2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)與環(huán)境科學(xué)研究中的應(yīng)用探索考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述微分方程在生態(tài)學(xué)中建模的主要作用，并列舉至少三種常見的生態(tài)學(xué)微分方程模型及其各自描述的現(xiàn)象。二、考慮一個描述兩種功能性群（如食草動物與捕食者，或兩種競爭植物）相互作用的Lotka-Volterra模型：$$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=ax-bxy\\\frac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$$其中，$x(t)$和$y(t)$分別表示兩種群的種群數(shù)量，$a,b,c,d$為模型參數(shù)。1.求此系統(tǒng)可能的平衡點（即$\frac{dx}{dt}=0$且$\frac{dy}{dt}=0$的點）。2.分析當(dāng)參數(shù)滿足何種條件時，該模型描述的是捕食-被捕食關(guān)系？并簡述其生物學(xué)意義。3.若要分析此系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，通常需要使用哪種數(shù)學(xué)工具？請簡要說明其基本思路。三、在環(huán)境科學(xué)中，常需要建立污染物在環(huán)境介質(zhì)（如水體、土壤）中的遷移轉(zhuǎn)化模型?？紤]一個簡單的污染物在河流中的彌散-吸附-降解模型。假設(shè)河流是穩(wěn)態(tài)、一維的，污染物僅通過彌散和對流進(jìn)行遷移，同時發(fā)生吸附和降解。試建立描述該過程的偏微分方程，并解釋方程中各項的物理意義。其中，$C(x,t)$表示位置$x$處、時間$t$的污染物濃度，$D$為彌散系數(shù)，$v$為河流平均流速，$k_a$為吸附系數(shù)，$k_d$為降解系數(shù)。四、假設(shè)某研究區(qū)域進(jìn)行了長期的空氣質(zhì)量監(jiān)測，記錄了某污染物（如PM2.5）的濃度數(shù)據(jù)。為了分析該污染物濃度的變化規(guī)律，研究者收集了每日的平均濃度數(shù)據(jù)。請簡述可以使用的數(shù)學(xué)方法來分析這些數(shù)據(jù)，并說明每種方法的基本原理及其可能的應(yīng)用目的。至少列舉三種不同的方法。五、線性代數(shù)中的矩陣方法在生態(tài)學(xué)中可用于分析生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，例如食物網(wǎng)或種間競爭關(guān)系。假設(shè)有一個包含三種生物（A,B,C）的簡單食物網(wǎng)，其相互作用關(guān)系可以用一個三階矩陣$Q$表示，其中$Q_{ij}$表示物種$j$對物種$i$的捕食率或競爭強度，且$Q$為非負(fù)矩陣。請解釋矩陣$Q$的元素$Q_{ii}$的生物學(xué)意義。并簡述如何利用矩陣?yán)碚摚ㄈ鏟erron-Frobenius理論）來分析該食物網(wǎng)的結(jié)構(gòu)或穩(wěn)定性。六、在實際的生態(tài)或環(huán)境模型中，許多模型難以獲得解析解，需要借助數(shù)值方法進(jìn)行求解。以常微分方程組初值問題為例，簡述一種常用的數(shù)值解法（如歐拉法或龍格-庫塔法）的基本思想。假設(shè)你需要使用數(shù)值方法求解一個描述種群增長的微分方程模型，你會選擇哪種（或哪些）數(shù)值方法？請說明選擇的原因，并考慮該方法可能存在的局限性。試卷答案一、微分方程能夠描述生態(tài)系統(tǒng)中種群數(shù)量隨時間變化的動態(tài)過程，特別是涉及相互作用（如捕食、競爭）時。它可以幫助我們理解種群增長、衰退、波動等現(xiàn)象，并預(yù)測種群未來的發(fā)展趨勢。常見的生態(tài)學(xué)微分方程模型包括：1.Logistic增長模型($\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$)：描述在資源有限環(huán)境下，種群數(shù)量$N$的增長速率，其中$r$為內(nèi)稟增長率，$K$為環(huán)境容納量。2.Lotka-Volterra捕食者-被捕食者模型（見第二題）)：描述捕食者種群$y$和被捕食者種群$x$之間的相互作用動態(tài)。3.Lotka-Volterra競爭模型（如$\frac{dx}{dt}=x(a-bx-cy)$,$\frac{dy}{dt}=y(-d+ex-fy)$）：描述兩種競爭物種$x$和$y$之間的競爭關(guān)系動態(tài)。二、1.平衡點：令$\frac{dx}{dt}=0$和$\frac{dy}{dt}=0$，解得可能的平衡點為$(0,0)$,$(\frac{c}mosmwqu,\frac{a})$。2.捕食-被捕食關(guān)系分析：當(dāng)參數(shù)滿足$\frac{1}yuegyss>0$且$\frac{1}{a}<0$時，即$d>0$且$a<0$（根據(jù)題目中系數(shù)正負(fù)定義，此處按標(biāo)準(zhǔn)模型應(yīng)為$a>0,b>0,c>0,d>0$，描述捕食-被捕食時需調(diào)整參數(shù)正負(fù)使得$x$增長項$a>0$,$y$增長項$d>0$。若按題目參數(shù)定義，則需分析$\frac{dx}{dt}=ax-bxy=x(a-by)$，要使$x$能被$y$增長促進(jìn)，需$a>0,by<0$即$b>0,y<0$，但這與標(biāo)準(zhǔn)模型矛盾。