高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新未來2026屆高三上學(xué)期9月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)命題，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】∵存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，∴，.故選：B.2.樣本數(shù)據(jù)40，70，110，130，160，200，200，290，320的極差和中位數(shù)分別為（）A.280，160 B.280，130C.250，160 D.250，145【答案】A【解析】樣本數(shù)據(jù)40，70，110，130，160，200，200，290，320，最小數(shù)為40，最大數(shù)為320，則極差為；這組數(shù)據(jù)共有9個，因此第五個數(shù)據(jù)是中位數(shù)，即中位數(shù)為160.故選：A.3.已知集合，則A的所有真子集的個數(shù)為（）A.6 B.7 C.14 D.15【答案】D【解析】∵，∴，解得，又，∴，共4個元素，∴其真子集有個.故選：D.4.已知向量，的夾角為，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，∴.故選：C.5.已知直線與焦點在x軸上的雙曲線C的其中一條漸近線垂直，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由兩直線垂直可得雙曲線C的一條漸近線的斜率，設(shè)焦點在x軸上的雙曲線C的方程為，則它的漸近線方程為，結(jié)合題意得到，故C的離心率e=1+故選：A6.已知函數(shù)滿足對于任意的，都有，則的最小正周期的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于任意的fa=fb這等價于相鄰兩個函數(shù)值相等的間隔至少為1，對于函數(shù)fx相鄰兩個函數(shù)值相等的間隔即為周期，故最小正周期.故選：C.7.記首項為的等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得，所以，，則，故選：B.8.近日，毛絨卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的頭部形狀可視為球形，某廠家利用3D打印技術(shù)制作該頭部模型，一批發(fā)商向該廠家定制半徑為r（單位：dm）的拉布布頭部模型.已知每個這樣的模型的打印成本為元，廠家可制作的模型的最大半徑為，若批發(fā)商以3元/的價格收購，則該廠家售賣單個模型最多可以獲利（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】D【解析】由題意可得利潤Lr所以L'r=4令L'r=0，當(dāng)時，L'r>0，當(dāng)時，L'r<0，∴利潤Lr在時取得最大值，此時L3∴該廠家售賣單個模型最多可以獲利元.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，則（）A.B.C.曲線關(guān)于軸對稱D.不等式的解集為【答案】AC【解析】由題意可得，，解得，故選項A正確，選項B錯誤；由前面計算可知，其定義域為關(guān)于原點對稱，且，為偶函數(shù)，即曲線關(guān)于軸對稱，故選項C正確；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故等價于，兩邊平方可得，解得，故選項D錯誤；故選：AC.10.已知，若，，則下列說法正確的是（）A. B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】選項A：∵，∴，∴或，，即或，，∵，∴，∴，∴，，，∴，故選項A正確；選項B：∵，且在上單調(diào)遞減，∴，又，∴，故選項B正確；選項C：由可知，，∴當(dāng)時，，故選項C錯誤；選項D：由題意得，即，∴，由可知，，∴，故選項D正確.故選：ABD.11.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為2，短軸長為，A是橢圓E上且位于第一象限內(nèi)的一點，過點A且與橢圓E相切的直線分別交y軸、x軸于B，C兩點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，則（）A.E的長軸長為4B.設(shè)點，則的最小值為C.的面積不小于D.【答案】ACD【解析】對于A，半焦距，短半軸長，則長半軸長，橢圓E的長軸長為4，A正確；對于B，橢圓，設(shè)點，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；對于C，設(shè)切線的方程為，由3x2+4則，即x0=-4km4k2+3，切線方程為，由點在切線上，得，點，，又，因此，C正確；對于D，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，的傾斜角為，由，，得，要證，只要證明即可，當(dāng)時，，，，因此，又，則，即，由，得，于是，；當(dāng)時，軸，點，直線方程為，，，，則，因此，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某實踐團有個男生、個女生，從中任選人發(fā)起問卷調(diào)研，那么恰好有個女生被選中的方法有______種.