2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學建模在軍事戰(zhàn)略規(guī)劃中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學建模在解決軍事戰(zhàn)略規(guī)劃問題中的重要作用。請結合具體實例說明數(shù)學模型如何幫助軍事決策者分析問題、預測結果和優(yōu)化方案。二、某次軍事行動需要在不同地區(qū)部署兩種類型的兵力（記為A和B）。根據(jù)情報，地區(qū)1對兵力A的需求強度為每周100個單位，對兵力B的需求強度為每周50個單位；地區(qū)2對兵力A的需求強度為每周70個單位，對兵力B的需求強度為每周80個單位?，F(xiàn)有兵力A總量為1000個單位，兵力B總量為800個單位。由于運輸能力的限制，每次調動一個單位的兵力A需要2個單位的時間，調動一個單位的兵力B需要1個單位的時間。請問：如何制定兵力A和B的分配方案（即分別向地區(qū)1和地區(qū)2調動多少單位），使得在滿足兩地需求的前提下，總的調動時間最少？請建立數(shù)學模型描述這個問題，并寫出模型中涉及的主要參數(shù)和約束條件。三、在一場防御戰(zhàn)中，防御方在某區(qū)域設置了多個炮臺用于攔截來襲的敵方導彈。假設該區(qū)域可以抽象為一個平面上的矩形，敵方導彈可能從矩形區(qū)域的任一邊部進入。每個炮臺可以覆蓋其附近一個圓形區(qū)域，且導彈一旦進入某個炮臺的覆蓋范圍，就會被攔截。為了最大化防御效果，需要在該矩形區(qū)域內選擇若干個位置部署炮臺，使得所有可能的導彈來襲路徑至少有一個炮臺進行覆蓋。請簡述如何將此問題轉化為一個圖論模型。你需要說明圖中對應的頂點、邊以及如何定義覆蓋關系。四、考慮一個簡單的后勤補給問題：一支軍隊在野外執(zhí)行任務，需要沿途設立補給站。假設軍隊總人數(shù)為N，每個人每天消耗一定的能量（記為E）。軍隊以恒定速度v行進。現(xiàn)有M個大小相同的補給包，每個補給包內含有總量為Q的能量。為了使所有士兵能夠持續(xù)行進到目的地，需要合理規(guī)劃補給站的設置地點和補給量。假設每個補給站設置需要消耗一定的時間和資源，且補給包的運輸速度低于軍隊行進速度。請構建一個數(shù)學模型，描述如何確定補給站的最佳設置數(shù)量和位置（簡化為沿直線路徑上的若干個點），以及如何分配每個補給站的補給量，使得滿足能量需求的前提下，補給站的設置和運輸成本最小。請說明模型中可能涉及的關鍵變量和目標函數(shù)。五、某軍事基地需要決定是否啟動一項成本高昂但潛在的防御技術研發(fā)項目。如果啟動項目，需要投入初始成本C1。項目研發(fā)成功后，可以提升基地的防御能力，預計在未來戰(zhàn)爭中節(jié)省下的損失為C2。項目研發(fā)存在一定的失敗風險，失敗概率為p。如果項目失敗，則損失初始投入C1。假設戰(zhàn)爭發(fā)生的概率為q，戰(zhàn)爭一旦發(fā)生，基地若無該技術將遭受損失L，若有該技術則損失為L'(L'<L)。請建立一個數(shù)學模型（可以是決策模型或隨機決策模型），分析基地是否應該啟動該技術研發(fā)項目。需要明確模型的結構、決策變量、狀態(tài)變量以及目標函數(shù)或決策準則。試卷答案一、數(shù)學建模通過將軍事戰(zhàn)略規(guī)劃中的復雜現(xiàn)象抽象化為數(shù)學結構（如方程、不等式、圖等），能夠量化分析各種因素及其相互作用，從而為決策提供科學依據(jù)。