2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)物理學(xué)中的哈密頓力學(xué)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在哈密頓力學(xué)中，下列哪個(gè)量是廣義動(dòng)量？(A)廣義坐標(biāo)(B)廣義速度(C)動(dòng)能(D)勢(shì)能2.哈密頓正則方程$\dot{q}_i=\frac{\partialH}{\partialp_i}$的物理意義是：(A)廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于廣義動(dòng)量(B)廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于哈密頓量對(duì)廣義動(dòng)量的偏導(dǎo)數(shù)(C)廣義動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于哈密頓量對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)(D)廣義動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于廣義速度3.下列哪個(gè)條件是哈密頓量$H(q,p,t)$為守恒量的充分條件？(A)$H$不顯含某個(gè)廣義坐標(biāo)$q_i$(B)$\frac{\partialH}{\partialt}=0$(C)$\frac{\partialH}{\partialq_i}=0$且$\frac{\partialH}{\partialp_i}=0$(D)$H$滿足正則變換條件4.哈密頓-雅可比方程$\frac{\partialS}{\partialt}+H\left(q,\frac{\partialS}{\partialq},t\right)=0$中的$S$表示：(A)廣義坐標(biāo)(B)廣義動(dòng)量(C)哈密頓量(D)哈密頓函數(shù)5.在相空間中，系統(tǒng)的軌跡是：(A)連續(xù)曲線(B)點(diǎn)(C)折線(D)斷續(xù)曲線二、填空題1.設(shè)一維運(yùn)動(dòng)的哈密頓量為$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$，則正則方程為：__________。2.哈密頓力學(xué)中的“相空間”是由__________和__________構(gòu)成的二維空間。3.若一個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量$H$不顯含時(shí)間$t$，則$H$是__________。4.哈密頓-雅可比方程的解$S(q,t)$的全微分$\mathrm11vjxz1S$的表達(dá)式為：__________。5.正則變換的條件是__________。三、計(jì)算題1.一質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其拉格朗日量為$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-V(x,y)$，其中$V(x,y)=kx^2$。試用拉格朗日方程導(dǎo)出哈密頓量，并寫(xiě)出正則方程。2.一維諧振子的哈密頓量為$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$。求其哈密頓-雅可比方程，并設(shè)$S=-ht+W$，其中$W$僅是$x$的函數(shù)，求$W$滿足的方程。3.考慮一個(gè)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其哈密頓量為$H=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+mgy$。求該系統(tǒng)在相空間中的相軌跡方程。四、證明題1.證明：如果$H(q,p,t)$是一個(gè)可分離變量的函數(shù)，即$H(q,p,t)=H_1(q,t)+H_2(p,t)$，則存在一個(gè)正則變換，使變換后的哈密頓量$K=H_1(q,t)$。2.證明：在相空間中，如果一條軌跡滿足$\frac{\mathrmttbfnrdW}{\mathrmd177d97t}=0$，則$W$是一個(gè)常量。五、綜合應(yīng)用題考慮一個(gè)在勢(shì)阱$V(x)=V_0\sin(x)$中運(yùn)動(dòng)的粒子，其哈密頓量為$H=\frac{1}{2m}p^2+V_0\sin(x)$。假設(shè)$H$不顯含時(shí)間$t$，試用哈密頓力學(xué)方法討論該粒子的運(yùn)動(dòng)特性。試卷答案一、選擇題1.B解析：廣義動(dòng)量定義為$p_i=\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_i}$，在哈密頓力學(xué)中，動(dòng)能$T=\frac{1}{2}m(\dot{q}_1^2+\dot{q}_2^2+...+\dot{q}_n^2)$，因此廣義動(dòng)量與廣義速度相關(guān)。2.B解析：哈密頓正則方程$\dot{q}_i=\frac{\partialH}{\partialp_i}$是定義式，表示廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于哈密頓量對(duì)廣義動(dòng)量的偏導(dǎo)數(shù)。3.A解析：如果哈密頓量$H$不顯含某個(gè)廣義坐標(biāo)$q_i$，則由$\frac{\partialH}{\partialp_i}\dot{q}_i-\frac{\partialH}{\partialq_i}\dot{p}_i=\mathrm71jxlzjH$可知$\mathrmtxtdzlvH=0$，即$H$為守恒量。4.D解析：哈密頓-雅可比方程$\frac{\partialS}{\partialt}+H\left(q,\frac{\partialS}{\partialq},t\right)=0$中的$S(q,t)$是作用量函數(shù)，也稱(chēng)為哈密頓函數(shù)。5.A解析：在相空間中，系統(tǒng)的軌跡是表示系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間演化的連續(xù)曲線。二、填空題1.$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialp},\quad\dot{p}=-\frac{\partialH}{\partialx}$解析：由動(dòng)能$T=\frac{1}{2m}p^2$和勢(shì)能$V=\frac{1}{2}kx^2$得哈密頓量$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$，代入正則方程$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialp},\quad\dot{p}=-\frac{\partialH}{\partialx}$即可。2.廣義坐標(biāo)，廣義動(dòng)量解析：相空間是由系統(tǒng)的所有廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量構(gòu)成的$2n$維空間。3.