高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市2026屆高三上學期第一次調(diào)研監(jiān)測數(shù)學試卷一、單選題1．已知向量a=-1,?2,?bA．-32 B．-6 C．32【答案】B【解析】向量a=-1,?2,?b故選：B.2．已知集合M=x2-x<1,?N=A．-∞,?1 B．1,?+【答案】D【解析】由2-x<1，可得x>0，由logx則M=xx>0,則M∩?故選：D.3．已知復數(shù)z=-12-32i（A．1 B．-1 C．1+i D．【答案】A【解析】由題可得z2所以z3故選：A.4．若函數(shù)fx=sin2x-π6+φA．-3 B．3 C．-33【答案】C【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，若y=sinωx+θ為偶函數(shù)，則已知函數(shù)fx=sin2x-π當k=0時，φ=2π3，φ=2π3；當k=-1所以φ取得最小值φ=-π所以tanφ故選：C.5．“a∈-∞,?-3∪2,?+∞”是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因點-1,?-2在圓則-12+-2解得：a∈-注意到-833則由“a∈-∞,?-3∪2,?+∞由“點-1,?-2在圓x2+y2-ax-2y+即“a∈-∞,?-3∪2,?+∞”故選：B.6．已知A組數(shù)據(jù)“x1,?x2,??,?xm”和B組數(shù)據(jù)“y1,?y2,?A．15 B．32 C．35 D．42【答案】B【解析】由條件可知，總體平均數(shù)z=設(shè)A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為s12，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是y，方差是所以所有數(shù)據(jù)的總體方差s2=4n故選：B.7．已知直線l:y=kx為雙曲線C:x2a2-y2b2=1b>a>0的一條漸近線，l與圓M:x+22+A．233 B．3 C．2 D【答案】C【解析】因為直線l:y=kx為雙曲線C:x所以k=圓M:x+22+y2=4的圓心所以點M到直線l的距離d=-2k因為l與圓M交于O,?P兩點（O為坐標原點），所以因為△POM的面積為3，所以12所以sin∠PMO=32所以∠PMO=π3或若∠PMO=π3，則點M到直線l的距離所以-2kk2+-12所以ba此時雙曲線C的離心率e=c若∠PMO=2π3，則點M到直線l的距離所以-2kk2+所以k=33所以雙曲線C的離心率e=2，故選：C.8．已知函數(shù)fx的定義域為0,+∞，?x1,?xA．13 B．12 C．1 D【答案】C【解析】由題意知fx在0,設(shè)fx+2則ft=1，則fx=t-2x，則fx=2-2x，x∈0,故選：C.二、多選題9．已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則（A．若Sn=2B．S3nC．SnD．Sn【答案】BC【解析】對于選項A：∵Sn=2n2+n，當n≥2時，an適合n=1，∴an=4n-1對于選項B：Sn為等差數(shù)列an的前n項和，設(shè)an則SnS3n=3na1S6nS9n(S9n-(S9n-S6n對于選項C：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S1=a1若S1,?即2(2a1+d)=∴Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3n對于選項D：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S1=a1若S1,?S2解得a12+a1d+d2=0，將a且解為a1=0，此時Sn=0，則S故選：BC.10．某健身愛好者每周進行兩次跑步訓練，每次跑步距離為5km或6km，第一次跑步距離為5km或6km的概率均為12，若第一次跑步距離為5km，則第二次跑步距離為5km的概率為13，跑步距離為6km的概率為23；若第一次跑步距離為6km，則第二次跑步距離為5km的概率為35，跑步距離為6km的概率為25.若一周跑步距離超過10km可以評定為“A．該人一周的跑步距離為12km的概率為1B．該人一周的跑步距離為11km的概率為13C．