例如，通過運籌學模型可以進行兵力部署優(yōu)化，最小化總調動時間或最大化戰(zhàn)場覆蓋效能；通過概率統(tǒng)計模型可以預測敵方行動的可能性或評估不同戰(zhàn)略方案的成功率；通過系統(tǒng)動力學模型可以模擬戰(zhàn)爭進程，分析各變量間的反饋機制。這些模型有助于決策者更清晰地認識問題、更準確地預測outcome、更有效地分配資源，從而做出更優(yōu)的軍事戰(zhàn)略決策。二、模型:這是一個典型的線性規(guī)劃問題。主要參數(shù):*地區(qū)1需求：A1=100,B1=50*地區(qū)2需求：A2=70,B2=80*總兵力：A_total=1000,B_total=800*調動時間系數(shù)：tA=2(單位A時間),tB=1(單位B時間)決策變量:*x_A1:調動到地區(qū)1的兵力A數(shù)量*x_B1:調動到地區(qū)1的兵力B數(shù)量*x_A2:調動到地區(qū)2的兵力A數(shù)量*x_B2:調動到地區(qū)2的兵力B數(shù)量目標函數(shù):最小化總調動時間Z。Z=2*x_A1+x_B1+2*x_A2+x_B2=2(x_A1+x_A2)+(x_B1+x_B2)約束條件:1.地區(qū)1需求滿足:x_A1+x_A2=1000(總兵力A=調動到兩地A之和)x_B1+x_B2=800(總兵力B=調動到兩地B之和)2.地區(qū)2需求滿足:x_A1≥70,x_B1≥80(地區(qū)1至少滿足各自需求)x_A2≥1000-70=930,x_B2≥800-80=720(地區(qū)2至少滿足各自需求)3.非負性:x_A1,x_B1,x_A2,x_B2≥0三、模型:可以將此問題轉化為一個圖論中的覆蓋問題，特別是點覆蓋問題或幾何覆蓋問題。轉化方法:1.構建圖:創(chuàng)建一個圖G=(V,E)。頂點集V包含兩部分：*一部分代表矩形區(qū)域內的所有關鍵位置（例如，網(wǎng)格點、戰(zhàn)略要地等），記為V_area。*另一部分代表敵方導彈可能進入的邊部位置（矩形四條邊上的點），記為V_boundary。將V_area和V_boundary中的點合并作為圖G的頂點集V。2.定義邊:在圖G中，如果頂點vi∈V_area與頂點vj∈V_boundary之間的距離小于等于某個炮臺的覆蓋半徑R，則在頂點vi和vj之間添加一條邊(vi,vj)屬于邊集E。3.覆蓋關系:在這個圖中，一個頂點v∈V_area被一個炮臺覆蓋，當且僅當存在一條邊(v,v_prime)∈E，其中v_prime∈V_boundary。選擇若干個頂點（代表部署炮臺的位置）u1,u2,...,uk∈V_area，使得對于所有的v∈V_boundary（即所有可能的導彈入口點），都存在至少一條邊(v,uj)∈E(j∈{1,...,k})。這等價于說，圖G中由V_area中的頂點u1,...,uk形成的子集覆蓋了所有的V_boundary頂點。4.模型類型:這個問題可以看作是尋找一個最小的頂點覆蓋集（選擇最少數(shù)量的V_area頂點來覆蓋所有的V_boundary頂點），或者是一個幾何覆蓋問題（在矩形區(qū)域內放置半徑為R的圓，使得所有邊界點都被至少一個圓覆蓋）。求解方法可能涉及圖論算法（如最大匹配算法的變形）或啟發(fā)式算法（如貪心算法、模擬退火等）。四、模型:可以將此問題建模為一個多階段決策問題或一個包含路徑規(guī)劃和資源分配的優(yōu)化模型（例如，使用動態(tài)規(guī)劃或網(wǎng)絡流模型）。簡化模型描述:假設軍隊沿一條直線L從起點A行進到終點B，路徑被劃分為N個路段L1,L2,...,LN。補給站只能設立在路段的端點或內部指定點。