通常標(biāo)準(zhǔn)模型為$\frac{dx}{dt}=ax-bxy,\frac{dy}{dt}=-cy+dxy$，其中$a,b,c,d>0$。若題目模型意圖為捕食-被捕食，可能需修正參數(shù)正負(fù)或題意。此處按標(biāo)準(zhǔn)模型分析：當(dāng)$a>0,d>0$時，模型描述捕食者$y$的增長依賴于被捕食者$x$，被捕食者$x$的增長受到捕食者$y$的抑制。其生物學(xué)意義是：當(dāng)獵物豐富時，捕食者數(shù)量會增加；捕食者數(shù)量增加會導(dǎo)致獵物數(shù)量減少；獵物數(shù)量減少反過來又限制了捕食者數(shù)量。兩者數(shù)量呈現(xiàn)周期性波動。3.穩(wěn)定性分析工具：通常使用線性穩(wěn)定性分析。基本思路是：首先找到平衡點，然后在平衡點附近對原始非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化（求雅可比矩陣），計算該雅可比矩陣在平衡點處的特征值。根據(jù)特征值的實部符號判斷平衡點的穩(wěn)定性：所有特征值實部為負(fù)，則平衡點穩(wěn)定（如$(0,0)$）；至少有一個特征值實部為正，則平衡點不穩(wěn)定；存在實部為零的特征值，需進(jìn)一步判斷（可能是不穩(wěn)定焦點或中心點）。三、建立的偏微分方程為：$$\frac{\partialC}{\partialt}+v\frac{\partialC}{\partialx}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}-k_aC-k_dC$$其中：*$\frac{\partialC}{\partialt}$：污染物濃度在時間上的變化率。*$v\frac{\partialC}{\partialx}$：由于河流流動（對流）導(dǎo)致的污染物在空間上的變化率。*$D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}$：污染物由于彌散作用在空間上的擴散效應(yīng)。*$k_aC$：污染物被吸附到河床或河岸沉積物中的速率，與濃度成正比。*$k_dC$：污染物在水中發(fā)生降解（如光降解、化學(xué)降解、生物降解）的速率，與濃度成正比。四、可以使用的數(shù)學(xué)方法及其原理和目的如下：1.時間序列分析：原理是利用統(tǒng)計方法分析數(shù)據(jù)點隨時間變化的模式。目的在于識別數(shù)據(jù)中的趨勢（上升、下降）、周期性（季節(jié)性波動）、季節(jié)性調(diào)整、隨機波動或異常值，從而理解污染物濃度變化的動態(tài)特征和環(huán)境影響因素。2.回歸分析：原理是通過建立自變量（如時間、氣象因素、人類活動指標(biāo)）與因變量（污染物濃度）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（線性或非線性方程），來描述和預(yù)測濃度變化。目的在于量化不同因素對污染物濃度的影響程度和方向，進(jìn)行模型構(gòu)建和預(yù)測。3.主成分分析（PCA）或多變量統(tǒng)計分析：原理是將多個相關(guān)變量（可能包括不同位置的污染物濃度、氣象數(shù)據(jù)等）降維，提取出少數(shù)幾個能夠解釋最大數(shù)據(jù)變異性的綜合因子（主成分）。目的在于識別污染物濃度的主要變化模式或空間格局，發(fā)現(xiàn)不同污染物之間的相關(guān)性，或用于后續(xù)的聚類、分類等分析。五、矩陣$Q$的元素$Q_{ii}$表示物種$i$受到自身或其他物種對其的直接總影響（包括正影響和負(fù)影響）的速率。具體來說，如果$Q_{ij}>0$表示物種$j$對物種$i$有促進(jìn)作用（如捕食、提供資源），如果$Q_{ij}<0$表示物種$j$對物種$i$有抑制作用（如競爭、捕食）。因此，$Q_{ii}=\sum_{j=1}^3Q_{ij}$可以看作是物種$i$在單位時間內(nèi)從所有其他物種（包括自身）那里接收到的總影響（促進(jìn)和抑制的代數(shù)和）。利用矩陣?yán)碚摲治鍪澄锞W(wǎng)結(jié)構(gòu)或穩(wěn)定性的一種方法是Perron-Frobenius理論。該理論主要適用于非負(fù)矩陣。其核心結(jié)論之一是：一個非負(fù)矩陣$Q$的最大特征值$\lambda_{\max}$是唯一的，且對應(yīng)的特征向量$v$的所有分量均為正。這個最大特征值$\lambda_{\max}$通常與食物網(wǎng)的異步增長率或總體穩(wěn)定性有關(guān)。如果$\lambda_{\max}>1$，可能表明系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的增長趨勢；如果$0<\lambda_{\max}<1$，可能表明系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（在特定條件下）。特征向量$v$的分量可以解釋為各物種在食物網(wǎng)中的相對重要性或?qū)ο到y(tǒng)動態(tài)的貢獻(xiàn)度。六、以歐拉法為例，其基本思想是：將連續(xù)的時間區(qū)間$[t_n,t_{n+1}]$分成小步長$h$，在時間點$t_n$處的解$(x_n,y_n)$處近似該點的切線（即用導(dǎo)數(shù)的值來近似未來的變化），得到下一個時間點$t_{n+1}=t_n+h$處的解近似值$(x_{n+1},y_{n+1})$。計算公式為：$$x_{n+1}=x_n+hf_1(t_n,x_n,y_n)\\y_{n+1}=y_n+hf_2(t_n,x_n,y_n)$$其中$f_1=\frac{dx}{dt}$,$f_2=\frac{dy}{dt}$。選擇哪種數(shù)值方法取決于模型特性和要