海南文昌中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．小明對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為．探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫出這個(gè)函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問(wèn)題：①直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．2．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．基本模型如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．（1）模型拓展：如圖2，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE∽△BCF；（2）拓展應(yīng)用：如圖3，AB是半圓⊙O的直徑，弦長(zhǎng)AC=BC=4，E，F(xiàn)分別是AC，AB上的一點(diǎn)，若∠CFE=45°．若設(shè)AE=y，BF=x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）拓展提升：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系柳中，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6）與x軸交于點(diǎn)A，C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸交線段BC于點(diǎn)E，探求線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．綜合與探究如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，直線是拋物線的對(duì)稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：（2）若點(diǎn)在軸的下方，當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，求的面積；（3）在直線上有一點(diǎn)，連接，，則的最小值為______；（4）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接．（1）求拋物線的解析式；（2）求的值；（3）①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；②連接，在①的條件下，把沿軸平移（限定點(diǎn)在射線上），并使拋物線與的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)，探究點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是多少？6．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系．8．已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），①試確定拋物線的解析式；②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．9．已知拋物線（n為正整數(shù)，且）與x軸的交點(diǎn)為和．當(dāng)時(shí)，第1條拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，其他以此類推．（1）求的值及拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）；以此類推，第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（______，_______）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_________．（3）探究以下結(jié)論：①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若直線與拋物線分別交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)有何規(guī)律？請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示．10．綜合與探究如圖，已知直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)，，，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的解析式及直線的解析式；（2）求的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)，使周長(zhǎng)最短？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）如果對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由二、中考幾何壓軸題11．問(wèn)題情境：兩張直角三角形紙片中，．連接，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交線段，于點(diǎn)，（與在直線異側(cè)）．特例分析：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；拓展探究：（2）當(dāng)，探究下列問(wèn)題：①如圖2，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：；②如圖3，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；推廣應(yīng)用：（3）若圖3中，，設(shè)的面積為，則的面積為．（用含，的式子表示）12．愛好思考的小明在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長(zhǎng)．13．幾何探究：（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請(qǐng)直接寫出答案）（類比探究）（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個(gè)等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出BD的長(zhǎng)．14．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長(zhǎng)．15．綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究體會(huì)圖形在軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)等變換過(guò)程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動(dòng)手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問(wèn)題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個(gè)；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時(shí)，△DBQ′的面積最大值為．16．在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上任一點(diǎn)（點(diǎn)除外）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，得到，連接．（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（請(qǐng)選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理）（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．17．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問(wèn)題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．18．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸做圓周運(yùn)動(dòng)．在中國(guó)古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．19．（1）（操作）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過(guò)程中的值有變化嗎？為什么？20．綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作利用正方形紙片的折疊開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．探究體會(huì)在正方形折疊過(guò)程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，將正方形對(duì)折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長(zhǎng)為半徑的圓上；②_________；③為_______三角形，請(qǐng)證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時(shí)，正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線（不過(guò)點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為____________．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．