2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——最優(yōu)化理論在金融市場中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)性必要條件（一階條件）和充分條件（二階條件）的主要內(nèi)容，并說明它們在判斷優(yōu)化問題解的性質(zhì)時的區(qū)別與聯(lián)系。二、設(shè)投資組合中包含兩種資產(chǎn)，其預(yù)期收益率分別為μ?和μ?，方差分別為σ?2和σ?2，協(xié)方差為σ??。投資者在預(yù)算約束b=w?+w?下，尋求最優(yōu)權(quán)重w?和w?，以最大化投資組合的預(yù)期收益率E[ρ]，其中ρ=w?ρ?+w?ρ?。請寫出該問題的拉格朗日函數(shù)，并寫出其最優(yōu)性的一階條件。三、解釋什么是有效前沿（EfficientFrontier）。在一個包含兩種風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合中，有效前沿的形狀取決于哪些因素？請簡要說明。四、已知一個投資者在無風(fēng)險利率r下投資于兩種風(fēng)險資產(chǎn)，期望效用函數(shù)為U=E[ln(ρ+Dr)]，其中ρ是投資組合的預(yù)期收益率，D是投資組合的期望損失，r是無風(fēng)險利率。請推導(dǎo)該投資者在均值-方差框架下的最優(yōu)投資組合權(quán)重選擇所滿足的條件，并說明其與標(biāo)準(zhǔn)均值-方差優(yōu)化有何不同。五、KKT條件是約束優(yōu)化問題的重要工具。請寫出一般約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.g?(x)≤0,i=1,...,m;h?(x)=0,j=1,...,p的KKT必要條件，并簡要解釋其中每個組成部分的經(jīng)濟(jì)學(xué)或數(shù)學(xué)意義（如λ?,μ?的影子價格含義）。六、動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策問題的一種重要方法。請簡述動態(tài)規(guī)劃的基本思想（包括階段、狀態(tài)、決策、遞歸關(guān)系等核心概念），并舉例說明動態(tài)規(guī)劃在解決一個簡單的金融投資或風(fēng)險管理問題（如多期投資決策、最優(yōu)停止問題）中的應(yīng)用思路。七、在金融市場中，為什么均值-方差優(yōu)化模型（馬科維茨模型）存在一定的局限性？請至少提出兩種不同的局限性，并簡要說明。八、考慮一個金融市場中的交易策略，該策略在每個時期決定持有某種資產(chǎn)的比例。假設(shè)該策略的目標(biāo)是最小化長期（如T期）持有資產(chǎn)的絕對偏差的平方和，即minE[∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2]，其中x?是第i期的持有比例，x?是T期內(nèi)的平均持有比例。請討論該優(yōu)化問題的性質(zhì)（如是否為凸優(yōu)化問題），并說明該目標(biāo)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。九、請解釋什么是套利機(jī)會，并說明在最優(yōu)化理論框架下，如何利用無套利原則來構(gòu)建或檢驗金融衍生品（如期權(quán)）的定價模型。可以結(jié)合具體的定價公式（如Black-Scholes方程）進(jìn)行說明。十、風(fēng)險價值（ValueatRisk,VaR）是一種常用的風(fēng)險度量方法。從優(yōu)化的角度看，計算VaR的過程可以視為一個優(yōu)化問題。請描述如何將計算VaR（例如，在給定置信水平α下，尋找VaR）轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題，并說明其涉及的關(guān)鍵假設(shè)和潛在問題（如VaR的次線性特性）。試卷答案一、最優(yōu)性必要條件（一階條件）：對于無約束優(yōu)化問題minf(x)，若x*是其局部最優(yōu)解，且f(x)在x*處可微，則必有?f(x*)=0（梯度為零）。最優(yōu)性充分條件（二階條件）：若x*是無約束優(yōu)化問題minf(x)的局部最優(yōu)解，且f(x)在x*處二階可微，且?f(x*)=0，則當(dāng)H(x*)（Hessian矩陣）正定時，x*是嚴(yán)格局部最小值點；當(dāng)H(x*)負(fù)定時，x*是嚴(yán)格局部最大值點；當(dāng)H(x*)半正定時，x*是局部最小值點；當(dāng)H(x*)半負(fù)定時，x*是局部最大值點。聯(lián)系與區(qū)別：一階條件是極值點存在的必要條件，而充分條件則給出了極值點性質(zhì)（最小值、最大值）的判斷依據(jù)。兩者都需要在特定條件下（如可微、Hessian正負(fù)定性）才能使用。二、拉格朗日函數(shù)為L(w?,w?,λ)=w?μ?+w?μ?+λ(b-w?-w?)。最優(yōu)性一階條件為：?L/?w?=μ?-λ=0?L/?w?