【答案】【解析】恰好有個女生被選中時，共有種方法，故答案為：.13.已知，其中a為實數(shù)，若，則a=______.【答案】【解析】易得，若，則，解得.故答案為：.14.在中，，，則其內(nèi)切圓半徑r的最大值為______；若平面內(nèi)動點P滿足，則當(dāng)r取得最大值時，的取值范圍為______.【答案】①.（或）②.【解析】解法一：不妨記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由余弦定理可得，即4=b+c2故bc=b+c2-4可得r=bcsinA故2+3b+c2故b+c≤4故r=2-當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故r的最大值為，此時，為等腰三角形.記的中點為O，因為，，可得，于是由等腰三角形性質(zhì)可知，故且，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，O三點共線時等號成立.故的取值范圍是1+3,3+解法二：不妨記的內(nèi)心為M.∵，∴，又sin7π12∴內(nèi)切圓半徑，又由余弦定理，得，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.，根據(jù)條件，易證得，為等腰三角形，A，M，D三點共線.，由得，故且，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，D三點共線時等號成立，故的取值范圍是1+3,3+故答案為：①（或）；②1+3,3+3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2025年7月22日是二十四節(jié)氣中的第十二個節(jié)氣——大暑.受今年氣候等多因素的影響，全國各地高溫天氣持續(xù)不斷.某校以“預(yù)防中暑，防止脫水”為主題舉行活動.為了解男女同學(xué)對該活動的興趣程度，對多位該校同學(xué)進行了調(diào)查，并將結(jié)果整理成如下列聯(lián)表.性別興趣程度合計感興趣不感興趣男生女生合計（1）當(dāng)m足夠大時，估計從該校任選一名對該活動不感興趣的學(xué)生是男生的概率；（2）若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為對該活動是否感興趣與性別有關(guān)，求正整數(shù)m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】解：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知當(dāng)m足夠大時，以頻率估計概率可知，從該校任選一名對該活動不感興趣的學(xué)生是男生的概率為.（2）由題意可得χ2若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為對該活動是否感興趣與性別有關(guān)，則，解得因為m為正整數(shù)，所以m的最小值為10.16.設(shè)函數(shù)；（1）若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若的極大值點與其一個零點重合，求a.【答案】解：（1）若，此時，得f'x=3令可得，由于，由得，，由得，，故在[1,4+73]上單調(diào)遞減，在（2）由題可得f令，則的零點為，a，3，又的極大值點與其一個零點重合，注意到，無論將三個零點中的任意一個代入導(dǎo)函數(shù)，均會遺留包含另外兩個零點的式子，故要使遺留的式子也為0，當(dāng)且僅當(dāng)a的值與其他兩個零點中的任意一個相同時成立.∴若，f'x=x-13x-7，當(dāng)時，，當(dāng)時，故為函數(shù)的極大值點，符合題意，若時，f'x=x-33x-5，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故為函數(shù)的極小值點，不滿足題意，故.17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為F，其圖象上兩點A，B滿足，其中點A在第一象限，點B在第四象限，不與x軸垂直.且當(dāng)時，點B的橫坐標(biāo)為6.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點，為上一點，求證：.【答案】（1）解：不妨記，，由，可知，由拋物線的定義可得，解得，故拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由可知，即不妨設(shè)直線，聯(lián)立，可得到，∴，，∴，代入可得∴，整理得，易知，代入可得，故∴的斜率，而的斜率，∴，∴.18.如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為棱，的中點，.（1）已知，；①求證：三棱柱是直三棱柱；②求二面角的正弦值.（2）若，，求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）①證明：由是等邊三角形可知，，，平面，平面，∴平面.又平面，∴.∵，且，∴，由，分別為，的方向向量可知，.∵，平面，平面，∴平面，故三棱柱是直三棱柱.②解：∵，，，平面，平面，平面平面，∴二面角的平面角為.∵，，∴，∴.∴二面角的正弦值為.（2）解：由（1）可知，∵，∴，又∵，∴，∴，解得，∴，∵，∴，∴.記異面直線與的夾角為，則.19.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）數(shù)