2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——熱力學(xué)熵變量在熱動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述熱力學(xué)第二定律的克勞修斯表述和開爾文表述，并說明它們?cè)诒举|(zhì)上是等效的。二、根據(jù)克勞修斯熵定義，推導(dǎo)理想氣體在等體過程中熵的變化表達(dá)式dS=nC_vdT/T，其中C_v為定體摩爾熱容。三、1.1摩爾理想氣體經(jīng)歷一個(gè)等溫膨脹過程，體積從V_1膨脹到V_2。求此過程中氣體的熵變。假設(shè)氣體溫度為T，摩爾氣體常量為k_B。2.1摩爾理想氣體從狀態(tài)(P_1,V_1,T_1)經(jīng)歷一個(gè)等壓膨脹過程到達(dá)狀態(tài)(P_2,V_2,T_2)。求此過程中氣體的熵變。假設(shè)理想氣體常數(shù)R已知。四、將1kg的0°C的冰塊投入20°C的熱水中，最終達(dá)到熱平衡。假設(shè)冰塊吸收熱量完全融化，且冰的熔化潛熱為L(zhǎng)_f，水的比熱容為c_w。求此過程系統(tǒng)（冰塊+熱水）的總熵變。提示：考慮冰塊吸熱融化以及熱水放熱的過程。五、一個(gè)可逆卡諾熱機(jī)工作在溫度為T_H的高溫?zé)嵩春蜏囟葹門_C的低溫?zé)嵩粗g。在一次循環(huán)中，熱機(jī)從高溫?zé)嵩次諢崃縌_H，向低溫?zé)嵩捶懦鰺崃縌_C。試用熱力學(xué)第二定律證明該卡諾熱機(jī)的效率η=1-T_C/T_H，并說明T_H和T_C必須是絕對(duì)溫度。六、一塊質(zhì)量為m、比熱容為c的固體物質(zhì)，從溫度T_1緩慢加熱到溫度T_2（T_2>T_1）。假設(shè)加熱過程是可逆的，且環(huán)境溫度T_0保持恒定。求在此過程中，該物質(zhì)熵的變化以及系統(tǒng)（物質(zhì)+環(huán)境）的總熵變。環(huán)境吸收的熱量δQ_環(huán)境=-δQ_物質(zhì)=mc(T-T_0)，其中T是物質(zhì)在加熱過程中的瞬時(shí)溫度。七、一個(gè)由兩個(gè)相同的熱容量為C的物體組成的系統(tǒng)，初始溫度分別為T_1和T_2(T_1>T_2)，讓它們接觸并達(dá)到熱平衡。假設(shè)過程是絕熱的、可逆的。求在此過程中系統(tǒng)的總熵變。試卷答案一、克勞修斯表述：不可能將熱量從低溫物體傳到高溫物體，而不引起其他變化。開爾文表述：不可能從單一熱源吸熱并完全轉(zhuǎn)化為功，而不引起其他變化。等效性思路：克勞修斯表述否定存在循環(huán)可逆地將熱量Q_L從低溫?zé)嵩磦鞯礁邷責(zé)嵩矗婚_爾文表述否定存在循環(huán)可逆地將從高溫?zé)嵩次盏臒崃縌_H全部轉(zhuǎn)化為功W(Q_H=W)，因?yàn)閃=Q_H-Q_L，若Q_L=0則W=Q_H。根據(jù)卡諾定理，任何熱機(jī)的效率η≤1=1-T_C/T_H(可逆卡諾機(jī)取等號(hào))，即W/Q_H≤(T_H-T_C)/T_H。這意味著部分熱量Q_L=Q_H-W必須排放到低溫?zé)嵩碩_C。因此，將Q_H全部轉(zhuǎn)化為功W(Q_L=0)是不可能的，這等價(jià)于不能將熱量Q_L從T_C傳到T_H而不引起其他變化（如功的輸出）。反之亦然，否定克勞修斯表述的情況也必然否定開爾文表述的情況。二、理想氣體等體過程V=常數(shù)，dV=0?？藙谛匏轨囟x為dS=δQ_rev/T。等體過程吸收的熱量為δQ=nC_vdT。對(duì)于可逆等體過程，δQ_rev=nC_vdT。因此，dS=nC_vdT/T。三、1.理想氣體等溫過程T=常數(shù)，dT=0。根據(jù)克勞修斯熵定義，dS=δQ_rev/T。等溫過程吸收的熱量為δQ_rev=nk_BTdV/V(由nRT=PV推導(dǎo))。因此，dS=nk_BdV/V。