2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)原理探析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試用直角坐標(biāo)系中的矢量表示法，推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在恒定外力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式和速度公式。要求明確說明各符號(hào)的物理意義，并展示清晰的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。二、考慮一個(gè)在水平面內(nèi)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m，速率恒為v，圓周半徑為R。試用自然坐標(biāo)系中的矢量表示法，表達(dá)該質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量，并計(jì)算其切向加速度和法向加速度的大小。三、一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受保守力場(chǎng)作用，其勢(shì)能函數(shù)為U(x)=kx2/2，其中k為常量，x為質(zhì)點(diǎn)沿水平光滑軌道的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)。若質(zhì)點(diǎn)在x=0位置具有沿x軸正向的初速度v?，試用牛頓第二定律求質(zhì)點(diǎn)隨后在x軸上的運(yùn)動(dòng)方程x(t)。四、試用拉格朗日方程（第二類形式）求解一個(gè)質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，在光滑水平面上繞其一端做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)轉(zhuǎn)角為θ，取θ為廣義坐標(biāo)。五、對(duì)于上題中的轉(zhuǎn)桿問題，假設(shè)轉(zhuǎn)桿受到一個(gè)與角速度成正比的阻尼力矩矩，其表達(dá)式為-bω，其中b為常量，ω=dθ/dt。試用拉格朗日方程建立該有阻尼轉(zhuǎn)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程。六、考慮一個(gè)由兩個(gè)質(zhì)量分別為m?和m?，用長(zhǎng)為l的輕質(zhì)剛性桿連接而成的系統(tǒng)，在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。取質(zhì)心平動(dòng)參考系，用角速度ω和質(zhì)心相對(duì)于桿中點(diǎn)的距離r(作為廣義坐標(biāo))描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。若忽略外力，試用哈密頓正則方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。要求寫出哈密頓函數(shù)H(q,p)的表達(dá)式以及正則方程。七、一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能函數(shù)為U(x)=mgx，其中g(shù)為重力加速度，x為沿豎直方向的坐標(biāo)（取向上為正）。證明該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，并說明守恒的原因。若質(zhì)點(diǎn)從x?=h處由靜止釋放，求其到達(dá)x=0位置時(shí)的速度大小。八、對(duì)于一個(gè)受到守恒力場(chǎng)作用的質(zhì)點(diǎn)，證明其總機(jī)械能E=T+U沿軌道守恒。要求說明該結(jié)論與諾特定理的應(yīng)用有何關(guān)聯(lián)（無需推導(dǎo)諾特定理本身，只需闡述其物理思想與能量守恒的內(nèi)在聯(lián)系）。試卷答案一、推導(dǎo)過程：設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，在恒定外力F作用下運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=ma。設(shè)初始時(shí)刻t=0，質(zhì)點(diǎn)位于x=x?，速度為v?。加速度a=d2x/dt2。由F=ma，得m(d2x/dt2)=F。由于F恒定，設(shè)F=F?e?，其中F?為力的大小，e?為x軸方向的單位矢量。積分一次，得到速度v=dx/dt=v?e?+(F?/m)te?+C?，其中C?為積分常數(shù)。由t=0時(shí)v=v?，得C?=v?e?。再積分一次，得到位移x=x?e?+v?te?+(F?/2m)t2e?+C?，其中C?為積分常數(shù)。由t=0時(shí)x=x?，得C?=x?e?。最終得到位移公式：x=x?+v?t+(F?/2m)t2。其中：x?為初始位置坐標(biāo)，v?為初始速度（沿x軸方向分量），F(xiàn)?為恒定外力的大小，m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，t為時(shí)間，(F?/2m)t2為勻加速運(yùn)動(dòng)的位移增量。二、推導(dǎo)過程：設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速率恒為v，做半徑為R的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。取自然坐標(biāo)系，切向單位矢量為e?，法向單位矢量為e?。