2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——代數(shù)結(jié)構(gòu)與密碼安全的關(guān)系考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述群、環(huán)、域的定義，并說明它們之間的主要區(qū)別。二、設(shè)\(G=(\mathbb{Z}_{11},+)\)和\(G'=(\mathbb{Z}_{11}^*,\cdot)\)，其中\(zhòng)(\mathbb{Z}_{11}\)表示模11的整數(shù)集合，\(+\)表示普通加法，\(\mathbb{Z}_{11}^*=\{[1],[2],\ldots,[10]\}\)表示\(\mathbb{Z}_{11}\)中非零元關(guān)于乘法構(gòu)成的乘法群。求\(G'\)的階，并找出\(G'\)中元素\([5]\)的階。三、解釋離散對(duì)數(shù)問題(DLP)的定義，并說明它在基于群論的公鑰密碼體制（如Diffie-Hellman密鑰交換）中的核心作用。四、有限域\(\mathbb{F}_p\)（其中\(zhòng)(p\)是素?cái)?shù)）具有哪些重要性質(zhì)？請(qǐng)至少列舉三點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說明。五、高級(jí)加密標(biāo)準(zhǔn)(AES)利用了有限域\(\mathbb{F}_{2^8}\)上的什么運(yùn)算？這些運(yùn)算對(duì)AES的安全性有哪些貢獻(xiàn)？六、RSA公鑰密碼體制的安全性基于什么數(shù)學(xué)難題？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明該難題的含義，并解釋為什么選擇兩個(gè)大的素?cái)?shù)\(p\)和\(q\)是RSA安全的關(guān)鍵。七、橢圓曲線密碼學(xué)(ECC)中的橢圓曲線通常滿足什么方程（給出一般形式）？橢圓曲線上的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群，請(qǐng)簡(jiǎn)述這個(gè)群運(yùn)算的定義，并說明ECC的安全性為何與橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)問題(ECDLP)的難度相關(guān)。八、為什么說尋找大整數(shù)分解的困難性是RSA密碼體制安全的基礎(chǔ)？請(qǐng)結(jié)合整數(shù)環(huán)\(\mathbb{Z}\)和\(\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)的性質(zhì)進(jìn)行解釋。九、考慮一個(gè)基于有限域\(\mathbb{F}_p\)上的ElGamal密碼體制。假設(shè)公鑰為\((p,g,h)\)，其中\(zhòng)(g\)是基點(diǎn)，\(h=g^a\modp\)是密鑰\(a\)的公開信息。發(fā)送方想要發(fā)送消息\(m\in\mathbb{F}_p\)給接收方。請(qǐng)寫出加密過程和接收方解密過程的詳細(xì)步驟。十、描述一下有限域\(\mathbb{F}_{2^n}\)是如何通過尋找不可約多項(xiàng)式來構(gòu)造的？為什么構(gòu)造\(\mathbb{F}_{2^n}\)對(duì)于現(xiàn)代密碼學(xué)（如AES）至關(guān)重要？十一、分析基于群論的公鑰密碼體制（如D-H或ElGamal）與基于有限域（特別是\(\mathbb{F}_{2^n}\)）的公鑰密碼體制（如某些類型的AES或其他對(duì)稱密碼設(shè)計(jì)元素）在數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用側(cè)重點(diǎn)上的主要區(qū)別。十二、假設(shè)你正在設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的密碼系統(tǒng)，要求基于一個(gè)階為\(n\)的循環(huán)群\(G\)。你選擇了群運(yùn)算和生成元\(g\)。發(fā)送方想要發(fā)送一個(gè)秘密消息\(m\inG\)（可以理解為群中某個(gè)元素）。請(qǐng)描述一個(gè)基于此群和離散對(duì)數(shù)難度的加密和解密方案。你需要明確說明加密密鑰、解密密鑰的生成方式，以及加密和解密的具體步驟。試卷答案一、群：一個(gè)集合\(G\)配備一個(gè)二元運(yùn)算\(\cdot\)，滿足結(jié)合律，存在單位元\(e\)，每個(gè)元素\(a\inG\)存在逆元\(a^{-1}\)。環(huán)：一個(gè)集合\(R\)配備兩個(gè)二元運(yùn)算\(+\)和\(\cdot\)，滿足\((R,+)\)是交換群，\((R,\cdot)\)是半群，分配律成立。域：一個(gè)交換環(huán)\(F\)，且\((F\setminus\{0\},\cdot)\)是交換群。主要區(qū)別：域要求乘法運(yùn)算中除零元外所有元素都有逆元，而環(huán)不一定滿足；域是交換環(huán)，環(huán)不一定是交換環(huán)。二、\(G'\)的階為\(\phi(11)=10\)。\([5]^{10}\equiv[1]\mod11\)，所以\([5]\)的階為5。