2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——數學在中風疾病研究中的貢獻考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：以下題目均為必做題，請仔細閱讀題目要求，并在答題紙上按要求作答。1.考慮一個描述中風后腦部血流動力學變化的數學模型，該模型可以用如下的非線性微分方程組表示：$$\frac{dQ_i}{dt}=-\sum_{j\neqi}\frac{Q_iQ_j}{R_{ij}}+\frac{Q_S}{N}$$其中，$i,j=1,2,...,N$代表不同的腦區(qū)，$Q_i$表示第$i$個腦區(qū)的血流速率，$Q_S$表示總供血速率，$N$是腦區(qū)的總數，$R_{ij}$是第$i$個腦區(qū)與第$j$個腦區(qū)之間的血管阻力。假設所有血管阻力$R_{ij}$都相等，記為$R$。請推導出該模型的平衡點，并分析這些平衡點的生理意義。進一步，假設$N=3$，$Q_S=1$，$R=1$，討論該系統(tǒng)可能的穩(wěn)定性。2.某研究機構收集了100名中風患者的臨床數據，包括年齡（歲）、收縮壓（mmHg）、糖尿病病史（是/否，記為0/1）和中風嚴重程度評分（記為Score）。研究人員希望利用這些數據建立模型預測中風嚴重程度。他們首先計算了各變量的基本統(tǒng)計量，并進行了相關性分析。請描述至少三種不同的數學方法可以用于構建這樣的預測模型，并簡述每種方法的原理及其在該問題中可能的應用側重點。假設研究人員選擇了線性回歸模型，請寫出其基本形式，并解釋模型中系數的潛在生物學意義。如果發(fā)現(xiàn)年齡與Score的相關系數為正，收縮壓與Score的相關系數為負，但模型整體檢驗不顯著，請分析可能的原因。3.中風病灶的準確識別對于治療至關重要。假設通過MRI獲取的某患者腦部圖像可被視為一個二維矩陣$f(x,y)$，其中像素值代表該位置的信號強度。為了分割出中風病灶區(qū)域，研究人員提出了如下基于數學形態(tài)學的算法：首先對圖像$f$應用一個結構元素$B$進行膨脹操作，得到$f\oplusB$；然后對膨脹后的圖像進行腐蝕操作，得到$(f\oplusB)\ThetaB$。請解釋膨脹和腐蝕操作的數學定義，并說明這兩個操作的組合（先膨脹后腐蝕）通常能夠達到什么效果。在實際應用中，選擇不同的結構元素$B$會對分割結果產生什么影響？請討論。4.血管再通治療（如溶栓或介入手術）的目標是盡可能快地恢復中風核心區(qū)域的血流。假設某段血管的長度為$L$，初始時刻完全阻塞，血流恢復過程可以用如下積分-微分方程描述：$$\frac{dV}{dt}=k\left(1-\frac{V}{V_{max}}\right)\sqrt{V_{max}-V}$$其中，$V(t)$表示時刻$t$時已打通的血管體積比例（$0\leV(t)\le1$），$k$是反映治療效率的常數，$V_{max}=1$代表血管完全暢通時的體積。請求出該微分方程的通解，并解釋解中各部分的物理意義。討論當$k$取不同值時，血流恢復的速度會有何不同。若將此模型擴展到一維血管網絡，需要引入哪些額外的數學概念或方程？5.在中風康復治療中，優(yōu)化康復資源的分配是一個重要問題。假設有$m$種不同的康復資源（如物理治療師、言語治療師、輔助設備等），需要分配給$n$個不同的患者。每種資源有不同的可用數量，每位患者對不同資源的需求也不同，目標是最大化整體的康復效果或滿意度。請建立一個線性規(guī)劃模型來描述這個問題，明確模型中的決策變量、目標函數和約束條件。解釋模型中約束條件的意義。如果某個約束條件代表某種資源的總分配量不能超過其可用量，這個約束在數學上如何表達？6.假設一項研究旨在比較兩種不同的中風預防藥物（藥物A和藥物B）的有效性。