專題2.4確定圓的條件（舉一反三講義） 【蘇科版】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷確定圓的條件】 2【題型2確定圓心（尺規(guī)作圖）】 4【題型3求能確定的圓的個數(shù)】 8【題型4畫圓（尺規(guī)作圖）】 11【題型5三角形的外接圓】 16【題型6求三角形外心坐標(biāo)】 21【題型7求三角形外接圓的半徑】 25【題型8最小覆蓋圓】 29知識點(diǎn)三角形的外接圓圓的確定不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個圓.經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)（A，B，C）作圓的一般步驟：如圖，（1）連接AB，BC；（2）分別作AB，BC的垂直平分線EF，HG，交于點(diǎn)O；（3）以交點(diǎn)O為圓心，以交點(diǎn)到三點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓，⊙O即為所求．2.三角形的外接圓（1）經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．（2）三角形的外心，是外接圓的圓心，是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．（3）三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑．（4）三角形的外心的位置類型銳角三角形直角三角形鈍角三角形圖示位置外心在三角形內(nèi)部外心是斜邊的中點(diǎn)外心在三角形外部【題型1判斷確定圓的條件】【例1】（2025·福建廈門·二模）如圖，已知線段AB，AD，點(diǎn)C在線段AB上，下列說法正確的是（

）A．經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，只能作一個圓B．經(jīng)過點(diǎn)A，B，D，只能作一個圓C．經(jīng)過點(diǎn)A，以AD的長為半徑只能作一個圓D．經(jīng)過點(diǎn)A，B，以AD的長為半徑只能作一個圓【答案】B【分析】本題考查的是確定圓的條件，熟記不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓是解題的關(guān)鍵．根據(jù)確定圓的條件，逐項(xiàng)分析即可判斷．【詳解】解：A、經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，不能作圓，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、經(jīng)過點(diǎn)A，B，D，只能作一個圓，說法正確，符合題意；C、經(jīng)過點(diǎn)A，以AD的長為半徑能作無數(shù)個圓，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、經(jīng)過點(diǎn)A，B，以AD的長為半徑能作兩個圓，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；故選：B．【變式11】（2425九年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖是一塊被打碎的圓形玻璃，若想要去店里配到一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，應(yīng)該帶去店里的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】本題考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上三點(diǎn)確定一個圓即可解得，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，只要有一段弧，即可確定圓心和半徑，∴小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是②，故選：B．【變式12】平面上有四個點(diǎn)，過其中任意3個點(diǎn)一共能確定圓的個數(shù)為（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4【答案】C【分析】根據(jù)四個點(diǎn)在平面上不同的位置確定有四種情況，分別討論構(gòu)成圓的個數(shù)即可得到答案.【詳解】如圖，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，不能確定圓，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，只能作一個圓，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可以作三個圓，當(dāng)四點(diǎn)不共圓時(shí)，且沒有三點(diǎn)共線時(shí)，能確定四個圓．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)構(gòu)成圓的個數(shù)，點(diǎn)的位置關(guān)系，正確分析點(diǎn)的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式13】（2425九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知M1,2，N3,?3，Px,y三點(diǎn)可以確定一個圓，則以下PA．3,5 B．?3,5 C．?1,7 D．1,?3【答案】C【分析】考查了確定圓的條件及一次函數(shù)圖象與點(diǎn)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓”，難度不大．利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，再把每點(diǎn)代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個圓，由于(?1,7)在直線MN上，可知答案．【詳解】解：設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，∴k+b=23k+b=?3解得k=?5∴y=?5A、當(dāng)x=3，y=?52×3+92=?3≠5，故3,5不在直線MN上，根據(jù)不在同一直線三點(diǎn)確定一個圓得B、當(dāng)x=?3，y=?5C、當(dāng)x=?1，y=?52×?1+D、x=1，y=?5故選：C．