（1）；（2）如圖所示，見解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；或：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）①?gòu)膱D象可知：當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，（3）①當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類比函數(shù)探究過(guò)程探究絕對(duì)值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．2．C解析：（1）（2）當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，用含未知數(shù)的值表示QM的長(zhǎng)度，從而可求解;（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為,分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，可解出的值.【詳解】（1）令，則，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）；令，則解得，點(diǎn)A為（-1,0）；點(diǎn)B為（4,0）∴（2）如圖1所示：點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn),設(shè)直線BD的解析式為，將代入得：解得∴直線BD的解析式為：∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∴解得（不合題意，舍去）∴當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∵是以BD為直角邊的直角三角形∴當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得（不合題意，舍去）∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和拋物線的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于拿出函數(shù)解析式，會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出關(guān)鍵的點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度.3．F解析：（1）證明詳見解析；（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO；或．【解析】試題分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，則，進(jìn)而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值；（3）首選求出A，C點(diǎn)坐標(biāo)，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的長(zhǎng)，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的長(zhǎng)．試題解析：（1）證明：如圖2，∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：如圖3，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），當(dāng)x=4時(shí)，y最大=2；（3）解：如圖4，存在一點(diǎn)F，使得∠EFO=∠BAO，理由：連接EF，F(xiàn)O，拋物線y=﹣（x+4）（x﹣6），對(duì)稱軸為x==1，把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，∴B（0，8），即OB=8把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，∴A（﹣4，0），C（6，0），∴OC=6，OA=4，AC=10，∴BC===10，∴AB===4，∵EH∥BO，∴△CEH∽△CBO，∴，即，解得：BE=，∵BC=AC=10，∴∠CAB=∠CBA∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，由（1）可得△AFO∽△BEF，∴，設(shè)BF=x，則，化簡(jiǎn)得：x2﹣4x+=0，解得：x1=，x2=，∴當(dāng)BF=或時(shí)，∠EFO=∠BAO．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．4．A解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可得答案；（2）過(guò)作軸于，交于，根據(jù)拋物線解析式可得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，設(shè)，根據(jù)BC解析式可表示出點(diǎn)H坐標(biāo)，即可表示出DH的長(zhǎng)，根據(jù)△BCD的面積列方程可求出x的值，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，可得BC為AP+CP的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得答案；（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MB//ND，MB=ND，分MB為邊和MB為對(duì)角線兩種情況，結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)即可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）如圖，過(guò)作軸于，交于，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)的解析式為，則，解得，∴的解析式為：，設(shè)，則，∴，∵的面積是，∴，∴，解得：或3，∵點(diǎn)在直線右側(cè)的拋物線上，∴，∴的面積；（3）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BC為AP+CP的最小值，∵B（4，0），C（0，-6），∴AP+CP的最小值=BC==．故答案為：（4）①當(dāng)MB為對(duì)角線時(shí)，MN//BD，MN=BD，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于E，過(guò)當(dāng)D作DF⊥x軸于F，∵點(diǎn)D（3，），∴DF=，在△MNE和△BDF中，，∴△MNE≌△BDF，∴DF=NE=，∵點(diǎn)D在x軸下方，MB為對(duì)角線，∴點(diǎn)N在x軸上方，∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，把y=代入拋物線解析式得：，解得：，，∴（，），（，）如圖，當(dāng)BM為邊時(shí)，MB//ND，MB=ND，∵點(diǎn)D（3，），∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，∴，解得：，（與點(diǎn)D重合，舍去），∴（，），綜上所述：存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，首先要掌握待定系數(shù)法求解析式，其次要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運(yùn)用面積公式和平行四邊形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解題．5．F解析：（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出a即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，故可求出PF的長(zhǎng)．在中，利用勾股定理可求出PE的長(zhǎng)，即發(fā)現(xiàn)，故．（3）①由題意易求，即．結(jié)合（2）即可列出關(guān)于m的方程，解出m即可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的極限條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．根據(jù)平移規(guī)律結(jié)合①即可得出答案．【詳解】解：（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，把代入，，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，∴∵在中，，即，∴，∴，即．（3）①由題意可知，∵，∴，∴．由（2）可知，．∴，解得：（舍）．故，即．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．Ⅰ當(dāng)沿y軸向上平移，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，.∵,∴此時(shí)P點(diǎn)向上平移1個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，∴．Ⅱ當(dāng)沿y軸向下平移，且點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，如圖，.∵，∴此時(shí)P點(diǎn)向下平移4個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，∴．綜上可知．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，勾股定理，兩點(diǎn)的距離公式以及含角的直角三角形的性質(zhì)．作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．6．