對(duì)n摩爾理想氣體從V_1等溫膨脹到V_2，氣體的熵變?yōu)棣=nk_Bln(V_2/V_1)。2.理想氣體等壓過程P=常數(shù)。根據(jù)公式dS=nC_vdT/T+nRdV/V。等壓過程V=nRT/P，dV=(nR/P)dT。dS=nC_vdT/T+nR(nR/P)dT/V=nC_vdT/T+nRdT/T=n(C_v+R)dT/T=nC_pdT/T。對(duì)1摩爾理想氣體從T_1等壓變化到T_2，氣體的熵變?yōu)棣=C_pln(T_2/T_1)。（注：若使用mC_p，則ΔS=mC_pln(T_2/T_1)。）四、這是一個(gè)不可逆過程（混合與相變過程通常不可逆）。計(jì)算總熵變需要設(shè)想一個(gè)可逆過程來(lái)連接初末狀態(tài)。設(shè)最終平衡溫度為T_f。冰塊吸收熱量Q_ice融化并升溫到T_f。Q_ice=mL_f+mc_w(T_f-0°C)。熱水放出熱量Q_water降溫到T_f。Q_water=mc_w(20°C-T_f)。由能量守恒Q_ice+Q_water=0，得mL_f+mc_wT_f=mc_w(20-T_f)。mL_f=mc_w(20-2T_f)。T_f=(20-L_f/(2c_w))°C。假設(shè)T_f>0°C，即L_f<20c_w。系統(tǒng)總熵變?chǔ)_總=ΔS_冰+ΔS_水。ΔS_冰=ΔS_融化+ΔS_升溫=(mL_f/T_f)+mc_wln(T_f/0°C)。ΔS_水=-(Q_water/T_f)=-mc_w(20-T_f)/T_f=-mc_w[20/T_f-1]。ΔS_總=(mL_f/T_f)+mc_wln(T_f/0°C)-mc_w[20/T_f-1]=mL_f/T_f+mc_w[ln(T_f/0°C)-19/T_f+1]=mL_f/T_f+mc_w[ln(T_f/273.15)-19/T_f+1]。（注：計(jì)算結(jié)果為正值，符合熵增原理，說明不可逆過程導(dǎo)致總熵增加。）五、可逆卡諾熱機(jī)效率η=W/Q_H=(Q_H-Q_C)/Q_H=1-Q_C/Q_H。根據(jù)卡諾定理，工作在T_H和T_C之間的所有熱機(jī)中，可逆卡諾機(jī)的效率最高，且效率僅取決于兩熱源溫度。設(shè)另一可逆熱機(jī)效率為η'，若有η>η'，則可構(gòu)造循環(huán)：讓效率高的卡諾機(jī)正向運(yùn)行做功W，將熱量Q_H放回高溫?zé)嵩?，同時(shí)從低溫?zé)嵩碩_C吸熱Q_C'，對(duì)外做功W'=η'Q_H'=Q_H'-Q_C'。由于η>η'，W>W'。將此可逆熱機(jī)反向運(yùn)行作為制冷機(jī)，吸收熱量Q_C''=Q_C'-W'，向高溫?zé)嵩捶懦鰺崃縌_H''=W'+Q_C''=W+(Q_C'-W')=Q_H'-(Q_C'-W')=Q_H'-(Q_C'-η'Q_H')=Q_H'(1-η')+η'Q_H'=η'Q_H'。這與卡諾機(jī)放熱Q_H=η'Q_H'矛盾（熱量不可能被同一熱源以相同熱量放出）。因此η≥η'，最高效率為η_max=η_carnot=η'。令效率高的卡諾機(jī)反向運(yùn)行為制冷機(jī)，其制冷系數(shù)為K=Q_C'/W=Q_C'/(Q_H'-Q_C')。對(duì)于可逆制冷機(jī)，K=T_C/(T_H-T_C)。令正向運(yùn)行的卡諾機(jī)效率為η_carnot=1-Q_C/Q_H。令反向運(yùn)行的卡諾機(jī)（作為制冷機(jī)）的制冷系數(shù)為K_carnot=T_C/(T_H-T_C)。比較兩者，有η_carnot=1-Q_C/Q_H=1-(K_carnot(Q_H-W))/Q_H=1-K_carnot(1-W/Q_H)=1-K_carnot(1-1/η_carnot)。令η_carnot=x，則x=1-K_carnot(1-1/x)=>x=1-T_C/(T_H-T_C)(1-1/x)=>x=1-T_C/T_H+T_C/(T_H-T_C)*1/x。x^2-x+T_C/(T_H-T_C)*x-T_C/T_H=0。