研究人員隨機選取了200名有中風風險的健康個體，將其均分為兩組，分別服用藥物A和藥物B，追蹤一年后記錄每組新發(fā)中風的人數。實驗結果顯示，藥物A組有10人中風，藥物B組有18人中風。請設計一個合適的統(tǒng)計檢驗方法來比較這兩種藥物的預防效果，并說明檢驗的基本原理。假設你選擇了卡方檢驗，請寫出檢驗統(tǒng)計量的公式，并解釋其計算依據。如果檢驗結果拒絕原假設，你將如何解釋這個結果？試卷答案1.解析思路：首先令微分方程組右邊等于零，求解$Q_i$的平衡值。由于假設所有$R_{ij}=R$，方程組簡化為每個腦區(qū)的流量變化僅受其他腦區(qū)流量和總供血的影響。平衡點滿足$\frac{dQ_i}{dt}=0$，推導出每個腦區(qū)的平衡流量$Q_i^*$。將$Q_i=Q_j=Q_S/N$代入并簡化，得到所有腦區(qū)的平衡流量都相等，均為$Q_i^*=Q_S/(N+1)$。生理意義：代表在沒有外部干擾且各腦區(qū)間血管阻力均勻的情況下，每個腦區(qū)穩(wěn)定狀態(tài)下的血流分配。穩(wěn)定性分析需要計算雅可比矩陣，在平衡點處求導數，根據特征值的符號判斷穩(wěn)定性。對于簡單模型，可分析當某個腦區(qū)流量略偏離平衡時，恢復力是使其回到平衡點還是進一步偏離。2.解析思路：構建預測模型的方法有多種。線性回歸模型原理：假設目標變量與一個或多個自變量之間存在線性關系，通過最小化殘差平方和來估計模型參數。適用于初步建立預測關系，易于解釋。原理：利用數據點擬合最佳直線（或多條平面的組合）。應用側重：預測中風嚴重程度評分。邏輯回歸模型原理：將分類變量（如中風是否發(fā)生，可轉化為嚴重程度等級的劃分）與自變量關聯(lián)，輸出概率。適用于預測事件發(fā)生的可能性。應用側重：預測中風發(fā)生的概率或風險分層。決策樹模型原理：基于數據遞歸分割，形成決策路徑。應用側重：識別影響嚴重程度的關鍵因素，提供規(guī)則解釋。支持向量機原理：在高維空間中尋找最優(yōu)超平面劃分不同類別。應用側重：在高維特征數據中尋找復雜非線性關系。系數意義：在線性回歸中，系數表示當自變量變化一個單位時，預測值（Score）平均變化的量，具有明確的生物學解釋（如年齡每增加一歲，評分平均增加多少）。相關性高但模型不顯著，可能原因：線性關系不成立、存在重要遺漏變量、樣本量不足、測量誤差大、多重共線性等。3.解析思路：膨脹操作$\oplusB$定義為：$f\oplusB(x,y)=\max_{(i,j)\in\Omega_B}f(x+i,y+j)$，其中$\Omega_B$是結構元素$B$的支撐集。腐蝕操作$\ThetaB$定義為：$f\ThetaB(x,y)=\min_{(i,j)\in\Omega_B}f(x-i,y-j)$。先膨脹后腐蝕（$(f\oplusB)\ThetaB$）的效果是去除$f$中比結構元素$B$更小的對象，同時保持較大對象的形狀基本不變，可以分離緊密粘連的對象。選擇不同結構元素$B$的影響：$B$的形狀、大小、方向會影響操作的效果。例如，使用圓形結構元素比使用方形結構元素更能保持圓形物體的形狀，使用較大尺寸的結構元素會去除更小的噪聲或細節(jié)。4.解析思路：這是一個關于$V$的非線性微分方程。令$u=\sqrt{V_{max}-V}=\sqrt{1-V}$，則$V=1-u^2$，且$\frac{dV}{dt}=-2u\frac{du}{dt}$。代入原方程得：$-2u\frac{du}{dt}=ku(1-u^2)^{1/2}$。消去$u$（$u\neq0$）得：$\frac{du}{dt}=-\frac{k}{2}(1-u^2)$。這是一個可分離變量的方程。分離變量并積分：$\int\frac{1}{1-u^2}du=-\frac{k}{2}\intdt$。