A解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）；（2）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】(1)解方程，可求得A、B的坐標(biāo)，令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)利用勾股定理計(jì)算出，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為，可設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），分三種情況討論：當(dāng)CQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝QC時(shí)，然后分別解方程求出m即可得到對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】(1)當(dāng)，，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以，，x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴；(2)設(shè)直線BC的解析式為，把，代入解析式得：，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），當(dāng)CQ＝CA時(shí)，，解得，，（舍去）；∴Q，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，，解得：（舍去），m2＝0（舍去）；當(dāng)QA＝QC時(shí)，，解得，∴Q．綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．7．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對(duì)頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．8．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四邊形OABC是矩形，證明見詳解．【分析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ABM≥3求出M橫坐標(biāo)的范圍即可；（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長(zhǎng)度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.【詳解】解：（1）①依題意,,解得b=-2，將b=-2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解c=3，所以拋物線的解析式為，②當(dāng)，解得，當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，∴；（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直線AB的解析式為，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N,則N(x,x+3).(如圖)，∴，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）結(jié)論是：四邊形OABC是矩形，理由如下：如圖，由PA=PO,OA=c,可得，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴拋物線，A（0，），P（，）,D（，0），∴直線OP的解析式為，∵點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，令，解得，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，），由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為，將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得，∴平移后的拋物線解析式為，令y=0,即，解得，依題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形，∵∠AOC=90，∴四邊形OABC是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并與幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較高，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法，并注重點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的互相轉(zhuǎn)化．9．C解析：（1）；y＝?（x?2）＋4；（2）（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由見詳解；②CC＝2m．【分析】（1）），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4，即可求解；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝，即可求解；（3）①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋），即可求解；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC=y?y，即可求解．【詳解】解：（1），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4；故y＝?（x?）＋＝?（x?2）＋4；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝；故答案為：（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由：點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)An（2n，0）、點(diǎn)（n，n），△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋n），解得：n＝1（不合題意的值已舍去），拋物線的表達(dá)式為：y＝?（x?1）＋1；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC＝y(tǒng)?y＝?（m?n）＋n＋（m?n＋1）?（n?1）＝2m．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，這種找規(guī)律類型題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，通常比較容易．10．A解析：（1），；（2）6；（3）存在點(diǎn)M使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為；（4）存在，，，，【分析】（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線和直線中，解之即可；（2）由圖可知，，所以只需求出AC，OB的長(zhǎng)即可，因?yàn)镃點(diǎn)為拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，令y=0即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知可得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AC的長(zhǎng)，根據(jù)已知得到B點(diǎn)坐標(biāo)，可得OB的長(zhǎng)，從而求出的面積；（3）由題意知，A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知，故當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將B，C的坐標(biāo)代入即可求出該解析式，令x=-1，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，求N點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，需分情況討論，當(dāng)HB⊥AB時(shí)，根據(jù)互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出直線HB，直線HN，直線AN的解析式，根據(jù)N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解之即可；同理可得當(dāng)HA⊥AB時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)；而當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，可得HA⊥AB，從而可求出直線AH的解析式，設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)△AHB為直角三角形，利用勾股定理求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在利用互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，拋物線解析式為．把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，直線的解析式為．（2）由（1）得，拋物線解析式為，令得，解得，，，∵，∴，∵，∴OB=3，；（3），拋物線的對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，直線過(guò)點(diǎn)，，，解得，直線的解析式，當(dāng)時(shí)，，，存在點(diǎn)使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為．