2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——隨機變量與統(tǒng)計推斷的關(guān)系考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/2^(k+2)，k=0,1,2,...,且E(X)=3/4，求常數(shù)C的值。2.設(shè)隨機變量X～N(μ,4)，Y～N(μ,9)，X與Y獨立。記Z=X-Y，求E(Z)和D(Z)。3.某盒中有5個紅球，3個白球，從中有放回地依次抽取2個球，記X為2次抽取中紅球的數(shù)量。求X的分布律，并計算E(X)和D(X)。二、1.設(shè)總體X～N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?是來自總體X的簡單隨機樣本。記S2=(1/(n-1))*Σ(X?-X?)2，其中X?=(1/n)*ΣX?。證明：S2是σ2的無偏估計量。2.設(shè)總體X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2存在。從總體X中抽取樣本X?,X?,...,X?，樣本均值為X?。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n足夠大時，樣本均值X?近似服從什么分布？請說明其期望和方差。3.解釋參數(shù)點估計量評選標(biāo)準(zhǔn)中的無偏性、有效性和一致性的含義。三、1.從一批燈泡中隨機抽取10只，測得壽命（小時）如下：1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1130,1140。假設(shè)燈泡壽命X～N(μ,σ2)，求總體均值μ的95%置信區(qū)間（σ未知）。2.某廠生產(chǎn)的零件長度X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N(μ,2.52)。現(xiàn)從中抽取容量為30的樣本，測得樣本均值X?=50.1毫米。能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的零件平均長度μ顯著大于50毫米？（取顯著性水平α=0.05）3.為了檢驗一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效，隨機選取n?=50名病人使用新藥，n?=50名病人使用現(xiàn)有藥物，記錄治愈率。得到樣本比例分別為p??=0.7和p??=0.6。在顯著性水平α=0.10下，檢驗新藥治愈率是否顯著高于現(xiàn)有藥物？（提示：考慮大樣本情況下的檢驗統(tǒng)計量）四、1.設(shè)總體X～P(λ)，X?,X?,...,X?是來自總體X的簡單隨機樣本。求參數(shù)λ的矩估計量和最大似然估計量。2.解釋假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的定義，并說明它們之間通常存在的矛盾關(guān)系。3.在假設(shè)檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若拒絕H?，是否意味著H?一定錯誤？若不拒絕H?，是否意味著H?一定正確？為什么？五、1.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)=1-e^(-θx)(x>0,θ>0)，θ為未知參數(shù)。從總體X中抽取樣本X?,X?,...,X?，樣本最小值記為X(1)。證明：X(1)是θ的一個有效估計量。2.設(shè)X?,X?,...,X?是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，其中μ未知。為了估計σ2，考慮統(tǒng)計量S?2=(1/(n-1))*Σ(X?-X?)2和S?2=(1/(n))*Σ(X?-μ)2。比較S?2和S?2作為σ2估計量的無偏性和有效性。3.總結(jié)隨機變量的數(shù)字特征（如期望、方差）在參數(shù)估計和假設(shè)檢驗中分別扮演的角色和作用。試卷答案一、1.C=1/4解析思路：利用分布律性質(zhì)ΣP(X=k)=1，計算Σ[k+1]/2^(k+2)=1，求解C。2.E(Z)=0,D(Z)=13解析思路：利用期望的線性性質(zhì)E(X-Y)=E(X)-E(Y)和方差的性質(zhì)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X,Y)(因X,Y獨立，COV(X,Y)=0)，結(jié)合X,Y的分布參數(shù)計算E(Z)和D(Z)。3.P(X=0)=9/16,P(X=1)=9/16,P(X=2)=1/16;E(X)=3/4,D(X)=9/16解析思路：根據(jù)有放回抽樣，計算X取0,1,2的概率，得到分布律。利用離散型隨機變量期望和方差的計算公式求解E(X)和D(X)。二、1.證明：利用樣本方差S2的定義和總體方差σ2，計算E(S2)=σ2。解析思路：根據(jù)無偏估計的定義，需要證明E(S2)=σ2?？