【題型2確定圓心（尺規(guī)作圖）】【例2】（2024·吉林長春·三模）將邊長為2的小正方形ABCD和邊長為4的大正方形EFGH如圖擺放，使得C、E兩點(diǎn)剛好重合，且B、C、H三點(diǎn)共線，此時(shí)經(jīng)過A、F、G三點(diǎn)作一個圓，則該圓的半徑為．【答案】2【分析】本題考查確定圓的圓心，由題意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，取CH的中點(diǎn)O，連接OA，OF，OG，由勾股定理可得OA=OF=OG=25，可知點(diǎn)O為A、F、G【詳解】解：由題意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，取CH的中點(diǎn)O，則OC=OH=2，OB=4，連接OA，OF，OG，由勾股定理可得：OA=AB2∴OA=OF=OG，即：點(diǎn)O為A、F、G三點(diǎn)所作圓的圓心，則該圓的半徑為25故答案為：25【變式21】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝8，按下列步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑作弧相交于點(diǎn)H，作射線AH；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交射線AH于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，線段OA長為半徑作圓．則⊙O的半徑為【答案】5【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T．半徑為r，∵AB=AC=25，AO平分∠BAC∴AO⊥BC，BT=TC=4，∴AT=A在Rt△OCT中，則有r解得r=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式22】（2425九年級上·河南許昌·期中）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．(1)求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圓的半徑．【答案】(1)見解析(2)此殘片所在圓的半徑為10．【分析】本題考查圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握通過垂徑定理找圓心，通過勾股定理構(gòu)造方程求邊長是解題的關(guān)鍵．（1）由于CD是弦AB的垂直平分線，則圓心在直線CD上，因此連接AC，圓心在AC的垂直平分線上，故作AC的垂直平分線，交CD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是所求的圓心；（2）連接AO，設(shè)半徑為x，即AO=CO=x，則DO=CO?CD=x?4，根據(jù)CD是AB的垂直平分線，得到∠ADO=90°，AD=12AB=8，因此在Rt【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)O為所求的圓心．（2）解：連接AO，

設(shè)半徑為x，即AO=CO=x，∴DO=CO?CD=x?4，∵CD是AB的垂直平分線，∴∠ADO=90°，AD=1∴在Rt△ADO中，A即82解得：x=10，∴此殘片所在圓的半徑為10．【變式23】（2425九年級上·福建福州·期中）“七巧板”是我國古代勞動人民的發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔方”．小潔同學(xué)用一個邊長為22的正方形紙片制作出如圖①的七巧板，并拼出如圖②的軸對稱圖形．過該圖形的A，B，C三個頂點(diǎn)作圓，則這個圓的半徑長為（

A．322 B．52 C．73【答案】C【分析】本題主要考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心，AD垂直平分BC交BC于點(diǎn)D，O為圓心，連接OB，先求得AD=4，AB=3，利用垂徑定理求得BD的長，在Rt△OBD【詳解】解：如圖，AD垂直平分BC交BC于點(diǎn)D，O為圓心，連接OB，∵將邊長為22∴AD=2+1+1=4，BC=2+1=3，∴BD=1設(shè)該圓的半徑長是x，則OB=x，OD=4?x，在Rt△OBD中，由勾股定理得x解得x=73∴該圓的半徑長是7332故選：C．【題型3求能確定的圓的個數(shù)】【例3】已知：A，B，C，D，E五個點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，無任何四點(diǎn)共圓，那么過其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出(

)．A．5個圓 B．8個圓 C．10個圓 D．12個圓【答案】C【分析】根據(jù)過不共線三點(diǎn)可作一個圓，找出不共線三點(diǎn)的組數(shù)即可．【詳解】解：過其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出10個，即分別過點(diǎn)ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圓．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共圓問題，掌握查確定圓的個數(shù)方法是解題關(guān)鍵．【變式31】如圖所示，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)M在AC外，經(jīng)過圖中的三個點(diǎn)作圓，可以作個．【答案】3【分析】根據(jù)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓”確定圓的個數(shù)即可．【詳解】過A、B、M；A、C、M；B、C、M共能確定3個圓，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，注：過三點(diǎn)作圓，分兩種情況：①三點(diǎn)共線；②三點(diǎn)不共線．【變式32】已知點(diǎn)A，B和直線l，作一個圓，使它經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，并且圓心在直線l上．（1）當(dāng)直線l與直線AB不垂直時(shí)，可作幾個圓？（2）當(dāng)直線l與直線AB垂直但不經(jīng)過AB的中點(diǎn)時(shí)，可作幾個圓？