2025年大學《應用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學專業(yè)學術(shù)交流論壇考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是來自X的樣本，則樣本方差S2的期望E(S2)等于：A.λ/nB.λC.λ(n-1)D.nλ2.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤α是指：A.接受H0，但H0為真B.拒絕H0，但H0為真C.接受H0，但H0為假D.拒絕H0，但H0為假3.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則隨機變量X和Y相互獨立的充分必要條件是：A.f(x,y)=fX(x)fY(y)對所有x,y成立B.f(x,y)可以分解為關(guān)于x和關(guān)于y的函數(shù)之積C.E(XY)=E(X)E(Y)D.Cov(X,Y)=04.對于一元線性回歸模型Y=β0+β1X+ε，若要檢驗H0:β1=0，應使用的檢驗統(tǒng)計量是：A.t統(tǒng)計量B.F統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.Z統(tǒng)計量5.從總體中抽取樣本，若要使樣本均值μ?的抽樣分布方差最小，應采用哪種抽樣方法？A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣二、填空題（每小題2分，共10分）6.若X~N(μ,σ2)，則X的標準化變量Z=(X-μ)/σ服從______分布。7.在方差分析中，離差平方和SS總可以分解為______和______之和。8.設(shè)一批產(chǎn)品的次品率為p，進行重復抽樣檢查，為使次品數(shù)X至少有90%的概率不超過次品率的3倍，至少應抽取______個產(chǎn)品進行檢查。（用泊松近似）9.已知事件A,B互斥，P(A)=0.4，P(B)=0.5，則P(A∪B)=______。10.隨機變量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=0.25，則E(X2)=______。三、計算題（每小題8分，共32分）11.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)={2(1-x),0<x<1;{0,其他。從中抽取容量為n=4的樣本，樣本觀測值為x1=0.3,x2=0.7,x3=0.2,x4=0.8。(1)求樣本均值μ?的觀測值。(2)求樣本方差S2的觀測值。12.某研究人員想檢驗一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。設(shè)新藥有效率為p1，現(xiàn)有藥物有效率為p2=0.6?，F(xiàn)隨機抽取200名患者，其中100名服用新藥，100名服用現(xiàn)有藥物。服用新藥的患者中有65人有效。假設(shè)檢驗的原假設(shè)H0:p1=p2，備擇假設(shè)H1:p1>p2。請計算該檢驗的拒絕域（α=0.05）。13.某公司想研究廣告投入額X（單位：萬元）與銷售額Y（單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機抽取了5組數(shù)據(jù)，得到以下結(jié)果：Σx=15,Σy=200,Σx2=64,Σy2=4220,Σxy=765。假設(shè)Y與X滿足一元線性回歸模型Y=β0+β1X+ε。(1)求Y關(guān)于X的線性回歸方程。(2)求回歸系數(shù)β1的點估計值，并解釋其經(jīng)濟含義。14.某工廠生產(chǎn)某種零件，已知零件重量X服從正態(tài)分布N(μ,2.52)。現(xiàn)從中抽取容量為n=36的樣本，樣本均重為μ?=50.1克。檢驗該批零件的平均重量是否顯著大于50克？（α=0.05）四、簡答題（每小題10分，共20分）15.簡述假設(shè)檢驗中犯第一類錯誤和犯第二類錯誤的含義及其之間的關(guān)系。16.解釋什么是抽樣分布？為什么研究抽樣分布對統(tǒng)計推斷很重要？五、論述題（12分）17.在進行回歸分析時，如何判斷所建立的線性回歸模型是否合適？請從模型擬合優(yōu)度、殘差分析、自變量多重共線性等方面進行論述。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.A5.B二、填空題6.標準正態(tài)7.離差平方和S組間，離差平方和S誤差8.159.0.910.4.75三、計算題11.(1)μ?=(0.3+0.7+0.2+0.8)/4=0.5(2)S2=[((0.3-0.5)2+(0.7-0.5)2+(0.2-0.5)2+(0.8-0.5)2)/(4-1)]=[(0.04+0.04+0.09+0.09)/3]=0.2612.計算樣本比例p?_新=65/100=0.65,p?_舊=0.6。檢驗統(tǒng)計量Z=(p?_新-p?_舊)/sqrt(p_(1-α)*(1-p?_新)/n1+p_(1-α)*(1-p?_舊)/n2)。在α=0.05時，Zcrit=1.645。拒絕域為Z>1.645。計算Z=(0.65-0.6)/sqrt(0.95*0.35/100+0.95*0.4/100)=0.05/sqrt(0.003325+0.0038)=0.05/sqrt(0.007125)=0.05/0.0843=0.5918。由于0.5918<1.645，未落入拒絕域。不能拒絕H0，即沒有足夠證據(jù)認為新藥有效率更高。13.(1)b1=(5*765-15*200)/(5*64-15*15)=(3825-3000)/(320-225)=825/95=8.7368。b0=(1/5)*200-8.7368*(1/5)*15=40-8.7368*3=40-26.2104=13.7896。回歸方程為Y=13.7896+8.7368X。(2)β1的點估計值為b1=8.7368。其經(jīng)濟含義是，廣告投入額每增加1萬元，預計銷售額將增加8.7368萬元。14.H0:μ=50,H1:μ>50。檢驗統(tǒng)計量t=(μ?-μ?)/(s/sqrt(n))=(50.1-50)/(2.5/sqrt(36))=0.1/(2.5/6)=0.1/0.4167=0.24。在α=0.05，df=n-1=35時，tcrit≈1.690。拒絕域為t>1.690。由于0.24<1.690，未落入拒絕域。不能拒絕H0，即沒有足夠證據(jù)認為平均重量大于50克。四、簡答題15.犯第一類錯誤是指H0為真時，錯誤地拒絕了H0，其概率為α。犯第二類錯誤是指H0為假時，錯誤地接受了H0，其概率為β。α和β的關(guān)系是：在其他條件不變時，減小α會增大β，反之亦然。16.抽樣分布是指樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）自身的分布規(guī)律。研究抽樣分布是因為我們往往無法獲取總體數(shù)據(jù)，需要通過樣本信息來推斷總體特征。了解抽樣分布有助于我們計算統(tǒng)計量的抽樣誤差，構(gòu)建置信區(qū)間，并進行假設(shè)檢驗。五、論述題17.判斷線性回歸模型是否合適，主要從以下幾個方面：(1)模型擬合優(yōu)度：通過判定系數(shù)R2或調(diào)整后的R2來衡量。R2越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)的解釋程度越高。(2)殘差分析：殘差是觀測值與模型預測值之差。應檢查殘差是否服從正態(tài)分布、方差是否恒定（同方差性）、是否存在自相關(guān)、是否存在異質(zhì)性?？赏ㄟ^繪制殘差圖（如殘差與預測值散點圖、殘差正態(tài)概率圖）進行初步判斷。(3)自變量多重共線性：當模型中自變量之間存在