2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——應(yīng)用代數(shù)在編碼理論中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)Fq是一個(gè)q元有限域，其中q=p^n，p為素?cái)?shù)，n為正整數(shù)。令α是Fq中的一個(gè)本原元。定義Fq上的多項(xiàng)式環(huán)為Fq[x]。給定多項(xiàng)式f(x)=x^6+x+1∈F2[x]。證明f(x)是F2[x]中的一個(gè)既約多項(xiàng)式。二、已知F16是一個(gè)16元有限域，其元素可以表示為{0,1,α,α^2,...,α^14}，其中α是F16中的本原元。求元素β=α^5在F16中的階，并給出其所有冪次方的元素。三、考慮F2上的一個(gè)[7,4,3]線性碼C，其生成矩陣為G=[(1010100);(0101010);(0010011);(0001101)]。求碼C的校驗(yàn)矩陣H，并計(jì)算碼字(1011100)∈C的伴隨式。四、設(shè)C是一個(gè)[n,k,d]線性碼，其最小距離為d。證明C能糾正所有最多t個(gè)錯(cuò)誤，其中t≤?(d-1)/2?。五、構(gòu)造一個(gè)[15,7,5]的BCH碼，用于糾正最多2個(gè)錯(cuò)誤。寫(xiě)出該碼的生成多項(xiàng)式，并說(shuō)明其能糾正最多2個(gè)錯(cuò)誤的原因。六、設(shè)f(x)=x^4+x+1和g(x)=x^3+x+1是F2[x]中的既約多項(xiàng)式。構(gòu)造由f(x)生成的F2[x]/(f(x))和由g(x)生成的F2[x]/(g(x))這兩個(gè)擴(kuò)域，并描述在這兩個(gè)擴(kuò)域中分別能定義出多少個(gè)不同的[15,8,d]循環(huán)碼（假設(shè)最小距離d是可構(gòu)造的）。七、簡(jiǎn)述SISO（單比特至單比特）譯碼器的工作原理，并說(shuō)明其為什么能夠糾正單比特錯(cuò)誤。試卷答案一、證明：若f(x)不是既約多項(xiàng)式，則它可以在F2[x]中被分解為次數(shù)低于其次數(shù)的非平凡多項(xiàng)式的乘積。由于f(x)的次數(shù)為6，可能的分解方式有：(x+a)(x+b)h(x)，其中h(x)的次數(shù)為4，a,b∈F2?？紤]f(x)在F2上的根的情況。如果f(x)有一個(gè)根r∈F2，則f(r)=0。由于F2={0,1}，我們分別檢驗(yàn)r=0和r=1的情況：1.若r=0，則f(0)=0^6+0+1=1≠0，所以f(x)沒(méi)有根0。2.若r=1，則f(1)=1^6+1+1=1+1+1=1≠0，所以f(x)沒(méi)有根1。因此，f(x)在F2中沒(méi)有根。這意味著f(x)不能分解為一次多項(xiàng)式的乘積。接下來(lái)，我們考慮f(x)是否可以分解為兩個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積，即f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)，其中a,b,c,d∈F2。展開(kāi)并比較系數(shù)，我們得到：x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd=x^6+x+1比較同次冪的系數(shù)，我們得到以下方程組：a+c=0ac+b+d=0ad+bc=0bd=1由于a+c=0，所以c=a。代入其他方程，我們得到：a^2+b+d=0ad+ab=0bd=1由于ad+ab=a(d+b)=0，在F2中，非零元的平方為0，所以a=0或d+b=1。如果a=0，則c=0，方程組變?yōu)椋篵+d=1bd=1解這個(gè)方程組，我們得到b=1,d=0或b=0,d=1。但這兩種情況都導(dǎo)致ad=0，與f(x)的常數(shù)項(xiàng)為1矛盾。因此，a≠0。所以d+b=1。代入b+d=1，我們得到b=d=1。但這時(shí)ad=0，同樣矛盾。因此，f(x)不能分解為兩個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積。由于f(x)既沒(méi)有根，也不能分解為一次或二次多項(xiàng)式的乘積，它不能再被分解。因此，f(x)是F2[x]中的一個(gè)既約多項(xiàng)式。二、解析思路：首先確定F16的結(jié)構(gòu)。F16的元素個(gè)數(shù)為16，所以n=4，其元素可以表示為F2[x]/(x^4-α)，其中α是F2[x]中的一個(gè)本原元。β=α^5的階是使得β^k=1的最小正整數(shù)k。由于α是本原元，α^15=1。因此，β^k=(α^5)^k=α^(5k)=1當(dāng)且僅當(dāng)5k是15的倍數(shù)。即5k≡0(mod15)。由于5和15互素，k必須是3的倍數(shù)。最小的正整數(shù)k是3。所以β的階為3。β的冪次方為：β^1=α^5β^2=α^10=α^(-5)β^3=α^15=1β^4=α^20=α^5β^5=α^25=α^10β^6=α^30=α^0=1因此，β的所有冪次方元素為{α^5,α^(-5),1}。三、解析思路：首先根據(jù)生成矩陣G求校驗(yàn)矩陣H。校驗(yàn)矩陣H的列是G的零空間的一個(gè)基。將G的列向量進(jìn)行線性組合，使得每個(gè)F2上的線性組合等于零向量。通過(guò)行變換（在F2上進(jìn)行）可以將G變換為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣。將G的列向量從最后一列開(kāi)始往前依次移到H的相應(yīng)位置，構(gòu)造出H。最后，計(jì)算伴隨式s=rH^T，其中r是接收到的向量，H^T是H的轉(zhuǎn)置。四、解析思路：設(shè)接收到的向量為r。如果r與碼字c的距離d'≤t，則d'(c,r)=t。根據(jù)距離定義，伴隨式s=r-c。s=r-c的重量即s中非零元的個(gè)數(shù)。