2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——概率模型在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的實(shí)踐探索考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)事件A和B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.5，求P(A∪B)和P(A∩B')。2.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，求P(X=0)。3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=2，E(Y)=3，方差分別為D(X)=1，D(Y)=4，且Cov(X,Y)=-1。求E(3X-2Y)和D(2X+Y)。二、1.從一個(gè)含有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋中有放回地抽取3次，每次抽取一個(gè)球。求恰好抽到2個(gè)紅球的概率。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。從總體中抽取容量為n的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為x?。寫出μ的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。3.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn，樣本容量為n。求θ的矩估計(jì)量。三、1.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30名男生，20名女生。現(xiàn)隨機(jī)抽取5名學(xué)生組成一個(gè)小組，求小組中恰好包含3名男生的概率。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。求P(X<2)和P(|X|>1.5)。3.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，其中μ未知。從總體中抽取容量為25的樣本，樣本均值為10.5。求μ的95%置信區(qū)間（已知σ=4）。四、1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.95?，F(xiàn)對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，抽取10件產(chǎn)品，如果發(fā)現(xiàn)其中有1件不合格，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。求這批產(chǎn)品被判定為不合格的概率。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知。從總體中抽取容量為n(n≥2)的樣本，樣本均值為x?，樣本方差為s2。寫出檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=μ?(μ?為已知常數(shù))的t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。3.為了檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效，隨機(jī)選取20名患者使用新藥，另選20名患者使用現(xiàn)有藥物，記錄治療效果。假設(shè)兩樣本的治療效果分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ?2)和N(μ?,σ?2)，其中參數(shù)均未知。問在顯著性水平α下，如何檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ?=μ?？簡述檢驗(yàn)步驟并寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。五、1.為了研究某城市家庭月收入與每月用于購書的費(fèi)用之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取30個(gè)家庭，得到以下數(shù)據(jù)（單位：元）：月收入x?,x?,...,x??；購書費(fèi)用y?,y?,...,y??。假設(shè)月收入與購書費(fèi)用之間近似滿足一元線性回歸模型Y=β?+β?x+ε，其中ε服從正態(tài)分布N(0,σ2)。請(qǐng)寫出求回歸系數(shù)β??和β??的最小二乘估計(jì)公式。2.在一項(xiàng)關(guān)于吸煙與患肺癌關(guān)系的調(diào)查中，得到以下列聯(lián)表：||不患肺癌|患肺癌|合計(jì)||--------------|----------|--------|------||吸煙者|a|b|a+b||不吸煙者|c|d|c+d||合計(jì)|a+c|b+d|n|問在顯著性水平α下，能否認(rèn)為吸煙與患肺癌有顯著關(guān)系？簡述檢驗(yàn)步驟并寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求E(X2)和D(X2)。試卷答案一、1.P(A∪B)=0.8;P(A∩B')=0.3.*解析思路：*A,B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.A,B互斥意味著P(A∩B)=0.P(A∩B')=P(A)-P(A∩B)=0.3-0=0.3.2.