高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省七校協(xié)作體2026屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，全集，?故選：C.2.“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得或由，得且，所以“成立”是“成立”的必要不充分條件，故選：B．3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?即，可得，解得.故選：D.4.根據(jù)中國報(bào)告大廳對2023年3月—10月全國太陽能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測統(tǒng)計(jì)，太陽能發(fā)電量（億千瓦時(shí)）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表，則（）月份345678910發(fā)電量242.94230.87240.59259.33258.9269.19246.06244.31A.中位數(shù)是259.115 B.極差是36.32C.第85百分位數(shù)是257.33 D.第25百分位數(shù)是241.765【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8個(gè)數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，A錯(cuò)誤；極差是，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)，即259.33，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是，D正確．故選：D.5.記為事件A的對立事件，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，因?yàn)?，得，則.故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A.e B.1 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．故選：D.7.已知數(shù)列中，，記為的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】B【解析】數(shù)列中，滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，即，所以，又由，則.故選：B.8.已知在上恒成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，為增函數(shù)，故，即解集為.故選：B．二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車【答案】BCD【解析】A，由條件可知，，根據(jù)對稱性可知，故A錯(cuò)誤；B，,，所以，故B正確；C，=，所以，故C正確；D，，，所以，故D正確.故選：BCD.10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.， B.等差數(shù)列的公差C.使成立的n最小為10 D.當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，因數(shù)列為等差數(shù)列，，則，且，則，所以，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由A知，則，則，則公差，B正確；對于C選項(xiàng)，由，得或，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n最小值為10，C正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，，則在單調(diào)遞減B.若，則C.若，則有最小值D.若有解，則實(shí)數(shù)c的最小值為－1【答案】BCD【解析】易得，對于A，若，，則，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對于B，若，則，，當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增，則，B正確；對于C，，令，，顯然，設(shè)兩根為，則，兩根異號(hào)，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增，則有最小值，C正確；對于D，有解，等價(jià)于有解，令，則，當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增，則，則，則實(shí)數(shù)c的最小值為－1，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量，則_______.X0123Pa5a【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價(jià)于，由表可知；故答案為：.13.已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則_________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有相同的切線，所以即，所以故答案為：.14.若數(shù)列滿足（，d為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值為______.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以，故為等差數(shù)列．由，得，所以，所以，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故的最大值為．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.數(shù)列中，，滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明：由，得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得（，.所以.16.設(shè)函數(shù)，函數(shù).（1）若對于任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】解：（1）對于任意的，總存在，使得，即，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得.（2）時(shí)，可得，，即，因?yàn)?，分離參數(shù)可得，由題意，不等式在存在解集，則因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，所以的最大值為1.17.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】解：（1）因?yàn)?，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.18.有一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．游戲規(guī)定：每位參與者進(jìn)行次摸球，每次從袋中摸出一個(gè)球，有兩種摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后將球均放回袋中，再進(jìn)行下一次摸球，摸到紅球的次數(shù)記為X；二是（不放回摸球）每次摸球后將球均不放回袋中，直接進(jìn)行下一次摸球，摸到紅球的次數(shù)記為Y．（1）若，（?。┣箅S機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）游戲規(guī)定摸到的紅球數(shù)不少于摸到的黑球數(shù)則中獎(jiǎng)，在這個(gè)規(guī)則下，設(shè)有放回摸球中獎(jiǎng)概率為，無放回摸球中獎(jiǎng)概率為，求和并比較它們大小．（2）若，當(dāng)取得最大時(shí)的k值滿足（，），若函數(shù)與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】解：（1）（?。τ诓环呕孛?，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，可取0，1，2，3，4，，；；；；；服從超幾何分布，的分布列為：01234，所以；（ⅱ）由題意得游戲規(guī)定摸到的紅球數(shù)不少于摸到的黑球數(shù)則中獎(jiǎng)，在這個(gè)規(guī)則下，設(shè)有放回摸球中獎(jiǎng)概率為，無放回摸球中獎(jiǎng)概率為，對于有放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果互相獨(dú)立，，則；；；故，由（?。┛芍?，因?yàn)椋?；?）當(dāng)，則，若最大，則，即，得又，，故，，由題得方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩邊取對數(shù)得有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，令，解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，可知的圖象如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合得，，所以.19.已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)?，且，設(shè)，則，可知在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由題意可知：的定義域