專題03銳角的三角比（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律三角比的基本概念能結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系，準(zhǔn)確寫出任意一個(gè)銳角的三種三角比表達(dá)式。熟記特殊銳角的三角比數(shù)值?；A(chǔ)必考點(diǎn)，在小題和解答題中均有涉及，包括直接默寫、代入計(jì)算以及結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算。銳角三角比的性質(zhì)掌握銳角三角比隨角度變化的規(guī)律，能根據(jù)這一性質(zhì)比較兩個(gè)銳角三角比的大小。明確同角三角比的基本關(guān)系。重點(diǎn)考查根據(jù)同角三角比的關(guān)系求值以及解直角三角形中簡(jiǎn)單的邊長(zhǎng)或角度計(jì)算。解直角三角形熟練掌握解直角三角形的基本類型及解法。能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題。熱門考點(diǎn)，以實(shí)際生活中的測(cè)量、航海、建筑等問(wèn)題為背景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和知識(shí)應(yīng)用能力。題目難度有逐漸提升的趨勢(shì)，常與其他幾何圖形結(jié)合考查。知識(shí)點(diǎn)01銳角的三角比一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比．定義表達(dá)式取值范圍相互關(guān)系正切（為銳角）余切（為銳角）正弦（為銳角）余弦（為銳角）知識(shí)點(diǎn)02特殊銳角的三角比的值11知識(shí)點(diǎn)03銳角的三角比性質(zhì)①當(dāng)銳角增大時(shí)，這個(gè)銳角的正切與正弦值都增大，這個(gè)銳角的余切與余弦值都減??；知識(shí)點(diǎn)04解直角三角形的基本類型在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．（1）三邊之間的關(guān)系：（2）銳角之間的關(guān)系：（3）邊角之間的關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)05解直角三角形的應(yīng)用1.仰角與俯角在測(cè)量過(guò)程中，常常會(huì)遇到仰角和俯角．如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角．2.方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角．如圖：北偏東30°，北偏西70°，南偏東50°，南偏西45°．3.坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、開(kāi)渠等設(shè)計(jì)圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作．題型一角的正弦值及其應(yīng)用A． B． C． D．【答案】A故選A．【答案】80故答案為：80．∵與x軸正半軸夾角的正弦值為，【典例4】（2425九年級(jí)上·上?！て谥校┮韵赂鲌D均是由邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格，、、、均在格點(diǎn)上．∴小明的畫法是正確的；（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；【變式1】（2425九年級(jí)上·上海浦東新·期中）已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和，那么較小銳角的正弦值是．【答案】【詳解】解：因?yàn)橹苯侨切蝺芍苯沁呴L(zhǎng)分別為和，所以較小銳角的正弦值為：．故答案為：．【答案】8故答案為：8．(1)求的長(zhǎng)；題型二角的余弦值及其應(yīng)用A． B． C． D．【答案】C故C不符合題意；故選：C【答案】B【詳解】解：如圖，故選：．【答案】也是對(duì)角線的交點(diǎn)，且與垂直平分，、分別是、的中點(diǎn)，故答案為：【答案】故答案為：．題型三角的正切（余切）值及其應(yīng)用【答案】B故選：B．【答案】8故答案為：8．

(1)求平移后直線的表達(dá)式；A． B．2 C． D．【答案】B故選：B．

【答案】故答案為：．題型四特殊角三角比的混合運(yùn)算【答案】2．【答案】題型五解直角三角形的相關(guān)計(jì)算(1)求的長(zhǎng)；【答案】A【詳解】解：如圖，故選：．

題型六解直角三角形中的翻折與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【答案】或依題意有以下兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖所示，由翻折的性質(zhì)得：是的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則點(diǎn)在線段上，如圖所示，故答案為：或．【答案】15故答案為：15．

【答案】

故答案為：．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，同理可得，題型七仰角俯角問(wèn)題【典例1】（2425九年級(jí)上·上海閔行·期中）進(jìn)博會(huì)期間，從一架離地200米的無(wú)人機(jī)上，測(cè)得地面監(jiān)測(cè)點(diǎn)的俯角是，那么此時(shí)無(wú)人機(jī)與地面監(jiān)測(cè)點(diǎn)的距離是米．【詳解】解：如圖，【典例2】（2425九年級(jí)上·上海普陀·期中）如圖，某興趣小組用無(wú)人機(jī)進(jìn)行航拍測(cè)高，無(wú)人機(jī)從1號(hào)樓和2號(hào)樓的地面正中間點(diǎn)垂直起飛到高度為60米的處，測(cè)得1號(hào)樓頂部的俯角為，測(cè)得2號(hào)樓頂部的俯角為．已知1號(hào)樓的高度為27米，則2號(hào)樓的高度為米(結(jié)果保留根號(hào))．為的中點(diǎn)，【答案】米．答：樹(shù)的高度約為米．(1)問(wèn)：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說(shuō)出你的理由；兩樓的間距符合規(guī)定；（2）解：延長(zhǎng)，交于，【變式2】（2425九年級(jí)上·上?！て谥校└鶕?jù)背景素材，探索解決問(wèn)題：測(cè)算發(fā)射塔的高度背景素材博雅小組在一幢樓房窗前測(cè)算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1），他們通過(guò)自制的測(cè)傾儀（如圖2）在A、B、C三個(gè)位置觀測(cè)，測(cè)傾儀上的示數(shù)如圖3所示．經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過(guò)測(cè)量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．問(wèn)題解決任務(wù)1獲取數(shù)據(jù)選擇兩個(gè)觀察位置：點(diǎn)______和點(diǎn)______．任務(wù)2推理計(jì)算直接寫出所選位置且需要的觀測(cè)角的正切值：______________；直接寫出已測(cè)得且需要的線段的圖上距離：_______________．計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．任務(wù)3換算高度樓房的實(shí)際寬度為12米，請(qǐng)通過(guò)測(cè)量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．【詳解】解：任務(wù)1：選擇點(diǎn)和點(diǎn)（答案不唯一），故答案為：、（答案不唯一）；設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為，由題意得，題型八方位角問(wèn)題