（3）當(dāng)直線l是線段AB的垂直平分線時(shí)，可作幾個圓？【答案】（1）1個；（2）0個；（3）無數(shù)個．【分析】（1）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l只有1個交點(diǎn)，據(jù)此可得答案；（2）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l沒有個交點(diǎn)；（3）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l重合，即直線l上所有點(diǎn)均可作為經(jīng)過A，B的圓的圓心．【詳解】解：（1）如圖1，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l只有1個交點(diǎn)，∴當(dāng)直線l與直線AB不垂直時(shí)，只能作1個圓；（2）如圖2，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l沒有個交點(diǎn)，∴當(dāng)直線l與直線AB垂直但不經(jīng)過AB的中點(diǎn)時(shí)，不能作圓；

（3）如圖3，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l重合，即直線l上所有點(diǎn)均可作為經(jīng)過A，B的圓的圓心，∴當(dāng)直線l是線段AB的垂直平分線時(shí)，能作無數(shù)個圓．【點(diǎn)睛】本題主要考查確定圓的條件，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．即過不在同一條直線上的三個點(diǎn)有且只有一個圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個圓．【變式33】請你在如圖所示的12×12的網(wǎng)格圖形中任意畫一個圓，則所畫的圓最多能經(jīng)過169個格點(diǎn)中的個格點(diǎn)．【答案】16【分析】以一個小正方形的中心為圓心．記圓心坐標(biāo)為（0.5，0.5），取半徑為1302【詳解】解：以一個小正方形的中心為圓心．記圓心坐標(biāo)為（0.5，0.5），取半徑為1302故答案為16【點(diǎn)睛】本題考查圓的半徑，并且在解答是要注意半徑與數(shù)軸的關(guān)系.【題型4畫圓（尺規(guī)作圖）】【例4】（2425九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC．(1)請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的直徑為10，則AC=【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ACB的角平分線CD，作線段AC的垂直平分線交CD于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O即可．（2）連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，CE，再利用勾股定理求出AC，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，射線CD，⊙O即為所求．（2）解：連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．∵CA=CB，CD平分∠ACB，AB=48∴CD⊥AB，AE=BE=245，又∴OE=O∴CE=OC+OE=5+7∴AC=A故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，作角平分線，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，利用勾股定理解決問題．【變式41】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上．【答案】圖見解析【分析】此題主要考查了尺規(guī)作圖，圓的基本性質(zhì)，熟練掌握常見尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．作圓，即需要先確定其圓心，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，即O點(diǎn)為圓心．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求．（1）作出∠CAB的角平分線，（2）作出線段BC的垂直平分線交于O，OB=OC，（3）即以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑，作圓O，如下圖所示：【變式42】（2025·甘肅定西·模擬預(yù)測）有趣的倍圓問題：根據(jù)圓的面積公式πr應(yīng)用：如圖，校園里有個圓形花壇，記為⊙O，為美化校園，準(zhǔn)備春季改造，想把該花壇的面積擴(kuò)大成原來面積的8倍，但原來花壇在新花壇的內(nèi)部，請你根據(jù)他們的設(shè)計(jì)的步驟，完成下面的作圖題：（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）①在⊙O中作直徑AB，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧在直徑AB上方交于點(diǎn)C，作射線②延長直徑AB，在延長線上截取OD=2OB，同樣在射線OC上截取OE=2OB，連接DE；③以點(diǎn)O為圓心，DE的長為半徑畫圓，大⊙O為所求作的花壇．【答案】見解析【分析】此題考查了尺規(guī)作垂線，尺規(guī)作圓，根據(jù)題目中的作圖方法求解即可．【詳解】如圖所示，大⊙O為所求作的花壇．