三、離散對(duì)數(shù)問題(DLP)：給定有限群\(G\)的階\(n\)、生成元\(g\)和元素\(h\inG\)，求整數(shù)\(x\)使得\(g^x\equivh\modn\)。核心作用：許多基于群論的公鑰密碼體制（如Diffie-Hellman、ElGamal、ECC）的安全性依賴于求解DLP的計(jì)算難度。其工作原理通常涉及生成密鑰、加密消息（將信息編碼為群元素，并用接收方的公鑰進(jìn)行變換）和解密消息（利用接收方的私鑰反變換信息）。四、有限域\(\mathbb{F}_p\)的性質(zhì)：1.元素個(gè)數(shù)為\(p\)（素?cái)?shù)）。2.加法和乘法運(yùn)算封閉，且構(gòu)成交換群。3.運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。4.每個(gè)非零元都有乘法逆元。這些性質(zhì)使得\(\mathbb{F}_p\)具有完美的代數(shù)結(jié)構(gòu)，運(yùn)算規(guī)則明確，模\(p\)運(yùn)算簡(jiǎn)潔，非常適合用于需要精確計(jì)算和良好結(jié)構(gòu)性的密碼學(xué)算法（如AES的S盒）。五、AES利用了有限域\(\mathbb{F}_{2^8}\)上的加法（模2多項(xiàng)式加法）和乘法（模一個(gè)特定不可約多項(xiàng)式\(x^8+x^4+x^3+x+1\)的乘法）。貢獻(xiàn)：這些運(yùn)算的非線性和混淆特性是AES強(qiáng)大代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，有助于抵抗線性分析和差分分析等攻擊，提供高級(jí)別的混淆和擴(kuò)散，增強(qiáng)密碼的強(qiáng)度。六、RSA的安全性基于分解大整數(shù)\(n=p\timesq\)的困難性（屬于整環(huán)\(\mathbb{Z}\)中的問題）。含義：對(duì)于足夠大的\(p\)和\(q\)，在當(dāng)前計(jì)算能力下，沒有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以高效地分解\(n\)。關(guān)鍵：公鑰\(n\)和\(\phi(n)\)可以由\(p\)和\(q\)計(jì)算得到，但私鑰\(d\)需要從\(e\)和\(\phi(n)\)中通過計(jì)算\(d=e^{-1}\mod\phi(n)\)得到，而這個(gè)計(jì)算依賴于\(\phi(n)=(p-1)(q-1)\)，其計(jì)算需要知道\(p\)和\(q\)。因此，保護(hù)私鑰\(d\)就轉(zhuǎn)化為保護(hù)\(p\)和\(q\)，使其難以分解。七、橢圓曲線通常滿足\(y^2=x^3+ax+b\)形式的方程（其中\(zhòng)(a,b\in\mathbb{F}_p\)且\(4a^3+27b^2\neq0\)以保證曲線非奇異）。群運(yùn)算定義：對(duì)于點(diǎn)\(P\)和\(Q\)在橢圓曲線上，定義1.若\(P\neqQ\)，則\(P+Q\)是通過\(P\)和\(Q\)的弦的中點(diǎn)在曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)\(\mathcal{O}\)的對(duì)稱點(diǎn)。2.若\(P=Q\)，則\(P+P\)是通過\(P\)的切線與曲線的交點(diǎn)的另一點(diǎn)關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)\(\mathcal{O}\)的對(duì)稱點(diǎn)。3.\(P+\mathcal{O}=P\)，\(\mathcal{O}\)作為單位元。ECC安全性：ECDLP難度是指給定基點(diǎn)\(G\)、其冪\(h\)和一個(gè)點(diǎn)\(R\)，求指數(shù)\(k\)使得\(R=G^k\)。ECC的安全性依賴于證明ECDLP至少與DLP具有相同的計(jì)算難度。如果ECDLP易解，則可以破解許多基于DLP的密碼系統(tǒng)，反之亦然，這使得ECC成為一種強(qiáng)大的抗量子（理論上）和經(jīng)典計(jì)算安全的密碼學(xué)方案。八、尋找大整數(shù)分解的困難性是RSA安全的基礎(chǔ)，源于整數(shù)環(huán)\(\mathbb{Z}\)的結(jié)構(gòu)。解釋：RSA的公鑰是\(n=p\timesq\)，私鑰的計(jì)算依賴于\(\phi(n)=(p-1)(q-1)\)。要從\(n\)推導(dǎo)出\(p\)和\(q\)，即解決分解\(n\)的問題。目前沒有已知的polynomial-time算法可以高效分解足夠大的\(n\)（即\(p\)和\(q\)都很大時(shí)）。如果分解\(n\)是容易的，那么就可以輕易計(jì)算出\(\phi(n)\)，進(jìn)而計(jì)算出私鑰\(d\)。因此，\(n\)的安全性（即難以分解）直接保證了RSA系統(tǒng)的安全性。九、加密過程：1.接收方選擇一個(gè)隨機(jī)整數(shù)\(k\in\{1,2,\ldots,n-1\}\)。2.計(jì)算密文\(C_1=g^k\modp\)和\(C_2=m\cdoth^k\modp\)。3.發(fā)送\(C_1\)和\(C_2\)給接收方。解密過程：1.接收方已知私鑰\(a\)。2.計(jì)算\(k'=C_1^{a}\cdotC_2^{-1}\modp\)。