(1)若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(2)如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始改變航行方向，沿南偏東度方向航行確保安全通過(guò)這一海域，求的取值范圍．答：若輪船繼續(xù)向正東方向航行有觸礁危險(xiǎn)．題型九坡度坡比問(wèn)題A． B． C． D．【答案】A∴斜坡的坡角等于故選：A．

【答案】70【詳解】解：如圖，

故答案為：70．【答案】米答：壩底的長(zhǎng)度為米．題型十解直角三角形其它應(yīng)用【典例2】（2425九年級(jí)上·上海·期中）材料閱讀：?jiǎn)栴}解答：素材2：小磊同學(xué)要攜帶如圖3的長(zhǎng)方體行李箱進(jìn)站．（單位：）問(wèn)題解決任務(wù)1確定寬度求閘機(jī)通道的寬度，即與之間的距離．任務(wù)2確定高度任務(wù)3能否通過(guò)小磊同學(xué)的行李箱是否可以通過(guò)閘機(jī)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】任務(wù)1：如圖，連接，并向兩邊延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，，∴的長(zhǎng)度就是與之間的距離，即點(diǎn)A離地面的距離約為13.7分米；期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）【答案】B【詳解】解：畫圖如下：故選：B．A． B． C． D．任意度數(shù)【答案】A故選：A．A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】60故答案為：．【答案】故答案為：【答案】故答案為：4．【答案】．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）【答案】故答案為：．【答案】(1)求邊的長(zhǎng)；∵E是邊的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D的鉛垂高度；(2)求旗桿的高度．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交射線延長(zhǎng)線于點(diǎn)，答：點(diǎn)的鉛垂高度是米.答：旗桿的高度約為7.7米.5．（2425九年級(jí)上·上?！て谥校┬∪A家準(zhǔn)備購(gòu)買一套新房，經(jīng)過(guò)考察小華家發(fā)現(xiàn)有的房產(chǎn)開(kāi)發(fā)商，為了獲取更大利益，縮短樓間距，以增加住宅樓棟數(shù)．某市某小區(qū)正在興建的若干幢20層住宅樓，國(guó)家規(guī)定普通住宅層高宜為2.80米．如果樓間距過(guò)小，將影響其他住戶的采光（如圖所示，窗戶高1.0米）．(1)某市的太陽(yáng)高度角（即正午太陽(yáng)光線與水平面的夾角）：夏至日為81.4度，冬至日為34.88度．為了不影響各住戶的采光，兩棟住宅樓的樓間距至少為多少米？（保留到0.1米）(2)小華一家決定在該小區(qū)B、C兩棟樓中選擇一套進(jìn)行購(gòu)買，現(xiàn)向售樓中心咨詢得到如下信息：3．樓一層每平方米4萬(wàn)8，隨著樓層增高單價(jià)也隨之增高，每增加一層單價(jià)增高0.2萬(wàn)元；樓一層每平方米5萬(wàn)，隨著樓層增加單價(jià)也隨之增高．每增加一層單價(jià)也增高0.2萬(wàn)元．請(qǐng)你幫小華家計(jì)算一下，在確保全年光照充足情況下，如何購(gòu)買費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用？【詳解】（1）解：如圖所示：∴兩棟住宅樓的樓間距至少為78.6米；

∵樓一層每平方米4萬(wàn)8，每增加一層單價(jià)增高0.2萬(wàn)元，∵樓一層每平方米5萬(wàn)，每增加一層單價(jià)也增高0.2萬(wàn)元，∴買C棟2層所花費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為520萬(wàn)元．(1)請(qǐng)幫助小王完成推理過(guò)程，填空：小王根據(jù)直角三角形時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，猜想出銳角三角形時(shí)的結(jié)論，但證明遇到了困難，于是他找到數(shù)學(xué)老師求助．老師肯定了他（1）的證明過(guò)程和猜想的結(jié)論，師生對(duì)話如下．師：（1）證明的關(guān)鍵是什么？師：同理可得．(2)請(qǐng)幫助小王完成銳角三角形時(shí)結(jié)論的證明：小王完成證明后又找到數(shù)學(xué)老師，老師肯定了他的答案，并告訴他實(shí)際上鈍角也有三角比，并且（2）的結(jié)論在鈍角三角形中也是成立的．?dāng)?shù)學(xué)老師又給小王出了一道題：（要