【變式43】（2025·江蘇揚(yáng)州·三模）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡即可）(1)請?jiān)趫D①中作菱形DEBF，使得點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上；（保留作圖痕跡即可）(2)請?jiān)趫D②中以矩形ABCD的AD邊為邊作菱形ADEF，使得點(diǎn)E在BC上；（保留作圖痕跡即可）(3)請?jiān)趫D③中以矩形ABCD的AD邊為直徑作⊙O，并在⊙O上確定點(diǎn)P，使得ΔBCP的面積與矩形ABCD【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，理解題意、靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接BD，作BD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，DF，則四邊形DEBF為所求；（2）以點(diǎn)D為圓心，AD的長為半徑畫弧，交BC為點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)E、點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接DE、EF、AF，則四邊形ADEF為所求；（3）作線段AD的垂直平分線MN，交AD于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AO的長為半徑畫圓，即可得⊙O，以點(diǎn)O為圓心，AB的長為半徑畫弧，在AD的上方交MN于點(diǎn)E，再作∠MEF=∠EOD，作直線EF，分別交⊙O于點(diǎn)P′、P【詳解】（1）解：如圖，菱形DEBF為所求．證明如下：∵EF是BD的垂直平分線，∴BE=DE，BF=DF，設(shè)EF與BD的交點(diǎn)為O，∴BO=DO，∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠EDO=∠FBO，∵∠EOD=∠FOB，∴△DOE≌△BOFASA∴DE=BF，∴BE=DE=BF=DF，∴四邊形BEDF是菱形．（2）如圖，菱形ADEF即為所求．證明如下：由作圖可得AD=DF=AF=EF，∴四邊形ADEF是菱形．（3）解：如圖，①作線段AD的垂直平分線MN，交AD于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AO的長為半徑畫圓，即可得⊙O；②以點(diǎn)O為圓心，AB的長為半徑畫弧，在AD的上方交MN于點(diǎn)E；③作∠MEF=∠EOD，作直線EF，分別交⊙O于點(diǎn)P′、P∴點(diǎn)P′、P證明如下：設(shè)MN與BC交于點(diǎn)G，∵∠MEF=∠EOD，∴EF∥∵在矩形ABCD中，AD∥∴EF∥由作圖可知MN⊥AD，∴MN⊥EF，MN⊥BC，由作圖可知OE=AB，∴OG=AB=OE，∴EG=2AB，∴S△BC【題型5三角形的外接圓】【例5】（2425九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知△ABC是圓內(nèi)接等腰三角形，它的底邊長是8，若圓的半徑是5，則△ABC的面積是（

）A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，分類討論是解答本題的關(guān)鍵；已知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，若過A作底邊BC的垂線AD，則AD所在直線必過圓心O；在Rt△OBD中，由勾股定理可求出OD的長，進(jìn)而可求出△ABC的面積，需注意本題的△ABC【詳解】解：如圖①，過A作AD⊥BC于D，則AD必過點(diǎn)O，連接OB，在Rt△OBD中，OB=5,BD=4由勾股定理得：OD=OB2∴S△ABC如圖②，同（1）可求得OD=3，則AD=OA?OD=2，∴S△ABC綜上，△ABC的面積是32或8，故選：B．【變式51】如圖，三角形ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BO與AC相交于點(diǎn)D，設(shè)∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，則m、n的等量關(guān)系為．【答案】m＝n+2．【分析】連接OA、OC，如下圖所示，得到∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，進(jìn)而得到∠1+∠3＝m∠1﹣45°，2∠3+∠2＝n∠1+45°由此即可解出m和n的關(guān)系．【詳解】解：設(shè)∠ABD＝∠1，∠OAC＝∠2，∠OCB＝∠3，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∴點(diǎn)O是△ABC的外心，∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∴∠1+∠3＝m∠1﹣45°①，∵∠ADB＝n∠ABD+45°，∴2∠3+∠2＝n∠1+45°②，∵∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，即2∠1+2∠2+2∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3=90°，∴由②得∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45°③，把③代入①得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°，∴（n+2）∠1＝m∠1，即m＝n+2．故答案為：m＝n+2．【點(diǎn)睛】本題借助圓內(nèi)半徑相等得到等腰三角形的兩個底角相等，熟練掌握圓的對稱性等基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式52】（2425九年級上·黑龍江牡丹江·期中）半徑為6的⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，AB=AC，連接OB，OC，延長CO交弦AB于點(diǎn)D，若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為．【答案】62或【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)；正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．如圖1，當(dāng)∠ODB=90°時(shí)，可得△ABC是等邊三角形，解直角△OBD可求解；如圖2，當(dāng)∠DOB=90°，推出△BOC是等腰直角三角形，解△BOC可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)∠ODB=90°時(shí)，即CD⊥AB，∴AD=BD，∴AC=BC，∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BCD=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DBO=30°，∵OB=6，∴OD=1∴BD=O∴BC=AB=2BD=63如圖2，當(dāng)∠DOB=90°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2綜上所述：若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為62或6故答案為：62或6【變式53】（2324九年級上·浙江臺州·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動課上，九（1）班同學(xué)在研究Rt△ABC（∠ACB=90°）和等腰△DEF（FD=FE小明說“當(dāng)∠ABC=∠DFE，小剛說“當(dāng)S△ABC=S你認(rèn)為說法正確的是（

