2025年成人高數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)2.已知\(f(x)=x^2+1\)，則\(f(f(1))\)的值為（）A.2B.3C.4D.53.拋物線\(y=2x^2\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,\frac{1}{2})\)B.\((0,\frac{1}{4})\)C.\((\frac{1}{2},0)\)D.\((\frac{1}{4},0)\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.46.不等式\(x^2-2x-3\lt0\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-3,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)7.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.5B.7C.11D.138.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的圖象恒過(guò)點(diǎn)（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,0)\)D.\((2,1)\)9.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((2,3)\)10.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=4\)，則\(ab\)的最大值為（）A.2B.4C.6D.8答案：1.B2.D3.B4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=x^2+1\)2.已知直線\(l_1:y=2x+1\)與\(l_2:y=-2x+3\)，則（）A.\(l_1\parallell_2\)B.\(l_1\perpl_2\)C.\(l_1\)與\(l_2\)相交D.\(l_1\)與\(l_2\)的夾角為\(45^{\circ}\)3.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(0,1,2,3,\cdots\)4.已知\(\alpha\)是銳角，且\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，則（）A.\(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)B.\(\tan\alpha=2\sqrt{2}\)C.\(\sin2\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)D.\(\cos2\alpha=-\frac{7}{9}\)5.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對(duì)稱B.關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱C.周期為\(\pi\)D.在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增6.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gtz)\)，則（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)7.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(x^2+\frac{1}{x^2}\geq2\)C.\(\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\)（\(x\gt0,y\gt0\)）D.\(x^2-3x+2\gt0\)的解集為\((1,2)\)8.已知向量\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec=(1,y)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則（）A.\(x+y=0\)B.\(xy=-1\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)D.\(x=0\)且\(y=0\)9.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)）的圖象（）A.當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.恒過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)D.與\(y=a^x\)（\(a\gt0,a\neq1\)）的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱10.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z(a\gtz,b\gtz)\)則（）A.實(shí)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.虛軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2+b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)答案：1.ABC2.CD3.ABC4.ABD5.ABC6.ABCD7.ABC8.BC9.ABCD10.ABCD三、判斷題1.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是減函數(shù)。（）2.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）3.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）4.等比數(shù)列的公比不能為\(0\)。（）5.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)與\(y=x^2\)互為反函數(shù)。（）6.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）7.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）8.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與\(\vec=(2,1)\)相等。（）9.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱。（）10.雙曲線的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸上）。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.√四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述函數(shù)單調(diào)性的定義。函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值是增大還是減小的性質(zhì)。如果對(duì)于定義域\(I\)內(nèi)某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_1\)、\(x_2\),當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就說(shuō)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)\gtf(x_2)\)，那么就說(shuō)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。2.寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前\(n\)項(xiàng)和公式。等差數(shù)列通項(xiàng)公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差。前\(n\)項(xiàng)和公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。3.簡(jiǎn)述橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及各參數(shù)的意義。焦點(diǎn)在\(x\)軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，\(a\)是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，\(b\)是短半軸長(zhǎng)，\(c\)滿足\(c^2=a^2-b^2\)是半焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)。焦點(diǎn)在\(y\)軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，\(a\)是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，\(b\)是短半軸長(zhǎng)，\(c\)滿足\(c^2=a^2-b^2\)是半焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,\pmc)\)。4.簡(jiǎn)述對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)）。當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，圖象過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，圖象過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)。對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)閈(R\)，定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)的單調(diào)性。先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式\(y=(x-1)^2-4\)。其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x\lt1\)時(shí)，隨著\(x\)增大，\((x-1)^2\)減小，\(y\)減小，所以函數(shù)在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，隨著\(x\)增大，\((x-1)^2\)增大，\(y\)增大，所以函數(shù)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.討論等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系。等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(a_1\neq0,q\neq0\)）。從函數(shù)角度看，它可以看作是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)\(y=a_1q^{x-1}\)（\(x\inN^+\)）。當(dāng)\(q\gt1\)且\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltq\lt1\)且\(a_1\gt0\)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)\(q=1\)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)\(q\lt0\)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)正負(fù)交替。3.討論橢圓與雙曲線的區(qū)別與聯(lián)系。區(qū)別：橢圓定義是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡，雙曲線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值（小于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)或\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)或\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)。聯(lián)系：它們都是圓錐曲線，都有焦點(diǎn)、離心率等概念。離心率\(e\)都反映曲線的扁平程度，橢圓\(0\lte\l