速度v=ve?。加速度a=dv/dt=(dv/dt)e?+v(de?/dt)。由于速率v恒定，dv/dt=0。法向單位矢量e?的方向指向圓心，其大小為1，但方向隨時(shí)間變化，其時(shí)間導(dǎo)數(shù)為de?/dt=αe?，其中α是e?的角速度，等于質(zhì)點(diǎn)的角速度ω。所以，a=v(αe?)=v(dθ/dt)e?=ω2Re?。加速度矢量a=ω2Re?。其中ω=v/R為質(zhì)點(diǎn)的角速度。切向加速度a?=dv/dte?=0。法向加速度a?=ω2R。大?。簗a|=a?=ω2R=v2/R。三、推導(dǎo)過程：根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=ma。質(zhì)點(diǎn)受保守力F=-dU/dx=-d(kx2/2)/dx=-kx。F=-kx沿x軸負(fù)向。ma=m(d2x/dt2)=-kx。整理得二階常系數(shù)齊次微分方程：m(d2x/dt2)+kx=0。特征方程為mr2+k=0，解得r=±i√(k/m)。令ω=√(k/m)，則r=±iω。通解為x(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)。由初始條件t=0,x=x?=0，得A=0。由初始條件t=0,v=dx/dt=v?，得Bsin(0)=v?，即B=v?/ω。所以，x(t)=(v?/ω)sin(ωt)=(v?/√(k/m))sin(√(k/m)t)。四、推導(dǎo)過程：取轉(zhuǎn)角θ為廣義坐標(biāo)。動(dòng)能T=1/2*m*(線速度大小)2=1/2*m*(l*ω)2=1/2*m*l2*ω2。勢(shì)能U取決于桿的質(zhì)心高度。設(shè)參考平面通過支點(diǎn)，則質(zhì)心高度yCM=l/2*cosθ。勢(shì)能U=mg*yCM=mg*(l/2)*cosθ=mgl/2*cosθ。拉格朗日函數(shù)L=T-U=1/2*m*l2*ω2-mgl/2*cosθ。計(jì)算廣義力Q_θ：Q_θ=-dU/dθ=-d(mgl/2*cosθ)/dθ=mgl/2*sinθ。計(jì)算?L/?θ和?L/?(dθ/dt)：?L/?θ=-mgl/2*sinθ。?L/?(dθ/dt)=?/?(dθ/dt)[1/2*m*l2*(dθ/dt)2]=m*l2*(dθ/dt)=m*l2*ω。對(duì)?L/?(dθ/dt)求導(dǎo)數(shù)，得d/dt[m*l2*ω]=m*l2*dω/dt=m*l2*α（α為角加速度）。根據(jù)拉格朗日方程d/dt(?L/?(dθ/dt))-?L/?θ=Q_θ，代入計(jì)算：m*l2*α-(-mgl/2*sinθ)=mgl/2*sinθ。m*l2*α+mgl/2*sinθ=0。運(yùn)動(dòng)微分方程：ml2α+mglsinθ=0，或α=d2θ/dt2=-(g/l)sinθ。五、推導(dǎo)過程：在上題基礎(chǔ)上，增加阻尼力矩M_d=-bω=-b(dθ/dt)。系統(tǒng)的總廣義力（考慮阻尼）為Q_θ'=Q_θ+M_d=mgl/2*sinθ-b(dθ/dt)。拉格朗日函數(shù)L仍為L(zhǎng)=1/2*m*l2*ω2-mgl/2*cosθ（因?yàn)樽枘崃ψ龉Σ伙@含θ，勢(shì)力仍為mgl/2*cosθ）。計(jì)算?L/?θ和?L/?(dθ/dt)：?L/?θ=-mgl/2*sinθ。?L/?(dθ/dt)=m*l2*ω。對(duì)?L/?(dθ/dt)求導(dǎo)數(shù)，得d/dt[m*l2*ω]=m*l2*dω/dt=m*l2*α。根據(jù)拉格朗日方程d/dt(?L/?(dθ/dt))-?L/?θ=Q_θ'，代入計(jì)算：m*l2*α-(-mgl/2*sinθ)=mgl/2*sinθ-b(dθ/dt)。m*l2*α+mgl/2*sinθ=mgl/2*sinθ-b(dθ/dt)。整理得運(yùn)動(dòng)微分方程：ml2α+b(dθ/dt)=0，或ml2(d2θ/dt2)+b(dθ/dt)=0。即d2θ/dt2+(b/ml2)(dθ/dt)=0。六、推導(dǎo)過程：取質(zhì)心平動(dòng)參考系，用廣義坐標(biāo)(r,ω)。質(zhì)心速度VCM=dr/dt*e_r+r*ω*e_θ。動(dòng)能T=1/2*m?*VCM2+1/2*m?*VCM2+1/2*ICM*ω2。其中ICM是系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心（位于桿中點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ICM=m?*(r-l/2)2+m?*(r+l/2)2=m?(r2-lr+l2/4)+m?(r2+lr+l2/4)=(m?+m?)r2+(m?-m?)l2/4。VCM2=(dr/dt)2+2(dr/dt)(rω)cos(θ-θ)+(rω)2=(dr/dt)2+(rω)2。T=1/2*m*[(dr/dt)2+(rω)2]+1/2*[(m?+m?)r2+(m?-m?)l2/4]*ω2。T=1/2*m*(dr/dt)2+1/2*[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω2。勢(shì)能U通常為0（平動(dòng)參考系，無重力勢(shì)能）。拉格朗日函數(shù)L=T-U=1/2*m*(dr/dt)2+1/2*[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω2。廣義力Q_r和Q_ω：Q_r=-dU/dr=0。Q_ω=-dU/dθ=0（U不顯含θ）。計(jì)算?L/?r,?L/?(dr/dt),?L/?ω,?L/?(dω/dt)：?L/?r=m(dr/dt)2*[(m?-m?)l2/4r3]*ω2。?L/?(dr/dt)=m*(dr/dt)。?L/?