專題2.1函數(shù)的概念（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1函數(shù)的概念】 2【題型2同一函數(shù)的判斷】 3【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】 4【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】 4【題型5函數(shù)值域的求解】 5【題型6已知函數(shù)定義域、值域求參數(shù)】 5【題型7已知函數(shù)類型求解析式】 6【題型8已知f(g(x))求解析式】 6【題型9分段函數(shù)及其應用】 71、函數(shù)的概念考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域(2)會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會應用2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分2025年北京卷：第7題，4分函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現(xiàn).預計明年高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域為主，主要在選擇題中考查.知識點1函數(shù)的定義域、值域的求法1．求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2．求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.3．求函數(shù)值域的一般方法(1)分離常數(shù)法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)單調(diào)性法；(6)換元法；(7)數(shù)形結(jié)合法；(8)導數(shù)法.知識點2函數(shù)解析式的四種求法1．函數(shù)解析式的四種求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.(3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.知識點3分段函數(shù)的應用1．分段函數(shù)的應用分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．【題型1函數(shù)的概念】【例1】（2025·山東·模擬預測）下列圖象中，能表示函數(shù)y=fx圖象的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①③【變式11】（2425高一上·陜西·期末）下列圖象中，可以表示函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【變式12】（2025高三·全國·專題練習）下列可以作為集合A到集合B的一個函數(shù)的是（

）A．A=R,B=yC．A=x∣x≥0【變式13】（2425高一上·黑龍江大慶·期中）若函數(shù)y=f(x)的定義域為M＝{x|?2≤x≤2}，值域為N＝A． B．C． D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【例2】（2025·江西九江·模擬預測）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)=x(x2+1)x2+1C．f(x)=1，g(x)=x° D．f(x)=x【變式21】（2425高一下·河北保定·階段練習）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)=1,g(x)=x0 C．f(x)=x+1,g(x)=x2?1【變式22】（2425高一上·甘肅甘南·期末）下列四組函數(shù)：①fx=x2x,gx=x2A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【變式23】（2425高一上·江西贛州·開學考試）下列各組中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．fx=1C．f(x)=1,g(x)=x0 【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】【例3】（2025·湖南岳陽·模擬預測）函數(shù)y=x+1?xA．0,1 B．0,1 C．0,+∞ D．【變式31】（2025·河北衡水·模擬預測）已知函數(shù)y=fx的定義域為0,4，則函數(shù)y=f(x+1)x?1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【變式32】（2025·海南·模擬預測）函數(shù)f(x)=A．?∞,1 B．1,2 C．?∞,2 D．?∞,1【變式33】（2425高一下·浙江金華·階段練習）函數(shù)fx=xA．?∞,?4∪C．?4,0∪0,1 【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】【例4】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）若函數(shù)y=f2x的定義域為?2,4，則y=fx?fA．?2,2 B．?2,4C．?4,4 D．?8,8【變式41】（2425高二下·江蘇無錫·階段練習）已知函數(shù)fx的定義域為?1,1，則函數(shù)gx=A．?1,1 B．1 C．1,3 D．1,2【變式42】（2025·江西九江·模擬預測）已知函數(shù)y=fx的定義域為?1,5，則函數(shù)y=f2xA．0,3 B．?3.3 C．[?3,3【變式43】（2425高一上·云南楚雄·期末）已知函數(shù)fx的定義域為?1,2，則函數(shù)gx=A．?1,1 B．1 C．1,3 D．?1,3【題型5函數(shù)值域的求解】【例5】（2024·北京懷柔·模擬預測）已知函數(shù)fx=4x22xA．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【變式51】（2425高一上·遼寧朝陽·期末）函數(shù)fx=x?1A．?∞,?52 B．?∞,?【變式52】（2425高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，值域為0,4的是（

