2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的群論概念考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)集合關(guān)于給定的運(yùn)算構(gòu)成群？(A)非零實(shí)數(shù)集R\{0}關(guān)于乘法運(yùn)算(B)平面上所有旋轉(zhuǎn)角度為有理數(shù)倍的旋轉(zhuǎn)運(yùn)算的集合關(guān)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)算(C)整數(shù)集Z關(guān)于除法運(yùn)算(D)所有2x2實(shí)數(shù)矩陣的集合關(guān)于加法運(yùn)算2.設(shè)G是群，a,b∈G，則(aba?1)?1等于：(A)a?1bab?1(B)a?1ba?1b(C)ab?1a?1(D)b?1a?1b3.下列哪個(gè)不是群Z??（模10的整數(shù)加法群）的子群？(A){0}(B){0,5}(C){0,2,4,6,8}(D){0,3,6,9}4.設(shè)G是群，H和K是G的子群，則H∩K也是G的子群。(A)對(duì)任何群G都成立(B)僅當(dāng)H或K是G的正規(guī)子群時(shí)成立(C)僅當(dāng)H和K是G的正規(guī)子群時(shí)成立(D)對(duì)任何群G都不成立5.下列哪個(gè)映射是群Z（整數(shù)加法群）到群Z??（模10的整數(shù)加法群）的同態(tài)？(A)f(n)=n(mod5)(B)f(n)=n(mod2)(C)f(n)=n2(mod10)(D)f(n)=n2(mod5)二、填空題（每題3分，共15分）1.在群G中，若a2=e（e為單位元），則a的階數(shù)至多為________。2.設(shè)G是階為12的循環(huán)群，則G的子群個(gè)數(shù)是________。3.在群G中，若a和b的階分別為3和4，則ab的階數(shù)為________（假設(shè)ab=ba）。4.設(shè)G是群，H是G的子群，|G|=30，|H|=5，則G中包含H的陪集個(gè)數(shù)為________。5.群Z??（模10的整數(shù)加法群）的單位元是________。三、計(jì)算題（每題6分，共18分）1.在群S?（三階對(duì)稱群）中，求元素(123)的階數(shù)，并寫出該元素的所有冪。2.設(shè)G是群，a∈G且a?=e。證明a2=e。3.設(shè)G是群，H是G的子群，|G|=24，|H|=6。證明G中存在一個(gè)子群K，使得|K|=12。四、證明題（每題7分，共21分）1.設(shè)G是群，a∈G。證明a的階數(shù)等于a的所有正整數(shù)冪構(gòu)成的子群的階數(shù)。2.設(shè)G是群，H是G的子群。證明H是G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意g∈G和h∈H，都有g(shù)hg?1∈H。3.設(shè)f:G→G'是群G到群G'的同態(tài)，K是G'的正規(guī)子群。證明f?1(K)是G的正規(guī)子群。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(C)3.(C)4.(A)5.(B)二、填空題1.22.63.44.65.0三、計(jì)算題1.解：(123)?=(123)(123)(123)(123)(123)=e，所以(123)的階數(shù)為5。其所有冪為：(123)?=e，(123)1=(123)，(123)2=(132)，(123)3=(231)，(123)?=(312)，(123)?=e。2.證明：由a?=e，可得a?a=e。兩邊同時(shí)乘以a?1，得a3=e。兩邊同時(shí)乘以a，得a?=e。再由a2a2=e，結(jié)合a?=e，可得a2=e。3.證明：由拉格朗日定理，G的子群階數(shù)必須整除|G|。|G|/|H|=24/6=4。G中存在子群K，其階數(shù)為4。設(shè)K的階數(shù)為4，則K的指數(shù)為24/4=6。由于H是G的子群，且|H|=6，|K|=4，|H|和|K|互素，根據(jù)Sylow定理的推論，K與H沒有公共元素（除單位元外）。設(shè)G中單位元為e，則K={e,a,a2,a3}，H={e,b,b2,b3,b?,b?}?？紤]子群K∪H={e,a,a2,a3,b,b2,b3,b?,b?}，其階數(shù)為9。由于9不整除24，所以K∪H不是G的子群。考慮K∩H={e}。考慮K×H，其元素為所有(k,h)其中k∈K,h∈H。|K×H|=4*6=24。由于K×H中每個(gè)元素的階數(shù)等于其各分量的階數(shù)的最小公倍數(shù)，且K中元素階數(shù)為1或4，H中元素階數(shù)為1或6，所以K×H中元素階數(shù)只可能為1,2,3,4,6,12。因此K×H不是群?？紤]另一個(gè)子群K'，其階數(shù)為12。例如，如果G是Z??（模12的整數(shù)加法群），H是2Z??（偶數(shù)整數(shù)加法群），K'=3Z??（3的倍數(shù)整數(shù)加法群），則|K'|=12。因此，存在子群K'，使得|K'|=12。四、證明題1.證明：設(shè)a的階數(shù)為n，則n是最小的正整數(shù)使得a?=e。令S={a,a2,...,a??1}，則S中元素個(gè)數(shù)小于等于n。由于a?=e，且a的階數(shù)n是最小的正整數(shù)滿足此條件，所以S中沒有重復(fù)元素，且S中所有元素都是a的不同冪。因此，S中元素個(gè)數(shù)等于n。所以S是G的一個(gè)子群，且|S|=n。根據(jù)子群定義，S={e,a,a2,...,a??1}。所以a的階數(shù)等于S的階數(shù)。2.證明：必要性：若H是G的正規(guī)子群，則對(duì)于任意g∈G和h∈H，都有g(shù)hg?1∈H。即f(ghg?1)=f(g)f(h)f(g)?1∈K。所以f?1(K)是G的子群。充分性：若f?1(K)是G的子群，則對(duì)于任意g∈G和h∈H（h∈H意味著f(h)∈K），有f(g)f(h)f(g)?1∈f?1(K)。由于f是同態(tài)，所以f(g)f(h)f(g)?1=f(ghg?1)。因此f(ghg?1)∈f?1(K)。即ghg?1∈K。所以H是G的正規(guī)子群。3.證明：首先證明f?1(K)是G的子群。取e∈G，f(e)=e'∈K，所以e∈f?1(K)。因此f?1(K)非空。取任意a,b∈f?1(K)，則f(a),f(b)∈K。由于K是G'的子群，所以f(a)f(b)∈K。因此f(ab)∈K。所以ab∈f?1(K)。因此f?1(K)是