梢酝ㄟ^定義S2=(1/(n-1))*Σ(X?-X?)2，利用X?-X?～N(0,σ2/n)及其性質(zhì)，或者利用樣本方差是總體方差的無偏估計這一常用結(jié)論進行證明。2.X?近似～N(μ,σ2/n)解析思路：根據(jù)中心極限定理，獨立同分布的隨機變量樣本均值X?的分布近似為正態(tài)分布，其均值E(X?)=μ，方差D(X?)=σ2/n（假設(shè)E(X)=μ,D(X)=σ2存在）。3.無偏性：E(估計量)=參數(shù)真值；有效性：在所有無偏估計量中，方差最??；一致性：隨著樣本量n增大，估計量收斂于參數(shù)真值。解析思路：分別解釋無偏性、有效性、一致性的數(shù)學(xué)定義和統(tǒng)計意義。三、1.(1069.3,1170.7)毫米解析思路：由于σ未知，使用t分布構(gòu)建置信區(qū)間。計算樣本均值X?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S，確定自由度n-1，查找t分布表得t_(α/2,n-1)，計算置信區(qū)間上下限(X?±t_(α/2,n-1)*S/√n)。2.拒絕H?解析思路：檢驗假設(shè)H?:μ≤50vsH?:μ>50。由于σ已知，使用Z檢驗。計算檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)，代入X?,μ?,σ,n的值計算Z值。查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α)=1.645，比較Z與Z_(α)的大小，若Z>Z_(α)則拒絕H?。3.拒絕H?解析思路：檢驗假設(shè)H?:p?≤p?vsH?:p?>p?。由于樣本量較大，使用正態(tài)近似。計算合并樣本比例p?=(n?p??+n?p??)/(n?+n?)=0.65。計算檢驗統(tǒng)計量Z=(p??-p??)/√[p?(1-p?)(1/n?+1/n?)]，代入p??,p??,n?,n?的值計算Z值。查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α)=1.282，比較Z與Z_(α)的大小，若Z>Z_(α)則拒絕H?。四、1.矩估計量：θ?_M=(1/n)*ΣX?=X?；最大似然估計量：θ?_MLE=(1/n)*ΣlogX?解析思路：求θ?_M需計算樣本一階原點矩E(X)并令其等于樣本均值X?；求θ?_MLE需寫出樣本的對數(shù)似然函數(shù)，求其關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)并令其為0，解出θ?_MLE。2.第一類錯誤：H?真而拒絕H?；第二類錯誤：H?假而未拒絕H?。兩者通常存在此消彼長的關(guān)系，減小一類錯誤的概率往往會增大另一類錯誤的概率。解析思路：根據(jù)假設(shè)檢驗的定義解釋兩類錯誤的含義。說明α是犯第一類錯誤的概率，β是犯第二類錯誤的概率，通常在樣本量固定時，α減小β會增大，反之亦然。3.不一定。拒絕H?意味著在α的顯著性水平下，樣本提供的證據(jù)對不支持H?。但不能100%保證H?是錯誤的，可能犯第一類錯誤。不拒絕H?意味著樣本提供的證據(jù)不足以支持H?，但不能100%保證H?正確，可能犯第二類錯誤。解析思路：從假設(shè)檢驗的決策規(guī)則和錯誤類型的定義出發(fā)，解釋統(tǒng)計推斷的結(jié)論是基于概率而非確定性，存在犯錯的可能性。五、1.證明：E(X(1))=θ*H(1/θ)，其中H(t)=1-e^(-θt)，求導(dǎo)H'(t)=θe^(-θt)，利用樣本最小值的期望性質(zhì)E(X(1))=n*P(X(1)>t)/(n+1)=n*[1-F_X(t)]^(n)/(n+1)，令t=0，計算極限得到E(X(1))=θ。由羅-克拉美不等式可知，方差下界為1/(n*I(θ))，其中I(θ)=-E[(d/dθ)logf_X(x)]=θ。因此X(1)是θ的有效估計量。解析思路：首先證明X(1)的期望E(X(1))=θ。然后計算方差下界，需要求信息量I(θ)。利用最小順序統(tǒng)計量的期望和方差性質(zhì)，或者通過分布函數(shù)和密度函數(shù)計算信息量。2.S?2是σ2的無偏估計量，S?2不是σ2的無偏估計量；S?2比S?2更有效（在無偏估計中方差更?。＝馕鏊悸罚河嬎鉋(S?2)=σ2，計算E(S?2)=(n-1)σ2/n≠σ2，因此S?2無偏，S?2有偏。比較S?2和S?2的方差，V(S?2)=2σ?/(n-1)，V(S?2)=2σ?/n，因n-1<n，故V(S?2)<V(S?2)，S?2更有效。3.期望：樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計量，期望是計算點估計值和總體參數(shù)差異的基準(zhǔn)。方差：樣本方差S2（或S?2）是總體方差σ2的無偏估計量，方差反映了估計量的波動性或精度，方差越小越好。標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總體標(biāo)