積分結果為：$\text{arctanh}(u)=-\frac{k}{2}t+C$。將$u=\sqrt{1-V}$代回：$\text{arctanh}(\sqrt{1-V})=-\frac{k}{2}t+C$。解出$V$：$\sqrt{1-V}=\tanh(\text{arcosh}(\cosh(C)))$，由于$\tanh(x)$的值域是$(-1,1)$，$\text{arcosh}(y)$的定義域是$[1,\infty)$，故$\cosh(C)\ge1$。設$\cosh(C)=e^a$($a\ge0$)，則$\sqrt{1-V}=\tanh(e^a)$。利用恒等式$\tanh(e^a)=\frac{e^{2a}-1}{e^{2a}+1}$，得到$1-V=\frac{(e^{2a}-1)^2}{(e^{2a}+1)^2}$。解出$V$：$V(t)=1-\frac{(e^{2a}-1)^2}{(e^{2a}+1)^2}=\frac{4e^{2a}}{(e^{2a}+1)^2}$。利用$e^a=\cosh(C)$，最終得到$V(t)=\frac{4\cosh^2(C)}{(e^{2a}+1)^2}=\frac{4\cosh^2(C)}{(\cosh(C)+\sinh(C))^2}=\frac{4}{(\cosh(C)+\sinh(C))^2}=\frac{4}{(e^C+e^{-C})^2}=\frac{4}{\cosh(2C)}$。通解為$V(t)=\frac{4}{\cosh(2C-kt)}$。物理意義：$V(t)$表示隨時間$t$恢復暢通的血管體積比例。系數$k$反映治療效率，$k$越大，$\frac{dt}{dV}$越大，表示恢復速度越快。擴展到一維網絡，需要考慮血管的串聯(lián)和并聯(lián)連接，可能需要引入網絡流理論中的節(jié)點流量守恒方程和邊端流量連續(xù)性方程，以及圖論中的路徑和流的概念。5.解析思路：定義決策變量$x_{ij}$為分配給患者$j$的資源$i$的數量。目標函數可以是最大化總滿意度或最小化總成本。例如，最大化總滿意度：$\text{Maximize}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}U_{ij}x_{ij}$，其中$U_{ij}$是患者$j$獲得資源$i$的滿意度。約束條件包括：每種資源的總分配量不能超過其可用量：$\sum_{j=1}^{n}x_{ij}\leqR_i$，$i=1,...,m$。每個患者的總資源需求量有限制：$\sum_{i=1}^{m}x_{ij}\leqC_j$，$j=1,...,n$。變量非負：$x_{ij}\geq0$，$i=1,...,m;j=1,...,n$。約束條件意義：第一個約束保證資源使用的合理性，不超量；第二個約束保證患者獲得的服務量在可接受范圍內。數學表達：$\sum_{j=1}^{n}x_{ij}\leqR_i$。6.解析思路：比較兩組率（藥物預防效果）的統(tǒng)計檢驗方法常用卡方檢驗（Chi-squaredtest）或費舍爾精確檢驗（Fisher'sexacttest），取決于樣本量大小。原理：卡方檢驗基于樣本觀察頻數與期望頻數（基于無效應假設下的理論頻數）之間的差異。如果差異足夠大（統(tǒng)計量足夠高），則認為觀察到的差異并非偶然，有理由拒絕無效應的原假設。費舍爾精確檢驗直接計算在給定邊際總數的情況下，觀察到當前或更極端結果的概率（精確P值）。選擇卡方檢驗時，計算統(tǒng)計量公式為$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$，其中$O_i$是第$i$組的觀察頻數（藥物A組10人，藥物B組18人中風），$E_i$是第$i$組在無效應假設下的期望頻數。期望頻數$E_i=(