高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期開學摸底考數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題所給四個選項中，只有一項是符合題意的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得或，故，故，故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，由可得或，故能得到，同時也無法推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.86 B.87 C.88 D.90【答案】B【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因為，所以第75百分位數(shù)是．故選：B．4.一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結論正確的是（）A. B.事件A與事件B互斥C.事件A與事件B相互獨立 D.【答案】C【解析】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個：，其中事件發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D不正確.故選：C.5.已知，，若，則實數(shù)m的值為（）A. B. C.3 D.2【答案】C【解析】，即，，故，則，由于，故，解得或，因為，所以，故，即，解得.故選：C.6.已知平面向量和滿足，在上的投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，在上的投影向量為，故，故，所以，則在上的投影向量為.故選：A.7.已知函數(shù)，若a，b，c，d互不相等，且，則的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】C【解析】令，則故，令，則或，由解析式知：在上遞減且值域，在上遞增且值域為，在上遞減且值域為，在上遞增且值域為．作出的草圖如下，令且，則，，，為與的交點橫坐標，由圖知：，且，則，由對勾函數(shù)可知在上遞減，故,故,故選：C.8.在中，M為BC上一點且滿足，，，若，則的外接圓半徑為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】設，則，因為，所以，由三角形面積公式得，解得，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，則的外接圓半徑為.故選：D.二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.瑞士數(shù)學家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A.虛部為1B.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限C.D.若，在復平面內(nèi)分別對應點，，則面積的最大值為1【答案】AC【解析】A選項，，故的虛部為1，A正確；B選項，，故在復平面內(nèi)對應的點坐標為，在第一象限，B錯誤；C選項，，故，C正確；D選項，若，，故，，則，故，當，即時，面積取得最大值，最大值為，D錯誤.故選：AC.10.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)是一個奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.當時，的值域為D.若方程在區(qū)間上恰有六個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】BCD【解析】由，得故，由于為奇函數(shù)，故，由于，故取，則，故，對于A，最小正周期為，A錯誤，對于B，由于，故B正確，對于C，當時，則，故，故的值域為1,2，C正確，對于D，時，則，要使在區(qū)間上恰有六個不等實根，則，解得，故D正確，故選：BCD.11.如圖，M為棱長為2的正方體表面上的一個動點，則（）A.當在平面內(nèi)運動時，四棱錐的體積是定值B.當在直線上運動時，與所成角的取值范圍為C.使得直線與平面所成的角為60°的點的軌跡長度為D.若為棱的中點，當在底面內(nèi)運動，且平面時，的最小值【答案】ACD【解析】對于A，因為底面正方形的面積不變，在平面內(nèi)運動時,又到平面的距離為正方體棱長，故四棱錐的體積不變，故A正確；對于B，由于，故與所成的角即為與所成的角，當在端點時，為等邊三角形，此時所成的角最小，最小為，當在的中點時，所成的角最大，最大為，故與所成角的取值范圍為，故B錯誤；對于C，由于在正方體表面上，若直線與平面所成的角為60°，則,故以為圓心，以為半徑作球，與棱相交于點，則的軌跡為線段，以及在平面內(nèi)以為圓心、為半徑的圓弧，如圖①，故的軌跡長度為，故C正確；分別取、、、、的中點、、、、，由正方體的性質(zhì)可知、、、、，六點共面，且為正六邊形，如圖②,由中位線定理，，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，所以平面平面，在底面內(nèi)運動,所以軌跡為線段，取中點，連接,則平面，故,故當最小時，最小，由于故，故當為時，的長最小，此時,故最小為，D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.在中，D為BC邊上的中點，E是AD上靠近A的四等分點，若則______．【答案】【解析】由，則，因此.13.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬．專家發(fā)現(xiàn)：兩歲燕子的飛行速度可以表示為（米/秒），若某只兩歲的燕子耗氧量為時的飛行速度為（米/秒），另一只兩歲的燕子耗氧量為時的飛行速度為（米/秒），兩只燕子同時起飛，當時，一分鐘后第一只燕子比第二只燕子多飛行的路程為______米.【答案】【解析】因為，所以，所以，，又，所以，所以，所以，所以一分鐘后第一只燕子比第二只燕子多飛行的路程為（米）.14.已知是球O的球面上的五個點，四邊形為梯形，，，，平面，則球O的表面積為______．【答案】【解析】取中點，由于，，故,則四邊形為平行四邊形，故，同理可得，故，故為梯形外接圓圓心，過作平面，且使得，則四邊形為矩形，故球心在的中點，設球的半徑，，根據(jù)球的性質(zhì)得，，故，故表面積為．四、解答題：本大題共5個小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.2023年起我國旅游按下重啟鍵，寒冬有盡，春日可期，先后出現(xiàn)了“淄博燒烤”，“哈爾濱與小土豆”，“天水麻辣燙”等現(xiàn)象級爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平臺發(fā)布了六安的宣傳片：六安瓜片、舒城小蘭花、固鎮(zhèn)大白鵝等等出現(xiàn)在大眾視野現(xiàn)為進一步發(fā)展六安文旅，提升六安經(jīng)濟，在5月份對來六安旅游的部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿，交通，服務等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度采用百分制，統(tǒng)計的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中.（1）試估計游客滿意度得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和第60百分位數(shù).（2）六安文旅6月份繼續(xù)對來六安旅游的游客發(fā)起滿意度調(diào)查現(xiàn)知6月1日-6月7日調(diào)查的4萬份數(shù)據(jù)中其滿意度的平均值為85，方差為74：6月8日-6月14日調(diào)查的6萬份數(shù)據(jù)中滿意度的平均值為95，方差為69.由這些數(shù)據(jù)計算6月1日—6月14日的總樣本的平均數(shù)與方差.解：（1）由題意知，，所以，所以滿意度得分的平均值為，因為，，所以第百分位數(shù)位于第三個區(qū)間內(nèi)，所以第百分位數(shù)為分.（2）把6月1日—6月7日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，把6月8日—6月14日的樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為，總樣本方差為，則總樣本平均數(shù)，由方差的定義，樣本總方差為：,所以，所以總樣本的平均數(shù)為，方差為.16.已知銳角的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求周長的取值范圍．解：（1）由正弦定理得，則，所以，即，由于，所以，所以，則，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形周長為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周長的取值范圍是.17.如圖1，矩形中，，，為邊上的一點．現(xiàn)將沿著折起，使點到達點的位置．（1）如圖2，若為邊的中點，點為線段的中點，求證：平面；（2）如圖3，設點在平面內(nèi)的射影落在線段上．①求證：平面；②當時，求直線與平面所成的角的余弦值．解：（1）如圖，取是線段的中點，連接，，因為點是線段的中點，所以，，因為，，所以，，即四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）①由題意可知平面，平面，故，又平面，故平面②由于平面，故為直線與平面所成的角，，，故,,則，故,故直線與平面所成的角的余弦值為.18.設函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并討論其單調(diào)性（不需證明單調(diào)性）；（2）求證：；（3）若在區(qū)間上的最小值為，求的值．解：（1）由題意可知，的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增；（2）因為，，所以可得；（3）由,令，由，則，又，則令，對稱軸，當，即時，，解得，當，即時，，解得，又，因此不符合題意，當，即時，，解得，綜上知，.19.對于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對的的“正弦標準差”．（1）若集合，，求A相對的的“正弦