(x-1)[x+T_C/(T_H-T_C)-T_C/T_H]=0。x+T_C/(T_H-T_C)-T_C/T_H=T_C/(T_H-T_C)-T_C/T_H=T_C[1/(T_H-T_C)-1/T_H]=T_C[(T_H-(T_H-T_C))/(T_H(T_H-T_C))]=T_C*T_C/(T_H(T_H-T_C))=T_C^2/(T_H(T_H-T_C))>0。因此x=η_carnot=1-T_C/T_H。六、此過程不是絕熱的，也不是可逆的（物質(zhì)與環(huán)境的溫度不等）。計(jì)算總熵變需設(shè)想可逆過程。物質(zhì)吸收熱量δQ=CdT，其中T從T_1變到T_2。假設(shè)加熱過程無(wú)限緩慢，可視為準(zhǔn)靜態(tài)，環(huán)境溫度始終為T_0。物質(zhì)吸收熱量的可逆方式為無(wú)限多次與微小區(qū)間溫度差為dT'的環(huán)境進(jìn)行熱交換，總熱量為∫CdT'從T_0到T。但更直接的思路是，物質(zhì)經(jīng)歷了一個(gè)有限溫差的不可逆過程，其熵變等于經(jīng)歷一個(gè)連接初末狀態(tài)的、與物質(zhì)進(jìn)行熱交換的可逆過程時(shí)的熵變。ΔS_物質(zhì)=∫dS_物質(zhì)=∫δQ_rev/T=∫CdT'/T'，積分下限為T_0，上限為T。ΔS_物質(zhì)=C∫dT'/T'=Cln(T/T_0)。環(huán)境放熱δQ_環(huán)境=-δQ=-CdT。環(huán)境溫度始終為T_0。環(huán)境放熱的過程可以設(shè)想為物質(zhì)在T_0下向環(huán)境進(jìn)行無(wú)限多次熱交換的可逆過程。ΔS_環(huán)境=∫dS_環(huán)境=∫δQ_rev_環(huán)境/T_0=∫(-δQ)/T_0=∫(-CdT')/T_0，積分下限為T_2，上限為T_1。ΔS_環(huán)境=-C/T_0∫dT'=-C/T_0(T_1-T_2)。系統(tǒng)（物質(zhì)+環(huán)境）總熵變?chǔ)_總=ΔS_物質(zhì)+ΔS_環(huán)境=Cln(T/T_0)-C/T_0(T_1-T_2)。=C[ln(T/T_0)-(T_1-T_2)/T_0]。=C[ln(T/T_0)-ln(T_1/T_2)]（如果T_1>T_2，則T_1-T_2<0，(T_1-T_2)/T_0<0，總熵變通常為正，符合熵增原理）。七、設(shè)兩物體最終平衡溫度為T_f。根據(jù)能量守恒，熱量從高溫物體流向低溫物體，Q_高=-Q_低。m_1c_1(T_f-T_1)=-m_2c_2(T_f-T_2)。m_1c_1T_f-m_1c_1T_1=-m_2c_2T_f+m_2c_2T_2。m_1c_1T_f+m_2c_2T_f=m_1c_1T_1+m_2c_2T_2。T_f(m_1c_1+m_2c_2)=m_1c_1T_1+m_2c_2T_2。T_f=(m_1c_1T_1+m_2c_2T_2)/(m_1c_1+m_2c_2)。這是一個(gè)不可逆過程。計(jì)算總熵變需要設(shè)想可逆過程。物體1從T_1變到T_f，熵變?yōu)棣_1=m_1c_1∫dT'/T'=m_1c_1ln(T_f/T_1)。物體2從T_2變到T_f，熵變?yōu)棣_2=m_2c_2∫dT'/T'=m_2c_2ln(T_f/T_2)。系統(tǒng)（兩物體）總熵變?chǔ)_總=ΔS_1+ΔS_2。ΔS_總=m_1c_1ln(T_f/T_1)+m_2c_2ln(T_f/T_2)。將T_f的表達(dá)式代入：ΔS_總=m_1c_1ln[(m_1c_1T_1+m_2c_2T_2)/(m_1c_1+m_2c_2T_1)]+m_2c_2ln[(m_1c_1T_1+m_2c_2T_2)/(m_1c_1+m_2c_2T_2)]=m_1c_1[ln(m_1c_1T_1+m_2c_2T_2)-ln(m_1c_1+m_2c_2)]+m_2c_2[ln(m_1c_1T_1+m_2