0.4+1*0.6)=0.7*0.6=0.42（利用獨立性質(zhì)）13.（1）Z~χ2(2)（自由度為2的卡方分布），分布函數(shù)FZ(z)={0,z≤0;1-(1+z)e^(-z),z>0}，密度函數(shù)fZ(z)={2e^(-z),z>0;0,z≤0}（利用X,Y獨立同N(0,1)，Z=X2+Y2）（2）W~U(0,1)（自由度為2的t分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)且關(guān)于y=1對稱，因此標(biāo)準(zhǔn)化后服從均勻分布），分布函數(shù)FW(w)={0,w≤0;w,0<w<1;1,w≥1}14.（1）E(X)=θ/(θ+1)，令E(X)=X?，得θ?M=X?/(1-X?)（用一階矩估計法）（2）似然函數(shù)L(θ)=θ^(n*θ-1)*Π(xi^(θ-1))(0<xi<1,i=1..n)，對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=nlnθ+(n-1)θΣlnxi-θΣln(1-xi)，求導(dǎo)?lnL/?θ=n/θ+nΣlnxi-Σln(1-xi)，令其為0，得θ?MLE=-n/Σln(1-xi)（用最大似然估計法）15.（1）X?=1193.75,S^2=6888.86（根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算）（2）檢驗假設(shè)H0:μ≤1100,H1:μ>1100。計算檢驗統(tǒng)計量t=(X?-1100)*sqrt(16)/sqrt(6888.86)≈2.546。查t分布表，df=16-1=15，α=0.05的右尾臨界值t0.05,15≈1.753。因為t=2.546>1.753，所以拒絕H0。結(jié)論：在α=0.05的水平下，有理由認為這批燈泡的平均使用壽命大于1100小時。16.（1）E(μ?1)=E(X?)=(1/n)ΣE(xi)=(1/n)*nμ=μ，E(μ?2)=E((X1+2X2+...+nXn)/(1+2+...+n))=(1/(1+2+...+n))*Σ(E(xi*i))=(1/(n(n+1)/2))*ΣiE(xi)=(2/n(n+1))*Σiμ=(2μ/n(n+1))*n(n+1)=μ，故μ?1和μ?2均為μ的無偏估計量。（2）DX?1=DX?=(DX)/n=σ^2/n，DX?2=D((X1+2X2+...+nXn)/(n(n+1)))=(