=μ?-λ=0?L/?λ=b-w?-w?=0聯(lián)立以上方程組，可得μ?=μ?=λ且w?+w?=b。這表明在均值最大化的問題中（在給定預(yù)算下），所有無風(fēng)險收益率為μ的資產(chǎn)，其最優(yōu)權(quán)重必須相同，且與無風(fēng)險利率無關(guān)（此處假設(shè)μ?≠μ?，否則最優(yōu)解可以是任意滿足w?+b-w?=0的組合）。三、有效前沿是指在給定投資組合預(yù)期風(fēng)險（方差）的條件下，能夠獲得最高預(yù)期收益率的所有投資組合的集合；或者在給定投資組合預(yù)期收益率的條件下，能夠承受最低預(yù)期風(fēng)險（方差）的所有投資組合的集合。有效前沿的形狀主要取決于：1.資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)越低，有效前沿彎曲越大（向上彎曲更厲害）。2.無風(fēng)險利率：無風(fēng)險利率越高，有效前沿越“陡峭”，因為它使得借入資金的成本更高，或者投資于無風(fēng)險資產(chǎn)帶來的替代效應(yīng)更強(qiáng)。3.各資產(chǎn)的預(yù)期收益率、方差和協(xié)方差：這些參數(shù)直接決定了可行投資組合的集合范圍和形狀。四、令M=E[ρ+Dr]=E[ρ]+Dr=E[ρ]+D(μ-ρ)，其中μ是資產(chǎn)的期望收益率（假設(shè)D和ρ相關(guān)）。效用函數(shù)變?yōu)閁=E[ln(E[ρ]+D(μ-ρ))]。這是一個關(guān)于E[ρ]的單變量函數(shù)。設(shè)g(ρ)=ln(E[ρ]+D(μ-ρ))，則U=E[g(ρ)]。根據(jù)Jensen's不等式（對凹函數(shù)），E[g(ρ)]≤g(E[ρ])，即E[ln(E[ρ]+D(μ-ρ))]≤ln(E[ρ]+D(μ-E[ρ]))=ln(r)。等號成立的充要條件是ρ=r幾乎處處成立，但這在投資組合中通常不現(xiàn)實。更合理的推導(dǎo)是考慮效用函數(shù)的二階條件或使用隨機(jī)占優(yōu)理論。若采用類似Lagrange方法處理期望效用最大化問題maxE[ln(ρ+Dr)]s.t.E[ρ]-rW≤0（W為投資總額），則最優(yōu)條件涉及拉格朗日乘數(shù)，反映了對風(fēng)險（Dρ）的厭惡程度，其解將不同于標(biāo)準(zhǔn)均值-方差模型（后者對σ2厭惡，且假設(shè)ρ與μ相關(guān)）。此處的解析思路提示了推導(dǎo)方向，但標(biāo)準(zhǔn)形式推導(dǎo)復(fù)雜，通常涉及HJB方程或效用函數(shù)的直接求導(dǎo)。五、KKT必要條件：1.首部：?f(x)+∑?λ??g?(x)+∑?μ??h?(x)=02.影子價格：λ?≥0,i=1,...,m3.非負(fù)性：g?(x)≤0,i=1,...,m4.等式約束滿足：h?(x)=0,j=1,...,p其中x是決策變量，λ?是g?(x)≤0的對應(yīng)乘數(shù)（影子價格，表示對應(yīng)約束的“松弛度”或資源價值），μ?是h?(x)=0的對應(yīng)乘數(shù)。意義：*?f(x)+∑?λ??g?(x)+∑?μ??h?(x)=0：在最優(yōu)解處，梯度方向是可行方向，即最優(yōu)解是駐點，該駐點滿足最優(yōu)性條件，考慮了所有約束的影響。*λ?≥0：如果某個約束g?(x*)嚴(yán)格小于0（即未達(dá)到），則對應(yīng)的乘數(shù)λ?必須為0（互補(bǔ)松弛條件），表示該約束對最優(yōu)解沒有“拖累”作用。如果g?(x*)=0（即達(dá)到），λ?可以為正。*g?(x)≤0&h?(x)=0：約束條件本身必須滿足。*μ?：等式約束的乘數(shù)沒有非負(fù)性約束，其符號由互補(bǔ)松弛條件決定。六、動態(tài)規(guī)劃基本思想：*階段（Stages）：將復(fù)雜問題分解為一系列按順序或嵌套方式進(jìn)行的子問題。*狀態(tài)（State）：描述在某個階段開始時問題所處的狀況，包含足夠的信息來做出該階段決策，并決定下一階段的狀態(tài)。*決策（Decision）：在某個狀態(tài)下，可供選擇的行動方案。*遞歸關(guān)系（RecursiveRelationship）：將當(dāng)前階段的最優(yōu)解與下一階段的最優(yōu)解聯(lián)系起來，通常形式為Bellman方程：最優(yōu)值函數(shù)V?(x?)=min/max{d?(x?,a?)+V???(x???)}，其中x?是第k階段狀態(tài)，a?是第k階段決策，d?是階段回報或轉(zhuǎn)移函數(shù)，V???是第k+1階段到最終階段的最優(yōu)值函數(shù)。應(yīng)用思路：例如在多期投資中，定義狀態(tài)為當(dāng)前財富、當(dāng)前時期；決策為投資比例；遞歸地求解從第T期到第1期如何分配財富以最大化總期望效用。七、均值-方差優(yōu)化模型的局限性：1.假設(shè)投資者是風(fēng)險厭惡的，且風(fēng)險由投資組合方差完全衡量。然而，現(xiàn)實中投資者對風(fēng)險的厭惡程度可能變化（非恒定絕對風(fēng)險厭惡或相對風(fēng)險厭惡），且風(fēng)險可能包含方差無法完全捕捉的尾部風(fēng)險、流動性風(fēng)險等。