）A．fx=x?1，x∈1,2,3,4,5C．fx=16?【變式53】（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域為D，則“f(x)的值域為R”是“對任意M∈R，存在x0∈D，使得fA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型6已知函數(shù)定義域、值域求參數(shù)】【例6】（2425高一上·江蘇常州·期中）若函數(shù)fx=1kx2+kx+1A．(0,4) B．(0,4] C．0,4 D．k<0或k>4【變式61】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)y=3xkx2+2kx+1的定義域為RA．?∞,0∪1,+∞B．?∞【變式62】（2425高一上·北京·階段練習）已知函數(shù)fx=x2?4x+3在m,n上的值域為0,1A．1,2 B．2?1,2 C．1,22 【變式63】（2425高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)fx=1a?1x2+A．1,9 B．1,8 C．1,9 D．1,8【題型7已知函數(shù)類型求解析式】【例7】（2425高一上·福建福州·期中）若函數(shù)fx是二次函數(shù)，滿足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2?2x+2 C．【變式71】（2425高一上·天津·期中）已知函數(shù)fx=kx+b為一次函數(shù)，且f(2)=?1,f(4)=3，則f?1A．3 B．?3 C．?7 D．7【變式72】（2324高一上·浙江嘉興·階段練習）已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)?2x]=3，則f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．5【變式73】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）圖象是以1,3為頂點且過原點的二次函數(shù)fx的解析式為（A．fx=?3xC．fx=3x【題型8已知f(g(x))求解析式】【例8】（2025·重慶·模擬預測）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1C．4x?12?1【變式81】（2025·遼寧沈陽·二模）已知fx?1=ex，則A．e B．2e C．e2 【變式82】（2425高一上·湖南衡陽·期中）函數(shù)fx滿足若fgx=9x+3，gxA．fx=3x C．fx=27x+10 【變式83】（2425高一上·浙江·期中）已知函數(shù)fx?2=x?4x+5A．f(x)=x2+1(x≥0)C．f(x)=x2(x≥0)【題型9分段函數(shù)及其應用】【例9】（2025·吉林長春·三模）已知函數(shù)f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，則A．1 B．2 C．4 D．8【變式91】（2025·江西上饒·一模）設fx=x,0<x<13x?1,x≥1A．12 B．13 C．19【變式92】（2025·江西·模擬預測）已知函數(shù)fx滿足fx+1=fx2,fA．1 B．4 C．5 D．2024【變式93】（2025·吉林·模擬預測）已知fx=2x?1,x<1,x2A．1 B．4 C．1或4 D．2一、單選題1．（2025·山東·一模）函數(shù)fx=x?1A．4,+∞ B．C．?2,4 D．?2．（2025·山西·模擬預測）已知ffx=x2A．0 B．1 C．0或1 D．23．（2025·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域為(0,+∞)的函數(shù)是（A．f(x)=x B．f(x)=lnx C．f(x)=4．（2025·湖北黃岡·二模）已知函數(shù)fx=x2的定義域A?R，值域B=9A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對于任意實數(shù)x，y均有fxy=yfx，且2f2A．675 B．1350 C．2025 D．40506．（2024·江西·模擬預測）已知對任意的x,y∈R，都有f(x+y+f(x))=6x+2y+3，則一次函數(shù)y=f(x)的解析式為（

）A．y=x+1 B．y=2xC．y=2x+1 D．y=x7．（2024·貴州銅仁·模擬預測）已知函數(shù)fx的定義域為0,3.記fx的定義域為集合A,f2x?1的定義域為集合BA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．（2025·云南紅河·三模）定義在R上的函數(shù)y=fx滿足：?x∈R都有fx+1?fx≤x，fx+2?fA．45 B．46 C．91 D．92二、多選題9．（2024·湖南益陽·模擬預測）下列命題中，正確的是（

）A．函數(shù)vx=xB．函數(shù)vx=xC．函數(shù)y=fx的圖象與直線x=2024D．函數(shù)fx=x?110．（2025·新疆喀什·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=2x2A．f(x)+f(?x)=0 B．f(x)≤2C．f(x)+f(1x)=211．（2025·全國·模擬預測）已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x)?f(y)=f(x+y)+f(2?x)?f(2?y)，且f(0)=1，f(?2)=0，則（

）A．f(x)=f(?x)B．f(x+4)=f(x)C．f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)+?+f(2026)=1012D．[f(x)]三、填空題12．（2025·上?！と＃┖瘮?shù)y=2x?3+113．（2025·上海寶山·二模）已知函數(shù)fx=x2+214．（2025·重慶·模擬預測）設定義域為R的函數(shù)fx滿足：?x，y∈R都有fx+fy=ffx+y四、解答題15．（2025高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)=3x(2)f(x)=1(3)f(x)=6(4)f(x)=4?x16．（2425高一下·廣西柳州·開學考試）（1）已知函數(shù)fx是一次函數(shù)，且ffx（2）