2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——圖像處理中的數(shù)學(xué)算法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在二維圖像中，點(x,y)處的梯度向量最常用的計算方法是？(A)拉普拉斯算子(B)Prewitt算子(C)高斯-拉普拉斯算子(D)Roberts算子2.主成分分析（PCA）在圖像處理中主要應(yīng)用目的是？(A)圖像增強(B)圖像去噪(C)降維與特征提取(D)圖像壓縮3.矩陣分解方法SVD，在圖像處理中通常不用于？(A)圖像去噪(B)圖像壓縮(C)邊緣檢測(D)視覺重建4.對圖像進行平移變換時，其變換矩陣屬于？(A)仿射變換矩陣(B)透視變換矩陣(C)單位矩陣(D)線性變換矩陣5.在貝葉斯圖像分割中，通常用哪個概率表示當前像素屬于某個特定區(qū)域的證據(jù)？(A)先驗概率P(region)(B)后驗概率P(region|x)(C)像素強度概率P(x)(D)條件概率P(x|region)二、填空題（每空3分，共18分。請將答案填在橫線上）6.設(shè)圖像f(x,y)在點(x,y)處的梯度為?f=(Gx,Gy)，則該點沿梯度方向的變化率是________。7.圖像的均值濾波器是一種簡單的________濾波器，它將像素鄰域內(nèi)的所有像素值求平均作為輸出值。8.利用矩陣特征值和特征向量進行圖像降維的方法是________。9.圖像的仿射變換保留了直線段的________性質(zhì)。10.在使用Sobel算子進行邊緣檢測時，需要計算水平和垂直方向的梯度分量，這兩個分量的平方和的平方根近似對應(yīng)于梯度的大小。11.圖像積分圖像（SummedAreaTable）S(x,y)的定義是圖像f(x,y)在區(qū)域[0,x]×[0,y]內(nèi)的所有像素值之和，計算公式為S(x,y)=________。三、計算題（共27分）12.（9分）給定一個3x3的圖像子區(qū)域及其像素值如下：f=|486||753||291|請使用Sobel算子（使用標準差σ=1的高斯核進行加權(quán)）計算該子區(qū)域中心點（坐標為(1,1)，對應(yīng)f[1,1]）的梯度Gx和Gy（無需實際計算高斯核，只需寫出Gx和Gy對應(yīng)的加權(quán)求和表達式即可）。13.（9分）設(shè)有一幅灰度圖像f(x,y)，其像素值滿足以下變換關(guān)系：g(x,y)=α*f(x,y)+β。其中α=1.5，β=50。請推導(dǎo)出圖像f(x,y)的像素值在經(jīng)過該線性變換后，點(x',y')處的像素值g(x',y')與原圖像中對應(yīng)點(x,y)的像素值之間的關(guān)系式。14.（9分）已知一個2階SVD分解：A=UΣV?，其中矩陣A為m×n，U為m×m正交矩陣，V為n×n正交矩陣，Σ為m×n的對角矩陣（非負對角元按降序排列）。請解釋對角矩陣Σ中的非零對角元（稱為奇異值）的幾何意義，并簡述如何利用SVD的前k個奇異值和對應(yīng)的U、V矩陣分量來近似原矩陣A。四、算法原理分析題（共22分）15.（11分）簡述區(qū)域生長算法的基本思想。在應(yīng)用區(qū)域生長算法進行圖像分割時，通常需要哪些條件或準則來決定一個像素是否可以加入到生長區(qū)域中？請至少列舉三種常見的生長準則。16.（11分）什么是圖像的積分圖像（SummedAreaTable）？請說明構(gòu)建積分圖像的過程（即如何計算積分圖像S(x,y)）。并解釋利用積分圖像計算圖像中任意矩形區(qū)域像素總和的優(yōu)越性（即為什么計算速度更快）。五、算法實現(xiàn)與應(yīng)用題（共25分）17.（25分）考慮一個簡單的圖像去噪問題。假設(shè)圖像受到加性高斯白噪聲的污染，即觀測到的像素值g(x,y)=f(x,y)+n(x,y)，其中f(x,y)是原始無噪聲圖像，n(x,y)是均值為0、方差為σ2的高斯噪聲。請基于以下兩種方法，分別描述如何估計原始圖像f(x,y)的值：(1)簡單的鄰域平均法：利用像素(x,y)及其鄰域內(nèi)的像素值進行平均。