（4）存在，①當(dāng)HB⊥AB時(shí)，如圖所示由（1）得直線AB的解析式為，∵HB⊥AB，∴設(shè)直線HB的解析式為，將B(0,-3)代入得，∴直線HB的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)-3=，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABHN為矩形，∴HN∥AB，AN∥HB，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得3×(-1)+m=，解得m=,∴直線HN的解析式為y=3x+,∴設(shè)直線AN的解析式為，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得n=,∴設(shè)直線AN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．②當(dāng)HA⊥AB時(shí)，如圖由（1）得直線AB的解析式為，∵HA⊥AB，∴設(shè)直線HA的解析式為，將A(1，0)代入得+b=0，解得b=，∴直線HA的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABNH是矩形，∴AB∥NH，BN∥AH，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得m=，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴設(shè)直線BN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，∵四邊形AHBN為矩形，∴△AHB為直角三角形，∠AHB=90°，∴AH2+BH2=AB2，即，解得，∴H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)，(-1,-2)，（a）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得b=-3，∴直線BN的解析式為，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-2x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-2+m=0，解得m=2，∴直線AN的解析式為y=-2x+2，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2);（b）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為y=x-1，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為y=x+n，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴直線BN的解析式為y=x-3，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-1+m=0，解得m=1，∴直線AN的解析式為y=-x+1，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)．綜上所述，存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，N點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)．在（2）中求得點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（4）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．二、中考幾何壓軸題11．（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，解析：（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，，可證∽，同理可證∽，可得，，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；②過(guò)E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PC，可證∽，即，可得，四邊形為平行四邊形，所以，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）②已證四邊形為平行四邊形，所以，且∽，，所以，即ACE的面積可得．【詳解】（1）證明：∵，于點(diǎn)，∴，，（等腰三角形三線合一）∵，，且，∴，∵，∴，即．∴，∵，∴，在ABM和CAN中，∴（AAS），∴，∴．（2）①．∵由題意可知，，，且，，∴，∴∽，同理，，，且，，∴，∴∽，∴，即，，即，∴．②．證明：過(guò)E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PC．∴，∵，∴，∴，∵于點(diǎn)，∴．∴．∴．∴，∴∽，∴，∵，∴，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形．∴，∴．（3）．∵由（2）②已證四邊形為平行四邊形，∴，又∵∽，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考察了等腰三角形三線合一、全等三角形的證明與應(yīng)用、相似三角形的證明與應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出全等三角形，且掌握相似三角形面積之比為邊長(zhǎng)之比的平方．12．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例解析：（1）相等；（2）不成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；（2）當(dāng)在Rt△ADE和Rt△ABC中，，證明△ABD∽△ACE，求出BD與CE的比例；（3）分兩種情況求出BD的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）相等;提示：如圖4所示．∵△ADE和△ABC均為等邊三角形，∴∴∴在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴．（2）不成立；理由如下：如圖5所示．在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∴∴∵∴△ABD∽△ACE∴∴故（1）中的結(jié)論不成立；（3）或．提示:分為兩種情況：①如圖6所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS）∴∴∴由題意可知：設(shè),則在Rt△BCE中,由勾股定理得：∴解之得:（舍去）∴；②如圖7所示．易證：△ABD≌△ACE（SAS），設(shè)，則在Rt△BCE中，由勾股定理得：∴解之得：（舍去）∴.綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想考慮問(wèn)題．14．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力要求比較高．15．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個(gè)；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個(gè)，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．16．（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．解析：（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．選圖2證明：連接，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此可得，結(jié)論可證；選圖3證明，類比圖2的證明方法即可；（3）分圖2和圖3兩種情況求CE的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵，且，∴△ABC為等邊三角形，∴，AB=AC，∵，且，∴△APE為等邊三角形，∴，AP=AE，∴，∴；在△BAP和△CAE中，，∴，∴BP=CE，，∵，，，∴∠ABP=30°，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．理由如下：選圖2證明：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即；又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，．選圖3證明：理由如下：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，；（3）或14．如圖，∵，∴，∵，∴在中，，∴，由（2）知：，∴；如圖，同理可得，∴，∴．綜上：的長(zhǎng)為2或14．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長(zhǎng)至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大．18．（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=O解析：（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=OD，利用SAS可證明△AOA′≌△DOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AA′=DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB′=，根據(jù)可得△OAA′∽△OBB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)即可得出，根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)平角的定義及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用AAS可證明△ABM≌△A′B′N，可得AM=A′N，利用AAS可證明△APM≌△A′PN，可得，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)