*\(C_1^{a}\equiv(g^k)^a\equivg^{ka}\modp\)。*\(C_2^{-1}\equiv(m\cdoth^k)^{-1}\equivm^{-1}\cdot(h^k)^{-1}\equivm^{-1}\cdoth^{-k}\modp\)。*\(C_1^{a}\cdotC_2^{-1}\equivg^{ka}\cdotm^{-1}\cdoth^{-k}\equivm^{-1}\cdot(g\cdoth)^{ka}\equivm^{-1}\cdot(g^{a}\cdoth^{a})^{k}\equivm^{-1}\cdoth^{k}\equivm\modp\)。3.恢復(fù)消息\(m\)。十、構(gòu)造\(\mathbb{F}_{2^n}\)：1.選擇一個(gè)\(x^2+x+c\)形式的多項(xiàng)式\(f(x)\)，其中\(zhòng)(c\in\mathbb{F}_{2}\)，且\(f(x)\)在\(\mathbb{F}_{2}[x]\)中是不可約的（即不能分解為兩個(gè)非常數(shù)多項(xiàng)式的乘積）。2.\(\mathbb{F}_{2^n}\)定義為模\(2^n\)剩余類環(huán)\(\mathbb{Z}_{2^n}\)中所有次數(shù)小于\(n\)的多項(xiàng)式，并定義多項(xiàng)式加法和乘法，以及一個(gè)乘法單位元。3.定義一個(gè)乘法運(yùn)算，使得每個(gè)非零元\(g(x)\)都有乘法逆元，通常通過選擇一個(gè)生成元\(\alpha\)，使得\(\mathbb{F}_{2^n}\)中的所有非零元都是\(\alpha\)的不同冪（即\(\mathbb{F}_{2^n}=\{0,\alpha^0,\alpha^1,\ldots,\alpha^{n-1}\}\)），且\(\alpha^{2^n}\equiv1\modf(x)\)。重要性：\(\mathbb{F}_{2^n}\)提供了\(2^n\)個(gè)元素的有限域，其結(jié)構(gòu)良好，運(yùn)算明確。AES的S盒就是基于\(\mathbb{F}_{2^8}\)上的非線性代數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)的，這些函數(shù)的特性和安全性高度依賴于\(\mathbb{F}_{2^8}\)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。十一、區(qū)別：1.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：基于群論的系統(tǒng)主要利用群的運(yùn)算和離散對(duì)數(shù)問題（如D-H,ElGamal），強(qiáng)調(diào)元素的冪運(yùn)算和組合。基于有限域（特別是\(\mathbb{F}_{2^n}\)）的系統(tǒng)（如AES）更側(cè)重于域上的多項(xiàng)式運(yùn)算、模運(yùn)算和非線性代數(shù)函數(shù)（如S盒）。2.應(yīng)用領(lǐng)域：基于群論的系統(tǒng)主要用于公鑰密碼（加密、簽名），如RSA、ECC、Diffie-Hellman密鑰交換?；谟邢抻虻南到y(tǒng)既可以用于公鑰密碼（如某些ElGamal變種），更常用于對(duì)稱密碼（如AES的設(shè)計(jì)元素），強(qiáng)調(diào)速度和效率。3.運(yùn)算特點(diǎn)：群論系統(tǒng)中的運(yùn)算可能更接近于指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算。有限域系統(tǒng)（特別是\(\mathbb{F}_{2^n}\)）中的運(yùn)算涉及多項(xiàng)式模不可約多項(xiàng)式的乘法、加法和逆元計(jì)算，以及非線性查找表（如S盒）。4.安全模型：基于群論的系統(tǒng)安全通常基于困難的離散對(duì)數(shù)問題?；谟邢抻虻南到y(tǒng)（如AES）的安全通過代數(shù)結(jié)構(gòu)（如域特性）和非線性運(yùn)算帶來的混淆和擴(kuò)散來實(shí)現(xiàn)，抵抗特定類型的分析攻擊。十二、設(shè)計(jì)基于循環(huán)群\(G\)和離散對(duì)數(shù)難度的密碼系統(tǒng)：1.選擇：選擇一個(gè)階為\(n\)的循環(huán)群\(G\)，其運(yùn)算為\(\cdot\)，生成元為\(g\)。選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)\(k\)作為發(fā)送方的私鑰，其中\(zhòng)(1\leqk\leqn-1\)。2.加密密鑰：公開\(g\)和\(G\)的階\(n\)。3.加密過程：發(fā)送方接收消息\(m\inG\)。選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)\(r\in\{1,2,\ldots,n-1\}\)。計(jì)算密文\(C=g^r\cdotm\cdoth^r\)，其中\(zhòng)(h\)是接收方的公開信息（例如，可以是接收方的公鑰，如果\(h=g^{a}\)且接收方私鑰為\(a\)，則\(C\)可以解密為\(m\)）。發(fā)送\(C\)。4.解密過程：接收方已知私鑰\(a\)。計(jì)算\(C\cdoth^{-r}=(g^r\cdotm