2.假設(shè)投資者可以在無風(fēng)險利率下無限借貸。這在現(xiàn)實中通常不成立，借貸成本（如交易費用、更高的利率）會影響最優(yōu)投資組合的選擇。3.假設(shè)所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率、方差和協(xié)方差是已知的且固定不變。但金融市場充滿不確定性，這些參數(shù)是時變的，模型難以準(zhǔn)確反映市場動態(tài)。4.模型基于二次效用函數(shù)，可能無法準(zhǔn)確描述投資者對極端損失（如負(fù)收益率）的強(qiáng)烈厭惡（偏好于凹性更大的效用函數(shù)）。5.模型假設(shè)投資者基于均值和方差進(jìn)行決策，可能忽略了其他因素，如投資目標(biāo)、流動性需求、稅收影響、行為偏差等。八、該優(yōu)化問題minE[∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2]的性質(zhì)：1.目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)：目標(biāo)函數(shù)是∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2的期望值。由于平方是凸函數(shù)，線性函數(shù)的期望值仍然是線性函數(shù)的期望值的平方，即E[∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2]是關(guān)于x?的二次函數(shù)的期望值。對于固定的T期和x?，∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2是關(guān)于x?的二次函數(shù)。期望運算（E[]）保持線性，不會改變函數(shù)的凸性。因此，該目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x?的凸函數(shù)。由于凸函數(shù)的局部最小值也是全局最小值，該優(yōu)化問題是凸優(yōu)化問題。2.經(jīng)濟(jì)含義：目標(biāo)函數(shù)E[∑?<0xE1><0xB5><0xA3>T(x?-x?)2]表示對T期內(nèi)持有資產(chǎn)比例x?與其平均值x?之間偏差的平方的期望值。這衡量了持有策略在T期內(nèi)偏離平均水平的平均“波動性”或“平均幅度”。因此，該優(yōu)化問題的目標(biāo)是找到一個策略，使得長期來看，其持有比例的波動性（以這種方式衡量）最小化。這可以被視為一種追求“穩(wěn)定性”或“平滑性”的交易策略優(yōu)化。九、套利機(jī)會是指在不冒任何風(fēng)險的情況下，能夠獲得無風(fēng)險利潤的交易機(jī)會。無套利原則是金融市場中一個基本假設(shè)，即不存在無風(fēng)險套利機(jī)會。利用無套利原則構(gòu)建或檢驗衍生品定價模型：1.構(gòu)建模型：基于無套利原則，可以構(gòu)建包含基礎(chǔ)資產(chǎn)、衍生品和無風(fēng)險資產(chǎn)的完整市場模型（如幾何布朗運動模型）。假設(shè)市場是有效的，那么任何交易策略的凈現(xiàn)值（或期望收益折現(xiàn)）必須為零（否則套利者會進(jìn)入市場獲利，打破市場有效性）。通過套利定價方法（如風(fēng)險中性測度法），設(shè)定一個風(fēng)險中性世界，計算衍生品在風(fēng)險中性測度下的期望收益折現(xiàn)值，得到其理論價格。例如，Black-Scholes模型通過假設(shè)市場無套利，推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)價格滿足的偏微分方程，然后求解得到最終定價公式。如果存在套利機(jī)會，則該價格會失衡，可以通過構(gòu)建套利組合來證明價格不合理。2.檢驗?zāi)Ｐ停喝绻袌鰞r格與某個基于無套利原則推導(dǎo)出的模型價格存在顯著偏離，那么可能存在套利機(jī)會，或者該模型假設(shè)不成立。通過檢驗是否存在無風(fēng)險套利組合，可以驗證模型的有效性和價格的合理性。十、計算VaR（在給定置信水平α下，尋找VaR）可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題：minVs.t.P(ρ-V≤0)≥α其中ρ是投資組合的收益率（或損失），V是VaR值（代表在α置信水平下可承受的最大損失）。這個優(yōu)化問題尋找的是最壞情況下的損失（在給定置信水平下）的下界。其等價形式是：minVs.t.P(ρ≥-V)≤1-α即尋找使得投資組合收益率為非負(fù)的概率低于(1-α)的最大損失V。關(guān)鍵假設(shè)：1.投資組合收益率服從特定的分布（通常是正態(tài)分布，或通過歷史數(shù)據(jù)擬合的分布），且該分布是已知的。2.歷史數(shù)據(jù)可以準(zhǔn)確反映未來的收益分布（對分布的假設(shè)）。3.市場條件不變，收益