2025-2026學(xué)年上海市某校高三上學(xué)期9月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、填空題(★)1.已知集合A表示直線上的點(diǎn)的集合，且，則a的值為______．(★★)2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則滿足的復(fù)數(shù)的虛部為__________.(★★)3.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時(shí)間（單位：min），連續(xù)記錄了7天的數(shù)據(jù)并繪制成如圖所示的莖葉圖，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是____________．(★★)4.5人參加百米賽跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有______種情況.(★★)5.在的展開式中，的系數(shù)是__________.(★★)6.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為__________.(★★)7.已知，若不等式對(duì)恒成立，則的最小正值為__________.(★★★)8.已知是定義在上的函數(shù)，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．(★★★)9.已知銳角滿足，則的最小值為__________.(★★★★)10.如圖，在中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓（外）內(nèi)及邊界上運(yùn)動(dòng)，若，記的最大值與最小值分別為，則__________.(★★★)11.已知對(duì)于，過點(diǎn)可作曲線的3條不同的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.(★★★★★)12.對(duì)于一個(gè)有窮正整數(shù)數(shù)列，設(shè)其各項(xiàng)為，，...，，各項(xiàng)和為，集合中元素的個(gè)數(shù)為，對(duì)所有滿足的數(shù)列，則的最大值為_________.二、單選題(★★★)13.已知函數(shù)，則“，”是“在上的最小值為2”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件(★★)14.若，則下列不等式正確的是（）

A．B．C．D．(★★★★)15.已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，且，.設(shè)為的前項(xiàng)和（），則下列結(jié)論中正確的是（）

A．存在唯一的公比，使得B．存在，使得恒成立C．若，當(dāng)時(shí)，恒成立D．當(dāng)時(shí)，恒成立(★★★★)16.如圖，有一正三棱錐，已知它的底面邊長(zhǎng)為2，高為（點(diǎn)到平面的距離），保持在平面上，且三棱錐繞轉(zhuǎn)動(dòng).若存在某個(gè)時(shí)刻，三棱錐在平面上的射影是等腰直角三角形，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．三、解答題(★★)17.如圖，四棱錐的底面是正方形，垂直于底面,為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成的角.(★★)18.自《健康中國2030"規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入綠色運(yùn)動(dòng)行列.某公司為了了解員工一周的運(yùn)動(dòng)情況，調(diào)查了名員工一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），作出如圖所示的頻率分布直方圖．已知運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在小時(shí)的員工有48人．(1)求；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該公司員工一周運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)；（結(jié)果保留2位小數(shù)）(3)公司計(jì)劃選擇1人向大家分享運(yùn)動(dòng)心得，則在選中的員工一周運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于4小時(shí)的前提下，求此人一周運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)的概率．(★★★)19.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)首次啟用機(jī)器狗搬運(yùn)賽場(chǎng)上的運(yùn)動(dòng)裝備.如圖所示，在某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)賽事扇形場(chǎng)地中，米，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.為方便機(jī)器狗運(yùn)輸裝備，現(xiàn)需在場(chǎng)地中鋪設(shè)三條軌道.記，三條軌道的總長(zhǎng)度為米.(1)將表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2)求三條軌道的總長(zhǎng)度的最小值.(★★★★)20.已知點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，且．過點(diǎn)的直線與及圓依次相交于點(diǎn)，如圖．(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值；(3)過兩點(diǎn)分別作的切線，，且與相交于點(diǎn)，已知三角形外接