由于c是碼字，s=r-c的重量至少為d。因此，重量w(s)≥d。如果d'(c,r)=t，則d'(s,0)=t。這意味著s的重量w(s)=t。因此，w(s)≥d≥2t。所以t≤(d-1)/2。五、解析思路：構(gòu)造[15,7,5]BCH碼。首先確定素?cái)?shù)p和n。由于2^4=16>15，所以p=2，n=16。確定要糾正的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)t=2。選擇2個(gè)信息位，即k=7，n-k=8個(gè)校驗(yàn)位。校驗(yàn)多項(xiàng)式P(x)是所有2個(gè)錯(cuò)誤位置（設(shè)為α^i和α^j）生成多項(xiàng)式的最小公倍數(shù)。P(x)=lcm(α^i-1,α^j-1)。由于α是本原元，α^i-1和α^j-1互素當(dāng)且僅當(dāng)i和j互素。因此，P(x)=(α^i-1)(α^j-1)。為了糾正最多2個(gè)錯(cuò)誤，需要P(x)是15次既約多項(xiàng)式。例如，可以選擇α^1-1和α^2-1。P(x)=(x-α^0)(x-α)=x^2-x-1。生成多項(xiàng)式G(x)=x^(n-k)P(x)=x^8(x^2-x-1)=x^10-x^9-x^8。能糾正最多2個(gè)錯(cuò)誤的原因是該碼的最小距離d≥2t+1=5。任何兩個(gè)錯(cuò)誤位置的多項(xiàng)式乘積(x-α^i)(x-α^j)都包含在P(x)中，其伴隨式非零，因此最小距離至少為5。六、解析思路：由f(x)生成的擴(kuò)域F2[x]/(f(x))是一個(gè)4元有限域F2^2。其元素個(gè)數(shù)為2^4=16。它可以表示為{a0+a1α|a0,a1∈F2}。α滿(mǎn)足α^4+α+1=0。該擴(kuò)域中定義出的[15,8,d]循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)必須整除x^15-1。由于F2^2中的元素個(gè)數(shù)是16，x^15-1在F2^2[x]中有15個(gè)根，這15個(gè)根構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群。g(x)必須是x^15-1的一個(gè)因式，且其階數(shù)等于15。x^15-1在F2[x]中可以分解為(x-1)(x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1)。第二個(gè)因式是一個(gè)不可約多項(xiàng)式，其階為8。因此，g(x)可以取x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1。該碼是[15,8,d]循環(huán)碼，其中d是g(x)的常數(shù)項(xiàng)的2的冪次，即d=8。由g(x)生成的碼的最小距離至少為d。由g(x)生成的碼的參數(shù)為[15,8,8]。由g(x)生成的碼的重量w(c)必須是g(x)的階數(shù)8的倍數(shù)。F2^2中的[15,8,8]循環(huán)碼的重量必須是8的倍數(shù)。F2^2中元素的重量只能是0,1,2,4,8。因此，F(xiàn)2^2中定義出的[15,8,8]循環(huán)碼的重量只能是8。由于F2^2中有16個(gè)元素，重量為8的碼字?jǐn)?shù)量為組合數(shù)C(16,4)。由g(x)生成的碼的重量為8。F2[x]/(g(x))是一個(gè)16元有限域F2^2。其元素個(gè)數(shù)也是16。它可以表示為{b0+b1β|b0,b1∈F2}。β滿(mǎn)足β^8+β+1=0。該擴(kuò)域中定義出的[15,8,d]循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g'(x)必須整除x^15-1。由于F2^2中的元素個(gè)數(shù)是16，x^15-1在F2^2[x]中有15個(gè)根，這15個(gè)根構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群。g'(x)必須是x^15-1的一個(gè)因式，且其階數(shù)等于15。x^15-1在F2[x]中可以分解為(x-1)(x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1)。第二個(gè)因式是一個(gè)不可約多項(xiàng)式，其階為8。因此，g'(x)可以取x^7+x^6+x^4+x^3+x^2+x+1。該碼是[15,8,d]循環(huán)碼，其中d是g'(x)的常數(shù)項(xiàng)的2的冪次，即d=8。由g'(x)生成的碼的最小距離至少為d。由g'(x)生成的碼的參數(shù)為[15,8,8]。由g'(x)生成的碼的重量w'(c)必須是g'(x)的階數(shù)8的倍數(shù)。F2^2中元素的重量只能是0,1,2,4,8。因此，F(xiàn)2^2中定義出的[15,8,8]循環(huán)碼的重量只能是8。由于F2^2中有16個(gè)元素，重量為8的碼字?jǐn)?shù)量為組合數(shù)C(16,4)。因此，在這兩個(gè)擴(kuò)域中分別能定義出相同數(shù)量的[15,8,8]循環(huán)碼，即C(16,4)個(gè)。七、解析思路：SISO（單比特至單比特）譯碼器的工作原理是：當(dāng)接收到的向量r包含一個(gè)單比特錯(cuò)誤時(shí)，計(jì)算伴隨式s=rH^T。由于r=c+e，其中e是錯(cuò)誤向量，且e只有一位為1，其余為0，所以s=(c+e)H^T=cH^T+eH^T=0+eH^T=eH^T。由于e只有一位為1，eH^T就是該位對(duì)應(yīng)的H矩陣列向量的值，即錯(cuò)誤位置對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤值。SISO譯碼器利用這個(gè)伴隨式s找到錯(cuò)誤位的位置，并翻轉(zhuǎn)該位，從而得到原始碼字c。SISO譯碼器能夠糾正單比特錯(cuò)誤的原因在于，當(dāng)接收