已知該人被評定為“運動達人”，則該人一周內(nèi)跑步距離為12km的概率為6D．若該人在連續(xù)的4周內(nèi)被評定為“運動達人”的次數(shù)為X，則X的數(shù)學期望E【答案】ACD【解析】令事件Ai表示第i次跑步距離為5km，事件Ai表示第i次跑步距離為6所以PA令事件B表示該人一周的跑步距離為12km，令事件C表示該人一周的跑步距離為11km，令事件D表示該人被評定為“運動達人”，對于A：PB=PA對于B：PC=PA對于C：PD=PA所以PBD=PB=1對于D：由X～B4,56，所以EX故選：ACD.11．如圖“四角花瓣”圖形可以看作由拋物線C:x2=2pyp>0繞坐標原點分別旋轉(zhuǎn)π2，π，3π2后所得三條曲線與C共同圍成的區(qū)域（陰影區(qū)域），A,?BA．p=1B．△AOB的面積為16C．S的值比32小D．直線y=x+b截第二象限“花瓣”的弦長可能為1.4【答案】BCD【解析】設(shè)拋物線C繞原點順時針旋轉(zhuǎn)π2，π，3π2后得到的三條曲線分別為C1，拋物線C的焦點為0,p2，故C1的焦點為p2,0，C2的焦點為故C1:y2=2px，C對于A：A為曲線C與C1交點，聯(lián)立方程x2=2pyy2B為曲線C與C3交點，聯(lián)立方程x2=2pyy2又因為AB=8=2p--2p=4p，故p=2.對于B：由上述過程可得，A4,4，B-4,4，△ABO的面積為8×4×12=16對于C：由于對稱性，陰影部分在四個象限的圖形全等，故只討論第一象限部分.第一象限部分依然根據(jù)對稱性，可分為兩份，以下只討論曲線C與直線y=x圍成的部分.設(shè)該陰影部分面積為S'，顯然S=8設(shè)函數(shù)fx=14x2，則f因此過A點的切線方程為y=2x-4.該切線與x軸交于M，故M2,0S'<S△AOM=12×2×4=4對于D：第二象限的“花瓣”圖形由曲線C和曲線C3圍成，兩者關(guān)于y=-x對稱直線y=x+b與曲線C相交，聯(lián)立方程化簡得x2所以x<0，故x=2-21+b，所以交點坐標2-2由于“花瓣”圖形僅限陰影部分區(qū)域，故-4≤2-21+b≤0，即由于C3與C關(guān)于直線y=-x對稱，直線y=x+b亦關(guān)于直線y=-x所以直線y=x+b與C3的交點坐標為2故弦長l=設(shè)1+b=m，則1≤m≤3，故l=因此當m=1或3時，即b=0或8時，直線y=x+b與兩曲線交于一點，弦長為0；當m=2時，即b=3時，弦長最長，此時l=2>1.4.故弦長的取值可能為1.4.故D故選：BCD.三、填空題12．已知函數(shù)fx=x3-2x2【答案】y=2x+4【解析】f'所以切線的斜率為k=ff(-1)=-1-2+5=2，所以y=fx在點-1,?f-1處的切線方程為故答案為：y=2x+4.13．已知三棱錐P-ABC中，PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=22，D為PB的中點，過點D作三棱錐P-ABC外接球的截面，則截面面積的最小值為【答案】π【解析】取線段AC的中點E，連接PE,BE,DE，因PA=PC=2，AB=BC=2，AC=22則由勾股定理可知，PA⊥PC，AB⊥BC，則PE=BE=AE=EC=2則點E為三棱錐P-ABC的外接球球心，外接球半徑為2，因PB=2，則由勾股定理可知，PE⊥BE，因D為PB的中點，則DE=1設(shè)球心E到過點D的三棱錐P-ABC外接球的截面的距離為d，截面圓的半徑為r，則d2欲使截面面積最小，即r最小，則要求d最大，當DE垂直截面時，d最大，最大值為DE=1，則r的最小值為2-1=1，則截面面積的最小值為π故答案為：π.14．記M是從1，2，3，4，5，6，7中任取三個不同的數(shù)字構(gòu)成的最大的三位數(shù)（例如：取1，2，3時，則M為321）；N是從1，2，3，4，5，6中任取三個不同的數(shù)字構(gòu)成的最大的三位數(shù)，則M>N的概率為.【答案】7【解析】M是從1，2，3，4，5，6，7中任取三個不同的數(shù)字構(gòu)成的最大的三位數(shù)，N是從1，2，3，4，5，6中任取三個不同的數(shù)字構(gòu)成的最大的三位數(shù)，則取得的M,N共有C7M中有數(shù)字7時，都滿足M>N，有C6M中沒有數(shù)字7時，則M和N都是從1，2，3，4，5，6中任取三個不同的數(shù)字構(gòu)成的最大的三位數(shù)，共C6其中滿足M=N的有C63×1=20種組合，滿足M>N所以依題意取到的M和N中，M>N的概率P=300+190故答案為：710四、解答題15．