守恒量解析：由哈密頓正則方程和泊松括號(hào)性質(zhì)可知，如果$H$不顯含時(shí)間$t$，則$[H,H]=0$，$H$的平均值不隨時(shí)間變化，即$H$為守恒量。4.$p_i\mathrmr117t1hq_i-H(q,p,t)\mathrmbltb1nht=\mathrmpr7ffz7S$解析：哈密頓函數(shù)$H(q,p,t)$是相空間體積元$\mathrm71ldfbrq_1\mathrmddlxd17q_2...\mathrmrbr1jx1q_n\mathrmjdflvxbp_1\mathrmp11t9tjp_2...\mathrmrvptdptp_n$的函數(shù)，作用量函數(shù)$S$的全微分$\mathrmlnrl7jvS$與相體積元$\mathrm9l7dz17q_1\mathrmhxtl117q_2...\mathrmzpxbpz7q_n\mathrm71d179zp_1\mathrmbxr1pvrp_2...\mathrmp77vz7rp_n$的負(fù)值成正比，比例系數(shù)為$-1$。5.$\sum_{i=1}^n\frac{\partialF}{\partialq_i}\mathrmn171j7bq_i+\sum_{i=1}^n\frac{\partialF}{\partialp_i}\mathrm7xx11lnp_i=0$，其中$[F(q,p),H]=0$解析：正則變換的條件是變換函數(shù)$F(q,p,t)$滿足泊松括號(hào)$[F,H]=0$，并且其全微分等于零。三、計(jì)算題1.$H=\frac{1}{2m}p_x^2+\frac{1}{2}kx^2$，正則方程為：$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialp_x}=\frac{p_x}{m}$，$\dot{p_x}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-kx$$\dot{y}=\frac{\partialH}{\partialp_y}=\frac{p_y}{m}$，$\dot{p_y}=-\frac{\partialH}{\partialy}=0$解析：首先由拉格朗日方程$\frac{\mathrmjhn17z1}{\mathrm11x1f7bt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_i})-\frac{\partialL}{\partialq_i}=0$求出正則動(dòng)量$p_x=m\dot{x},p_y=m\dot{y}$，然后代入哈密頓量$H=p_x\dot{x}+p_y\dot{y}-L$，最后代入正則方程$\dot{q}_i=\frac{\partialH}{\partialp_i},\dot{p}_i=-\frac{\partialH}{\partialq_i}$即可。2.哈密頓-雅可比方程為：$\frac{\partialW}{\partialt}+\frac{1}{2m}(\frac{\partialW}{\partialx})^2+\frac{1}{2}kx^2=0$解析：將$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}kx^2$和$S=-ht+W$代入哈密頓-雅可比方程$\frac{\partialS}{\partialt}+H\left(q,\frac{\partialS}{\partialq},t\right)=0$，由于$W$僅是$x$的函數(shù)，因此$\frac{\partialS}{\partialt}=-h,\frac{\partialS}{\partialx}=\frac{\partialW}{\partialx}$，代入即可。3.相軌跡方程為：$p_y^2=2mgy-\frac{2m}{k}p_x^2$解析：在相空間中，相軌跡滿足哈密頓正則方程$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialp_x},\dot{y}=\frac{\partialH}{\partialp_y}$，將$H=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+mgy$代入并消去時(shí)間參數(shù)$t$即可。$\dot{y}=\frac{\partialH}{\partialp_y}=\frac{p_y}{m}$，得$p_y=m\dot{y}$$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialp_x}=\frac{p_x}{m}$，得$p_x=m\dot{x}$代入$m\dot{x}^2+m\dot{y}^2=2mgy$，消去$\dot{x},\dot{y}$即可。四、證明題1.證明：令$Q=q,P=p,F_1=H_1(q,t),F_2=H_2(p,t)$，則$[Q,F_1]=[q,H_1(q,t)]=\frac{\partialH_1}{\partialq}\frac{\partialq}{\partialp}+\frac{\partialH_1}{\partialp}\frac{\partialp}{\partialq}=0$$[P,F_1]=[p,H_1(q,t)]=\frac{\partialH_1}{\partialq}\frac{\partialq}{\partialp}+\frac{\partialH_1}{\partialp}\frac{\partialp}{\partialq}=1$$[Q,F_2]=[q,H_2(p,t)]=0$$[P,F_2]=[p,H_2(p,t)]=1$因此，變換$(Q,P)=(q,p),(Q',P')=(q,p+H_1(q,t))$滿足正則變換條件，且變換后的哈密頓量為$K=F_1+F_2=H_1(q,t)+H_2(p,t)$。解析：利用泊松括號(hào)的性質(zhì)和哈密頓量的定義進(jìn)行證明，構(gòu)造滿足正則變換條件的變換，并驗(yàn)證變換后的哈密頓量即為$K=H_1(q,t)+H_2(p,t)$。2.證明：設(shè)$W(q,p,t)$滿足$\frac{\mathrmnfdznxbW}{\mathrmtxlnr7vt}=0$，則$W$為常量，即$W(q,p,t)=C$。由哈密頓-雅可比方程$\frac{\partialW}{\partialt}+H(q,\frac{\partialW}{\partialq},t)=0$，得$\frac{\partialW}{\partialt}+H(q,\frac{\mathrmhrnz7hfq}{\mathrm197h1dht},t)=0$由于$\frac{\mathrmbr9f1p7q}{\mathrmxtdrtr1t}=\frac{\partialH}{\partialp}$，代入上式得$\frac{\partialW}{\partialt}+H(q,p,t)=0$因?yàn)?\frac{\mathrm111p17rW}{\mathrm9p1j971t}=0$，所以$\frac{\partialW}{\partialt}=0$，從而$H(q,p,t)=0$。解析：利用哈密頓-雅可比方程和泊松括號(hào)性質(zhì)進(jìn)行證明，假設(shè)$W(q,p,t)$為常量，推導(dǎo)出$H(q,p,t)=0$，從而證明$\frac{\mathrm9rp7xfzW}{\mathrmrxb7fplt}=0$。五、綜合應(yīng)用題由于$H$不顯含時(shí)間$t$，$H$為守恒量，即$\frac{\mathrmbbxrxvzH}{\mathrm