λ=1;P(X=0)=e^(-1)≈0.3679.*解析思路：*P(X=1)=e^(-λ)*λ^1/1!=λe^(-λ).P(X=2)=e^(-λ)*λ^2/2!=(λ^2/2)e^(-λ).由P(X=1)=P(X=2),得λe^(-λ)=(λ^2/2)e^(-λ).λ=λ^2/2.λ(λ-2)=0.λ=0無意義（泊松分布參數(shù)>0），故λ=1.P(X=0)=e^(-λ)*λ^0/0!=e^(-1).3.E(3X-2Y)=3;D(2X+Y)=9.*解析思路：*利用期望的線性性質(zhì)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3(2)-2(3)=6-6=3.利用方差的性質(zhì)D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X,Y).D(2X+Y)=22D(X)+12D(Y)+2(2)(-1)=4(1)+1(4)-4=4+4-4=9.二、1.P=C(3,2)*(3/5)2*(2/5)3=3*(9/25)*(8/125)=216/3125.*解析思路：*有放回抽樣，每次抽取相互獨(dú)立。P(恰好2個(gè)紅球)=P(紅,紅,白)+P(紅,白,紅)+P(白,紅,紅).P(紅)=3/5,P(白)=2/5.故P=3*(3/5)2*(2/5)3=216/3125.也可用二項(xiàng)分布B(n=3,p=3/5),P(X=2)=C(3,2)*(3/5)2*(2/5)1.2.矩估計(jì)量:μ?_M=(1/n)*Σx?;極大似然估計(jì)量:μ?_MLE=x?.*解析思路：*矩估計(jì)：用樣本矩估計(jì)總體矩。E(X)=μ.樣本一階原點(diǎn)矩為(1/n)Σx?.令E(X)=(1/n)Σx?,得μ?_M=(1/n)Σx?.極大似然估計(jì)：寫出樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)（或分布律）L(μ;x?,...,xn).對(duì)L關(guān)于μ求偏導(dǎo)并令其為零，解得μ?_MLE.對(duì)于正態(tài)分布N(μ,σ2),L∝e^(-(1/(2σ2))*Σ(xi-μ)2).當(dāng)μ取值使指數(shù)最小，即Σ(xi-μ)2最小時(shí)，L最大.這在μ=(1/n)Σxi=x?處達(dá)到.故μ?_MLE=x?.3.θ?_M=(1/n)*Σln(x?).*解析思路：*矩估計(jì)：E(X)=E[x^(θ-1)*θ]=θ*E[X^(θ-1)].令k=θ-1,E[X^k]=(1/θ)*[x^(k+1)|_(0)^(1)]=1/θ.E(X)=θ*(1/θ)=1.樣本矩為(1/n)Σx?.令E(X)=(1/n)Σx?,得1=(1/n)Σx?.故θ?_M=1/[(1/n)Σx?]=n/Σx?.也可用E[X]=1/θ,令E[X]=x?,得θ?_M=1/x?=(1/n)*Σx?.（此處用樣本對(duì)數(shù)平均可能更直觀，但通常用樣本矩）。極大似然估計(jì)：似然函數(shù)L(θ)=Πθ*x?^(θ-1)=θ^n*(Πx?)^(θ-1).對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL=nlnθ+(θ-1)Σlnx?.求導(dǎo)?lnL/?θ=n/θ+Σlnx?=0.解得θ?_MLE=-n/Σlnx?.注意此分布下極大似然估計(jì)量形式與矩估計(jì)量不同，且極大似然估計(jì)量通常要求所有樣本點(diǎn)在定義域內(nèi)，即0<x?<1對(duì)所有i成立。三、1.P=C(30,3)*C(20,2)/C(50,5)=(30*29*28/6)*(20*19/2)/(50*49*48*47*46/120)=4060*190/(50*49*48*47)=771800/1105800=7718/11058=3859/5529.*解析思路：*無放回抽樣。從50名學(xué)生中抽取5名，包含3名男生（從30名男生中選）和2名女生（從20名女生中選）。事件發(fā)生的概率為P=[C(30,3)*C(20,2)]/C(50,5).（計(jì)算C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)）。2.P(X<2)=Φ(2)≈0.9772;P(|X|>1.5)=1-P(|X|≤1.5)=1-[Φ(1.5)-Φ(-1.5)]=1-(Φ(1.5)-(1-Φ(1.5)))=2Φ(1.5)-1≈2*0.9332-1=0.8664.*解析思路：*X~N(0,1).P(X<2)=Φ(2),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算工具得到Φ(2)≈0.9772.P(|X|>1.5)=P(X>1.5)+P(X<-1.5)=P(X>1.5)+P(X<-1.5).由于正態(tài)分布對(duì)稱性,P(X<-1.5)=1-Φ(1.5).故P(|X|>1.5)=Φ(1.5)-(1-Φ(1.5))=2Φ(1.5)-1.查表Φ(1.5)≈0.9332,所以P(|X|>1.5)≈0.8664.3.(10.5-1.96*4/sqrt(25),10.5+1.96*4/sqrt(25))=(10.5-1.568,10.5+1.568)=(8.932,12.068).*解析思路：*單正態(tài)總體均值未知，σ已知，構(gòu)建置信區(qū)間。置信區(qū)間公式為(x?-z_(α/2)*(σ/sqrt(n)),x?+z_(α/2)*(σ/sqrt(n))).這里x?=10.5,σ=4,n=25,1-α=0.95,α/2=0.025.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得z_(0.025)=1.96.計(jì)算區(qū)間上下限：8.932,12.068.