設(shè)函數(shù)fx（1）若a=-1，求函數(shù)fx（2）若fx≥0恒成立，求a解：（1）當a=-1時，函數(shù)fx=2x-ln則f'令f'x=0當x∈-1,-12時，f'x當x∈-12,+∞時，f所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為-1,-12（2）由函數(shù)fx=2x-lnx-a，可得則f'因為12則當x∈a,?12+a時，f當x∈12+a,+∞時，f'所以fx在x=12要使得fx≥0恒成立，則1+2a+ln所以a的取值范圍為-1-ln16．已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S（1）求等比數(shù)列an的公比q（2）若a1=1,?bn=log解：（1）由題意若Sn+1則得2Sn=則得an+2=-2a故q=-2.（2）由（1）可知q=-2，又a1=1，所以則an所以anTn=0+1×-2-2Tn=0+1×由①-②=-2解得Tn所以數(shù)列anbn的前n17．在銳角△ABC中，內(nèi)角A,?B,?（1）求角B；（2）若AC=2，求△ABC面積的取值范圍；（3）證明：cos2A+（1）解：因為A+B+C=π，所以sin所以2sin即sin2B-3cos因為B∈0,?π2,（2）解：由正弦定理BCsin所以BC=4sin因為B=π6，則又△ABC為銳角三角形，則0<A<π20<所以S=4=4=4=2==2sin因為A∈π3,?π所以△ABC面積的取值范圍是23（3）證明：由（1）可知，cos2B=要證cos2A+即證cos2A+而cos2A+即證3cos即證3cos即證-3而cosB=318．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB=2CD=2AP=2PD=4,?PA⊥PD,?AB⊥BC,?AB（1）證明：CE//平面PAD（2）若平面PAD⊥底面ABCD，求直線CE與底面ABCD所成角的正切值；（3）若異面直線PA與CD所成的角為π4，求平面PAD和平面ADB夾角的余弦值（1）證明：取PA的中點為F，連接EF,DF,則EF//AB，且又AB//CD，且所以EF//CD，且EF=CD，所以四邊形EFDC為平行四邊形，所以又CE?平面PAD，DF?平面PAD，所以CE//平面PAD（2）解：因為CE//DF，所以直線CE與底面ABCD所成角即直線DF與底面如圖，過F作FM⊥AD于M，又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，F(xiàn)M?平面PAD，則FM⊥底面ABCD，所以∠FDM即為直線DF與底面ABCD所成角.取AD的中點O，連接PO，因為AP=PD，則PO⊥AD.因為F為PA的中點，所以M為PO的中點.又AB=2CD=2AP=2PD=4,?則AD=PA2在Rt△FDM中，F(xiàn)M=所以tan∠FDM=即直線CE與底面ABCD所成角的正切值為13（3）解：因為異面直線PA與CD所成的角為π4，又AB所以∠PAB（或其補角）即為異面直線PA與CD所成的角，所以∠PAB=π4或如圖，取AD的中點O，連接PO，因為AP=PD，則PO⊥AD.過O作ON⊥AD交AB于N，連接PN，則∠PON或∠PON的補角，即為平面PAD和平面ADB的夾角.由AB=2CD=2AP=2PD=4,?易知，AD=22，∠OAN=即△AON為等腰直角三角形，所以AN=2.當∠PAB=π4時，在△PAN中，由余弦定理得PN在△PON中，PO=2由余弦定理得cos∠PON=當∠PAB=3π4時，在△PAN由余弦定理得PN在△PON中，PO=2所以PN>22=PO+ON綜上，若異面直線PA與CD所成的角為π4，平面PAD和平面ADB夾角的余弦值為219．已知橢圓C:x2a2+y2b2（1）求C的方程；（2）若C上存在不關(guān)于x軸對稱的兩點M,?N，使得∠MTN恰好被x軸平分，求（3）過T的直線l'與C交于不同的兩點A,?B,橢圓在A,?B兩點處的切線相交于P,?（1）解：依題意可得a2-b2a=2（2）解：由題意可知，直線MN的方程可設(shè)為x=my+tm≠0，設(shè)M聯(lián)立x=my+t,x22y1+y2=-2mtm易知直線MT的斜率kMT與直