ω=[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω。?L/?(dω/dt)=0（L不顯含dω/dt）。哈密頓函數(shù)H：H=p_r*(dL/dp_r)+p_ω*(dL/dp_ω)-L。其中p_r=?L/?(dr/dt)=m*(dr/dt)，p_ω=?L/?ω=[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω。dL/dr=m*(dr/dt)2*[(m?-m?)l2/4r3]*ω2-m*(dr/dt)2*[(m?-m?)l2/4r?]*ω2*dr/dt=m*(dr/dt)*[(m?-m?)l2/4r?]*ω2*(r-dr/dt)。dL/dp_r=1/m。dL/dp_ω=1/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω。H=p_r/m+p_ω*{1/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω}-[1/2*m*(dr/dt)2+1/2*[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω2]。用p_r=m*(dr/dt)和p_ω=[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω消去H中的(dr/dt)和ω：H=p_r/m+p_ω2/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]-1/2*[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]*ω2。H=p_r/m+p_ω2/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]-1/2*p_ω2/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]。H=p_r/m+1/2*p_ω2/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]。哈密頓正則方程：?H/?r=-p_r/(m*r2)-p_ω2*[(m?-m?)l2/4r?]/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]2。?H/?p_r=1/m。?H/?ω=p_ω/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]-p_ω2*[(m?-m?)l2/2r2]/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]2。?H/?p_ω=p_ω/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]。正則方程為：dp_r/dt=?H/?r=-p_r/(m*r2)-p_ω2*[(m?-m?)l2/4r?]/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]2。dq_r/dt=?H/?p_r=1/m。dp_ω/dt=?H/?ω=p_ω/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]-p_ω2*[(m?-m?)l2/2r2]/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]2。dq_ω/dt=?H/?p_ω=p_ω/[(m?+m?)+(m?-m?)l2/4r2]。（注意：這里廣義坐標(biāo)為r,ω，廣義動(dòng)量為p_r,p_ω，正則方程形式為p_i/dt=?H/?q_i，dq_i/dt=?H/?p_i）。七、證明過程：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，受保守力F=-dU/dx=-d(mgx)/dx=-mg。根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=ma=m(d2x/dt2)。由于F=-mg，故m(d2x/dt2)=-mg。d2x/dt2=-g。該方程不顯含x，說明系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。計(jì)算動(dòng)能T=1/2*m*(dx/dt)2=1/2*m*v2。計(jì)算勢(shì)能U=mgx。機(jī)械能E=T+U=1/2*m*v2+mgx。對(duì)E求導(dǎo)數(shù)，得dE/dt=d/dt[1/2*m*v2+mgx]=m*v*(dv/dt)+mg*(dx/dt)=mv*a+mgv=mv*(-g)+mgv=0。因?yàn)榧铀俣萢=-g，速度v沿x軸正向（或負(fù)向）。所以dE/dt=0，即機(jī)械能E沿軌道守恒。原因：系統(tǒng)所受合外力（在此為重力）是保守力，系統(tǒng)的總機(jī)械能（動(dòng)能與勢(shì)能之和）保持不變。關(guān)聯(lián)：根據(jù)諾特定理，存在一個(gè)與時(shí)間反演對(duì)稱性相關(guān)的守恒量，即能量守恒。經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)（在相空間中）關(guān)于時(shí)間反演T是不變的（作用量在T下不變），這保證了能量守恒。諾特定理提供了一種從對(duì)稱性推導(dǎo)守恒律的普適方法，能量守恒是其重要體現(xiàn)。因此，能量守恒（機(jī)械能守恒）與系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性通過諾特定理相聯(lián)系。八、證明過程：設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，在保