四、1.P(至少1件不合格)=1-P(全部10件合格)=1-(0.95)^10≈1-0.5987=0.4013.*解析思路：*產(chǎn)品合格率為0.95，抽取10件視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。事件“至少1件不合格”是事件“全部10件合格”的對(duì)立事件。P(至少1件不合格)=1-P(全部10件合格).P(全部10件合格)=(0.95)^10.計(jì)算結(jié)果P≈0.4013.2.t=(x?-μ?)/(s/sqrt(n)).*解析思路：*單正態(tài)總體均值未知，σ未知，檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=μ?.應(yīng)選用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(樣本均值x?與假設(shè)均值μ?的差)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的標(biāo)準(zhǔn)誤).公式為t=(x?-μ?)/(s/sqrt(n)).3.檢驗(yàn)步驟：①提出假設(shè)H?:μ?=μ?,H?:μ?≠μ?(或根據(jù)具體問題選擇單邊假設(shè)).②選擇顯著性水平α.③計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/sqrt(s2p*(1/n?+1/n?))，其中sp2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)是合并樣本方差。④查t分布表，找到自由度df=n?+n?-2對(duì)應(yīng)的臨界值t_(α/2)(或t_(α))，確定拒絕域。⑤將計(jì)算得到的t值與臨界值比較，做出決策：若|t|>t_(α/2)，拒絕H?；若|t|≤t_(α/2)，不拒絕H?。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:t=(x??-x??)/sqrt{[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]*(1/n?+1/n?)}.*解析思路：*兩獨(dú)立正態(tài)總體均值比較（均值未知，方差未知但相等或不相等）。根據(jù)題意σ?2,σ?2均未知。需先判斷σ?2=σ?2?題目未說明。步驟：①建立假設(shè)H?:μ?=μ?.②確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)假設(shè)σ?2=σ?2時(shí)（題目未明確，此處按不等方差處理或假設(shè)相等處理，此處按不等方差），用Satterthwaite公式計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量和自由度df。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/sqrt{[s?2/n?+s?2/n?]}.如果假設(shè)σ?2=σ?2=s2(未知),則用合并方差sp2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)替代s?2/n?+s?2/n?,統(tǒng)計(jì)量為t=(x??-x??)/sqrt{sp2*(1/n?+1/n?)},自由度df=n?+n?-2.若σ?2≠σ?2（不假設(shè)相等），則用Welch'st檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為t=(x??-x??)/sqrt{s?2/n?+s?2/n?},自由度df使用公式計(jì)算，較為復(fù)雜。此處給出通用描述和一種常用情況（假設(shè)相等）的公式。五、1.β??=[n*Σ(xi*yi)-Σxi*Σyi]/[n*Σx?2-(Σx?)2];β??=y?-β??x?.*解析思路：*一元線性回歸模型Y=β?+β?x+ε.β?的最小二乘估計(jì)公式為β??=[Σ(xi-x?)(yi-?)]/[Σ(xi-x?)2]=[nΣ(xi*yi)-Σxi*Σyi]/[nΣx?2-(Σx?)2].β?的最小二乘估計(jì)公式為β??=?-β??x?,其中?=(1/n)Σyi.2.檢驗(yàn)步驟：①提出假設(shè)H?:吸煙與患肺癌無關(guān)聯(lián)（即行變量與列變量獨(dú)立），H?:吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián).②選擇顯著性水平α.③計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=Σ[(O??-E??)2/E??]，其中O??是觀測頻數(shù)，E??是期望頻數(shù)，期望頻數(shù)E??=(行合計(jì)*列合計(jì))/總樣本量n.④查χ2分布表，找到自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)對(duì)應(yīng)的臨界值χ2_(α)，確定拒絕域。⑤將計(jì)算得到的χ2值與臨界值比較，做出決策：若χ2>χ2_(α)，拒絕H?；若χ2≤χ2_(α)，不拒絕H?。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:χ2=Σ[i=1tor,j=1toc][(a_ij-(a_i**a_j*)/n)2/((a_i**a_j*)/n)].*解析思路：*離散變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。使用卡方檢驗(yàn)（χ2檢驗(yàn)）。構(gòu)建列聯(lián)表，計(jì)算每個(gè)