(2)中值濾波法：利用像素(x,y)及其鄰域內(nèi)的像素值的中值作為估計值。請分別說明這兩種方法的原理，并簡要討論它們的優(yōu)缺點（至少各提及一點）。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.D5.B解析思路：1.梯度定義為圖像灰度值變化最快的方向和速率，Sobel算子通過加權(quán)差分計算水平和垂直梯度分量，是常用方法。2.PCA通過正交變換將數(shù)據(jù)投影到方差最大的方向上，實現(xiàn)降維，并提取主要特征。3.SVD主要用于降維、去噪、重建等，邊緣檢測通常基于梯度和微分算子。4.平移僅改變像素坐標，不改變形狀和朝向，屬于線性變換，可用平移矩陣表示（在齊次坐標下為4x4矩陣，但在基礎(chǔ)講解中常簡化為2x2或3x3的線性部分）。5.貝葉斯分割的目標是最大化后驗概率，即判斷當前像素屬于某區(qū)域的概率有多大。二、填空題6.|?f|7.平均8.主成分分析(PCA)9.平行10.高斯(Gaussian)11.∑<0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA2>f<u><0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA3></u><0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA2>d<u><0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA3></u>d<u><0xE2><0x82><0x99><0xE1><0xB5><0xA2></u>(或f(u,v)dudv，表示積分)解析思路：6.梯度的模（或范數(shù)）表示該點灰度變化的最大速率。7.均值濾波器通過計算局部鄰域的平均值來平滑圖像，抑制噪聲，是一種簡單的線性濾波器。8.PCA通過求解協(xié)方差矩陣的特征向量來確定數(shù)據(jù)的主要變化方向（主成分），從而達到降維目的。9.仿射變換包括旋轉(zhuǎn)、縮放、平移、錯切等，它保持直線段的平行性。10.高斯濾波器是一種常用的加權(quán)平均濾波器，其權(quán)重由高斯函數(shù)決定，能更好地抑制噪聲并保持邊緣。11.積分圖像S(x,y)定義為從圖像左上角(0,0)到(x,y)區(qū)域所有像素值的和，可以通過累加和卷積推導(dǎo)得到該表達式。三、計算題12.Gx表達式：Gx=Σ(w(i,j)*f[i-1,j-1])+Σ(w(i,j)*f[i-1,j])+Σ(w(i,j)*f[i-1,j+1])-Σ(w(i,j)*f[i+1,j-1])-Σ(w(i,j)*f[i+1,j])-Σ(w(i,j)*f[i+1,j+1])Gy表達式：Gy=Σ(w(i,j)*f[i-1,j-1])+Σ(w(i,j)*f[i,j-1])+Σ(w(i,j)*f[i+1,j-1])-Σ(w(i,j)*f[i-1,j+1])-Σ(w(i,j)*f[i,j+1])-Σ(w(i,j)*f[i+1,j+1])解析思路：*Sobel算子通過3x3的加權(quán)模板計算梯度。Gx模板對第j列的像素求和時，使用的是(-1,0,1)的權(quán)重組合；Gy模板對第i行的像素求和時，使用的是(-1,0,1)的權(quán)重組合。高斯加權(quán)意味著這些權(quán)重需要乘以對應(yīng)的高斯核值。*Gx計算的是像素點沿x方向（右）的邊緣響應(yīng)，涉及當前行上一列、當前列和下一列的像素。Gy計算的是沿y方向（下）的邊緣響應(yīng)，涉及當前列上一行、當前行和下一行的像素。*表達式中的求和符號Σ代表對模板覆蓋的6個像素（中心點及其鄰近點）進行加權(quán)求和。需要明確指出哪些像素屬于Gx的加權(quán)集合，哪些屬于Gy的加權(quán)集合，并強調(diào)實際應(yīng)用中需使用高斯加權(quán)系數(shù)。13.關(guān)系式：g(x',y')=1.5*f(x,y)+50解析思路：*圖像變換關(guān)系g(x,y)=α*f(x,y)+β描述了一種線性變換，其中α是縮放因子，β是偏移量。