）A．小明對小剛不對 B．小剛對小明不對C．小明小剛都對 D．小明小剛都不對【答案】A【分析】本題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形三邊關(guān)系，記△ABC外接圓圓心為O1（如圖1），△DEF外接圓圓心為O2（如圖2），設(shè)∠ABC=∠DFE=α，則∠O1AC=90°?α，∠DFO2【詳解】解：如圖，，記△ABC外接圓圓心為O1（如圖1），△DEF外接圓圓心為O設(shè)∠ABC=∠DFE=α，則∠O∵△DEF為等腰三角形，∴O2在底邊∴由等腰三角形的三線合一可得：O2F平分∴∠DFO∵∠BCA=90°，O1∴CO∴∠O∵O∴∠DFO∵DF=EF，∴∠FDE=180°?α∴∠O∵O∴∠O∴∠O1AC=∠∵AC=DE，∴△O∴△O如圖3，當(dāng)S△ABC=S△DEF，故選：A．【題型6求三角形外心坐標(biāo)】【例6】（2425九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過原點(diǎn)O,A(4,0),B(4,3)三點(diǎn)，則下列說法中錯誤的是（

）A．這條圓弧所在圓的半徑為52 B．這條圓弧所在圓的圓心為C．點(diǎn)N(0,3)在這條圓弧所在圓上 D．點(diǎn)M(2,5)在這條圓弧所在圓上【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的外接圓、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、勾股定理等內(nèi)容,熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定圓的條件及勾股定理計(jì)算解答即可．【詳解】解：如圖，連接AB，作OA,AB的垂直平分線CM,EF，垂足分別為C,E，CM,EF相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為圓弧所在圓的圓心，∴EF∥OA,ON∥CM∥AB,∵A(4,0),B(4,3)，∴D2,故選項(xiàng)B正確，連接OD，∴OD=2∴這條圓弧所在圓的半徑為52故選項(xiàng)A正確，連接DN，∴DN=2?0∴點(diǎn)N(0,3)在這條圓弧所在圓上，故選項(xiàng)C正確，∵M(jìn)2,5∴DM=5?3∵7∴點(diǎn)M(2,5)在這條圓弧所在圓外，故選項(xiàng)D錯誤，故選：D．【變式61】（2425九年級上·河北承德·期末）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格圖中建立一個平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A0,2，B4,2，C6,0．圓心為D，則D【答案】(2,?2)【分析】本題主要考查垂徑定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，通過作圖，確定圓心的位置是解題的關(guān)鍵．找到AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心，再求其坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，連接BC，分別作AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，由圖可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?2)，故答案為：(2,?2)；【變式62】（2425九年級上·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?12x+2分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，則△ABO【答案】2,1【分析】本題考查的是三角形是外接圓與外心，掌握圓周角定理、直角三角形外心的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)直角三角形外心是斜邊的中點(diǎn)解答即可．【詳解】解：∵y=?1∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，?12x+2=0∴直線y=?12x+2于x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，于y軸的交點(diǎn)B∵∠AOB=90°，∴△AOB為直角三角形，∴△ABO的外心為斜邊AB的中點(diǎn)，即2,1，故答案為：2,1．【變式63】（2223九年級上·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，△ABC，A(?1,3)，B(?2,?2)，C(4,?2)，則△ABC外心的坐標(biāo)為（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,?2)【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，則可得GH，EF的交點(diǎn)為Q為△ABC的外心，再分別求解GH，EF的解析式即可得到答案．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，∴直線EF是線段AC的垂直平分線，記GH，EF的交點(diǎn)為Q，則Q為△ABC的外心，∵A(?1,3)，B(?2,?2)，C(4,?2)，∴直線GH為x=1，E4,3，F(xiàn)設(shè)直線EF為y=kx+b，∴4k+b=3?k+b=?2，解得：k=1∴直線EF為y=x?1，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，∴Q1,0，即△ABC的外心坐標(biāo)為：1,0故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，三角形的外心的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)”是解本題的關(guān)鍵．