定義：*s_i:第i個補給站的位置（i=1,...,S，S為補給站總數(shù)）*q_i:第i個補給站分配的補給能量量*C:單位能量的運輸成本*T:從基地到第一個補給站的運輸時間（或時間成本系數(shù)）*d_i:軍隊從起點A到第i個補給站s_i所需時間*r:士兵的日能量消耗E*v:軍隊行進速度*M:總補給包數(shù)量，總能量Q=M*Q目標函數(shù):最小化總成本，包括補給站設置成本（假設為固定值S*，或與設置地點有關的時間/資源成本C_s）、運輸成本和可能的能量短缺成本（如果模型允許）。Z=C_s+C*(Σ(運輸各補給包到站點的總成本))+Σ(能量短缺懲罰成本，如果存在)或者簡化為：Z=C_s+C*Σ(q_i*d_i/v)+(如果能量不足時的成本)決策變量:s_1,...,s_S(位置，可能需要離散化)，q_1,...,q_S(非負整數(shù)，受總包數(shù)和單個包容量限制)約束條件:1.補給站數(shù)量限制:1≤S≤S_max2.能量守恒:Σq_i=Q(所有補給包的總能量)3.每個站補給量限制:0≤q_i≤max_q(單個包容量)4.能量需求滿足:對于任意路段Li(i=1,...,N)，軍隊在該路段消耗的能量(d_i*r/v)必須小于等于從起點到該路段末端能獲取的總能量。這可以通過檢查每個路段起點處士兵持有的總能量（初始能量+經(jīng)過站點補充的能量-消耗的能量）是否非負來實現(xiàn)?；蛘?，將問題建模為網(wǎng)絡流，其中節(jié)點代表位置（起點、站點、終點、中間檢查點），邊代表路徑，流量代表能量消耗或補給。5.位置約束:補給站位置s_i必須在路徑L上。五、模型:可以建立一個決策樹模型或決策分析模型，結合期望值準則進行分析。模型結構:1.決策節(jié)點:是否啟動研發(fā)項目。*選擇“啟動”：進入結果節(jié)點。*子節(jié)點1:研發(fā)成功。*狀態(tài)節(jié)點:戰(zhàn)爭發(fā)生/不發(fā)生。*結果：損失L'/損失0(假設項目成功完全規(guī)避損失)。*子節(jié)點2:研發(fā)失敗。*狀態(tài)節(jié)點:戰(zhàn)爭發(fā)生/不發(fā)生。*結果：損失L(無項目)/損失L(無項目)。*選擇“不啟動”：進入結果節(jié)點。*狀態(tài)節(jié)點:戰(zhàn)爭發(fā)生/不發(fā)生。*結果：損失L/損失0。2.概率:給定研發(fā)成功的概率p，戰(zhàn)爭發(fā)生的概率q。3.成本/收益:初始投入C1，節(jié)省損失C2，失敗損失C1，戰(zhàn)爭發(fā)生時有無項目的損失L和L'。決策準則(期望值):計算每種決策路徑的期望凈收益或期望損失，選擇期望值最優(yōu)的方案。*期望收益(啟動):E(啟動)=p*[q*(-L')+(1-q)*0]+(1-p)*[q*(-L)+(1-q)*0]-C1E(啟動)=p*(-qL')+(1-p)*(-qL)-C1E(啟動)=-qL'+qL-pC1*期望收益(不啟動):E(不啟動)=q*(-L)+(1-q)*0E(不啟動)=-qL*決策:比較兩者。如果E(啟動)>E(不啟動)，即-qL'+qL-pC1>-qL=>q(L-L')>pC1=>(L-L')/p>C1/q這意味著，只有當項目成功后帶來的損失節(jié)省(L-L')相對于失敗概率p的比例，大于初始投入C1相對于戰(zhàn)爭發(fā)生概率q的比例時，才應該啟動項目。或者，可以建立期望值決策表：|狀態(tài)/決策|戰(zhàn)爭發(fā)生(概率q)|戰(zhàn)爭未發(fā)生(概率1-q)|期望值||:--------------|:----------------------|: