主題四平面幾何專題15特殊三角形目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定?考向二三角形的內(nèi)角和?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)?考向四含30°角的直角三角形?考向五直角三角形斜邊上的中線?考向六勾股定理?考向七勾股定理的證明?考向八勾股數(shù)?考向九勾股定理的應(yīng)用?考向十勾股定理—最短路徑問題?考向十一等腰直角三角形?考向十二三角形中位線定理?考向十三三角形的綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形．3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形；4.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題．該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點結(jié)合考察，這部分知識需要學生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用.在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識主要考查基礎(chǔ)。?考向一等腰三角形的性質(zhì)與判定解題技巧/易錯易混1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．2．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．7．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．1．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG＝AB．?考向二三角形的內(nèi)角和解題技巧/易錯易混1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．2．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．4．（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．5．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是．6．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為．?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)7．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO8．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．?考向四含30°角的直角三角形解題技巧/易錯易混在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質(zhì)常常用于計算三角形的邊長，也是證明一邊（30°角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時，我們可運用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．9．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m10．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．?考向五直角三角形斜邊上的中線11．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm12．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長．?考向六勾股定理解題技巧/易錯易混1．應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．2．如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．13．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．214．（2023?淮安）在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH為∠ABC內(nèi)部的任一條射線（∠CBH不等于60°），點C關(guān)于BH的對稱點為C′，直線AC′與BH交于點F，連接CC′、CF，則△CC′F面積的最大值是．?考向七勾股定理的證明15．（2023?湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設(shè)圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝．16．（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝．?考向八勾股數(shù)17．（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇數(shù)，則b＝（用含m的式子表示）．18．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．?考向九勾股定理的應(yīng)用19．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學史上應(yīng)用數(shù)學的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是尺．20．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．21．（2022?常州）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形ABCD，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達到36cm時才會斷裂．若∠BAD＝60°，則橡皮筋A(yù)C斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．?考向十勾股定理—最短路徑問題22．（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B． C． D．23．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計）?考向十一等腰直角三角形24．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是（）A． B． C．2 D．125．（2023?蘇州）如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，過點C作CD⊥BC，延長CB到E，使BE＝CD，連接AE，ED．若ED＝2AE，則BE＝．（結(jié)果保留根號）?考向十二三角形中位線定理26．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．827．（2023?湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長．?考向十三三角形的綜合題28．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．29．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)均以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，E沿折線A→B→C方向運動，F(xiàn)沿折線A→C→B方向運動，當兩點相遇時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．1．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO2．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A的對應(yīng)點M落在EF上，點E恰好落在點B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④5．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（）A．6 B．3 C．1.5 D．16．（2023?日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定7．（2023?樂山）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（）A． B． C． D．8．（2022?湘潭）中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．9．（2023?瀘州）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，2510．（2021?常德）閱讀理解：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④11．（2022?長沙）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線PQ交AB于點D；③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，連接AM、BM．若AB＝2，則AM的長為（）A．4 B．2 C． D．12．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．13．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為度．14．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為．15．（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．16．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm．17．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．18．（2021?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點，以EF為邊的等邊△EFP的頂點P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為．19．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝．20．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為里．21．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是．22．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為．23．（2023?德陽）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，點M為AC的中點，一只小蟲從B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于．24．（2023?沈陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在直線AC上，AD＝1，過點D作DE∥AB交直線BC于點E，連接BD，點O是線段BD的中點，連接OE，則OE的長為．25．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC與DE相交于點F．若BC∥AE，則∠AFE的度數(shù)為．26．（2023?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當AM＝2.4時，DE的長是.若點N在邊BC上，且CN＝AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當AM＞2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是