【題型7求三角形外接圓的半徑】【例7】（2223九年級上·湖北武漢·期末）如圖所示，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?1,3、B?2,?2、C4,?2，則△ABCA．32 B．23 C．10 【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，設(shè)△ABC的外心為M，由B，C的坐標(biāo)可知M必在直線x=1上，由圖可知線段AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)1,0，由此可得M1,0，過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，連接MB，由勾股定理求出MB【詳解】解：設(shè)△ABC的外心為M，∵B?2,?2、C∴M必在直線x=?2+4由圖可知，線段AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)1,0，∴M1,0如圖，過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，連接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3，由勾股定理得：MB=M即△ABC外接圓半徑的長為13．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網(wǎng)格和三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷出△ABC外心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2223九年級上·山東煙臺·期末）把一條長2m的鐵絲折成頂角為120°的等腰三角形，那么這個三角形外接圓的半徑為m．【答案】(4?2【分析】設(shè)等腰△ABC的外接圓圓心為O，連接OB、OA，OA交BC于點(diǎn)D，則OA⊥BC，∠OAB=12∠BAC=60°，故BD=CD，再求證△OAB是等邊三角形，得OA=OB=AB，則AD=12【詳解】如圖，設(shè)等腰△ABC的外接圓圓心為O，連接OB、OA，OA交BC于點(diǎn)D，則OA⊥BC，∠OAB=1∴BD=CD，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=OB=AB，∴AD=1設(shè)OA=AB=xm，則AD=∴BD=A∴BC=2BD=3由題意得：x+x+3解得：x=4?23即這個三角形的外接圓半徑為：4?2故答案為：4?23【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識，熟練掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式72】（2425九年級上·江蘇無錫·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則△DEF的外接圓半徑為【答案】5【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，三角形的中位線定理，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB=10，然后利用三角形的中位線定理可得：EF=12AB=5，DE∥AC，【詳解】如圖：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=1∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，∴∠DEB=∠C=90°，∵點(diǎn)D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥BC，∴∠DEB=∠EDF=90°，∴△DEF外接圓半徑=1故答案為：52【變式73】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，BD=BE=6，CD=CA=10，則△AED的外接圓半徑為（A．3 B．103 C．113 【答案】B【分析】先作輔助線，再根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)以及垂徑定理可以得到OM、OD、DM三者之間的關(guān)系，最后利用勾股定理求出外接圓的半徑．【詳解】解：如圖所示∵BE=BD∴∠BED=∠BDE∴∠AED=∠EDF∵∠AED+∠AFD=180°，∠EDF+∠EAF=180°∴∠EAF=∠AFD∴BA=BF∵CD=CA，AB=AC∴BA=BF=CA=CD，∠B=∠C∴在△BAF與△CAD中∴BA=CA∴△BAF≌△CAD∴AF=AD∴作AM⊥DF，垂足為M則DM=FM=∴AM過外接圓圓心，設(shè)圓心為O，連接OD∵BD=BE=6，CA=CD=10∴BC=CD+BD=16∵AM⊥BC，AB=AC∴BM=CM=∴AM=102∴設(shè)OA=OD=R，則OM=6?R∴在Rt△ODM中O即R∴R=∴外接圓的半徑為：10故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外接圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，全等三角形性質(zhì)和判定等相關(guān)知識點(diǎn)，利用三角形外接圓的性質(zhì)做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型8最小覆蓋圓】【例8】我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓．（1）請分別作出下圖中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請寫出你所得到的結(jié)論（不要求證明）．【答案】(1)見解析;(2)銳角三角形（和直角三角形）的最小覆蓋圓是其外接圓；鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓【分析】第一個三角形是銳角三角形，那么它的最小覆蓋圓應(yīng)該是三角形ABC的外接圓；第二個三角形是鈍角三角形，那么它的最小覆蓋圓應(yīng)該是以BC為直徑的圓．【詳解】解：（1）如圖；（2）銳角三角形（和直角三角形）的最小覆蓋圓是其外接圓；鈍角三角形的最小覆蓋圓是以