*題目給出α=1.5，β=50，直接代入公式即可得到變換后像素值g與原始像素值f的關(guān)系。*這個變換可以看作是先對圖像進行垂直和水平方向上的1.5倍拉伸（α>1），然后整體向上平移50個單位（β>0）。14.解析思路：*奇異值的幾何意義：SVD分解中，矩陣A的奇異值Σ對角線上的元素σ?,σ?,...,σ_r（r為A的秩）表示了數(shù)據(jù)在由U的列向量（左奇異向量）和V的列向量（右奇異向量）張成的子空間中投影長度的平方根。它們衡量了A在對應(yīng)特征方向上的“重要性”或“能量”。特別地，σ?2是A的列空間到行空間投影的最大方差，σ?2是次大方差，依此類推。非零奇異值的大小決定了保留多少信息。*利用SVD進行近似：通過保留前k個（k≤min(m,n)）最大的奇異值σ?,...,σ?以及對應(yīng)的左奇異向量矩陣U的前k列U?和右奇異向量矩陣V的前k列V?，可以得到A的一個低秩近似A?≈U?Σ?V??。這個近似矩陣A?在保留A主要信息的同時，降低了矩陣的維度，可用于圖像壓縮、去噪（保留主要結(jié)構(gòu)，去除細節(jié)）等。選擇k的大小可以在精度和壓縮率/效率之間進行權(quán)衡。四、算法原理分析題15.基本思想：區(qū)域生長算法是一種迭代過程，從一個或多個種子像素（像素的灰度值或特征滿足特定閾值或條件）開始，將與其灰度值或特征相似且鄰接的像素合并到同一個生長區(qū)域中，直到?jīng)]有更多像素可以加入或滿足停止條件。生長準則：常見的生長準則包括：1.灰度/顏色閾值準則：新像素的灰度值（或顏色）必須與當前生長區(qū)域的平均灰度值（或顏色）之差小于某個閾值T。2.梯度幅度準則：新像素與當前生長區(qū)域的邊界像素之間的梯度幅度（即邊緣的尖銳程度）必須小于某個閾值T。適用于尋找平滑區(qū)域的內(nèi)部邊界。3.區(qū)域一致性準則：新像素需要滿足某些特定的灰度級或紋理特征，以與區(qū)域保持一致。解析思路：*區(qū)域生長的核心是“相似性”和“鄰接性”。它從一個小的初始區(qū)域開始，像“水漲船高”一樣不斷擴展。*生長準則定義了“相似性”的標準，即一個像素是否應(yīng)該被加入到當前區(qū)域。常見的標準基于灰度/顏色差異、邊緣信息或紋理特征。*需要區(qū)分種子選擇（用戶指定或自動選擇）和生長過程中的像素選擇。16.解析思路：*定義與構(gòu)建過程：圖像的積分圖像S(x,y)在點(x,y)處存儲的是圖像f(x,y)從左上角(0,0)到(x,y)區(qū)域內(nèi)所有像素值的總和。構(gòu)建過程可以通過雙重循環(huán)遍歷圖像的每個像素，利用已計算的積分值來累加得到當前點的積分值：S(x,y)=f(x,y)+S(x-1,y)+S(x,y-1)-S(x-1,y-1)。注意邊界條件需要特殊處理。*計算矩形區(qū)域和的優(yōu)越性：利用積分圖像計算任意矩形區(qū)域[ax,bx]×[ay,by]的像素總和（Sum）非常高效。其計算公式為Sum=S(bx,by)-S(ax-1,by)-S(bx,ay-1)+S(ax-1,ay-1)。這只需要訪問積分圖像中的4個點，而無需遍歷矩形區(qū)域內(nèi)的所有像素。對于大區(qū)域求和操作，這種方法將時間復(fù)雜度從O(N)降低到O(1)，極大提高了效率。這是積分圖像最核心的優(yōu)勢。五、算法實現(xiàn)與應(yīng)用題17.(1)簡單的鄰域平均法：*原理：該方法認為一個像素的值是其鄰域內(nèi)所有像素值的平均加權(quán)（這里權(quán)重相等）。對于去除加性噪聲，如果噪聲是零均值的，那么鄰域平均可以在一定程度上平滑噪聲，因為噪聲的平均值趨于零，而圖像信號的平均值則反映了局部區(qū)域的真實灰度。*方法描述：選擇一個鄰域大?。ㄈ?x3），對中心像素(x,y)及其鄰域內(nèi)的所有像素（例如9個像素）求平均值，將此平均值作為估計的f(x,y)。*優(yōu)點：實現(xiàn)簡單，計算量小。*缺點：會模糊圖像細節(jié)，導(dǎo)致邊緣模糊；對于邊緣點，鄰域內(nèi)可能包含很多背景像素，導(dǎo)致估計值偏離真實值。(2)中值濾波法：*原理：中值濾波器用其鄰域內(nèi)的像素值的中值來替換中心像素的值。對于去除椒鹽噪聲（S