寧波市2024學(xué)年高一第一學(xué)期期末試題

數(shù)學(xué)試卷

說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共15。分.

考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卡上.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是正確的.

1.已知集合A={T，°，1，2},B={1［訓(xùn),則）

A.{0}B.{2）C.{-1,0}D.{-1,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式求出集合6,再根據(jù)集合交集定義和補(bǔ)集定義計(jì)算即可.

【詳解】由題8=21}={工比21或人工一1},

所以備3=（-1,1）

所以={0}.

故選:A.

2.命題“VxwZ,以怕1^”的否定是（）

A.3XGZ.|x|eNB.BxeZ,|x|任N

C.Hr史Z,|x|eND.Bx^Z,IxkN

【答案】B

【解析】

【分析】由命題的否定方法直接得解.

【詳解】命題“X/xwZ,|x|￡N"的否定是“玉wZ,Ml任N”.

故選:B.

3.已知函數(shù)/（x）=4sin（3x+。）（A＞0,口＞0,0＜。＜兀）的部分圖象如下圖所示，貝J（）

(12兀)

B./(^)=2sin—x+一

123J

(571(15兀)

C.f(x)=2sinI2x+D./(x)=2sin—x+一

(26)

【答案】A

【解析】

7T\

【分析】由圖中最高點(diǎn)和最低點(diǎn)結(jié)合周期公式即可求出4。，再將點(diǎn)3,2J代入解析式即可求出。，進(jìn)

而得解.

T271兀兀2兀,

【詳解】由圖可得A=2，-—=>——=TI=>co=2,

12122co

71c.兀1c

所以/(x)=2sin(2x+。)，又由圖2sin2+(p=2sin----Fcp|=2

J<6)9

7T7T2立

所以——+(p=2kit+—,keZ,解得。=2EH-----、keZ,

623

2兀

又0<9<兀,所以。二—^~,

所以/(x)=2sin(2x+1.

故選：A.

4.設(shè)a,B,。分別是VA9C的三個(gè)內(nèi)角，貝lj()

4+8C

A.cos(A+B)=cosCB.cos=cos—

2

.c

C.sin(A+B)=sinCD.sin=sin一

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可判斷各選項(xiàng).

【詳解】A.C0S(y4+^)=C0S(7C-C)=-COSC,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

A+B兀一cc

B.cosF~T2"?>=siny,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

C.sin(A+8)=sin(兀一C)=sinC,選項(xiàng)C正確.

A+B71-Cc

D.sin=sin=sin

~T~=cos—,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4

故選:C.

sin(a+〃)

5.已知tana=2tan〃，則()

sin(a-0)

i1

A.一B.-C.-3D.3

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩角和、差的正弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.

sin(a+4)sin?cos6+cosasinBtan?+tan/y2tanZ7+tanZ?.

【詳解】由題意得，——-----=------------------=------------=-------------=3

sin(cr-p)sinacosp-cosasinptana-tanp2tan/>-tanp

故選：D.

6.已知函數(shù)/（x）=/I2x,對(duì)任意M,,q￡R,下列結(jié)論成立的是（）

3

A./(Xj)f(x2)B.

西+飛</(3)+/(/)x+王后/（x）+/（w）

C/(2)一D./(

222

1C

【解析】

t分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)，舉例說明判斷AB；作差判斷CD.

【詳解】函數(shù)/（x）=/+2x的圖象關(guān)于直線工=一1對(duì)稱，/（工）在（-8,7）上遞減，在（T+oo）上遞

增,

對(duì)于AB,當(dāng)在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，/（%），/。2）的大小與勺大小無關(guān)，

因此/儂），/（々）大小關(guān)系不確定，故AB錯(cuò)誤;

%+W)/(3)+/(￡)X+X八2x,+2為x；+2.q

對(duì)于CD,/(一（-Ly=）十玉十巧

2~222

=一］（"|_"2）2W0，即/（,故C正確，D錯(cuò)誤.

~1~）一2

故選：C.

7.若函數(shù)/5）=?與函數(shù)g（x）=〃（x+l）的圖象有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

1

1

A.5,+8B.O,2一C.[1,4W)D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】將函數(shù)有交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程4=a（x+l）有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)），=正M20,利用基

X+1

本不等式求解函數(shù)的值域即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/*）=?與函數(shù)g（X）=4（X+l）的圖象有交點(diǎn)，所以方程4=C?X+1）有解,

由xNO,所以〃=正在［0,*z））上有解，記》=

,x>0>

X+1x+1

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是函數(shù)），=,xNO的值域,

A+1

令1一4上0，WOy=—―-，當(dāng)，=0時(shí)，y—。；

廠+1

=I

y~2,當(dāng)且僅當(dāng)/=1即［=1時(shí)，等號(hào)成立,

當(dāng)/>0時(shí)，v

又y>0,所以0<），V；,

綜上，1所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是ol.

2

故選：B

8.已知a=sin3,b=log53,c=log64,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮，再來比較大小.

【詳解】^=sin3<sin—=1,

62

33

b=log53=log5咽<log5V125=log55^=-,

11

rr2

b=log53=Iog5V9>Iog5V5=log55=-,

33

C=log64=log6</256>log6V2T6=log66,二j，

由上可得：a<b<c>

故選:A.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中成立的是()

A.若則/B.若。>力>0,則必>〃

C.若a>b,c<d,則4一c>〃一dD.若a>b>0,c<d<0,則ac>bd

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,。=-2/=-3時(shí)，。2=4,6=9,不滿足〃2>從，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由于。>Z?>0,b>0,故而"B正確，

對(duì)于C,若cvd,則一c>-4,又a>b,^La—ob—d?C王確，

對(duì)干D,若cvd<0,則一。>一，/>0,結(jié)合則-ac>-仇/,故ac<bd,D錯(cuò)誤，

故選：BC

10.已知函數(shù)/(x)=tan2x,則()

A./(幻的最小正周期為：

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形

C./(X)的圖象可以由y=-tan2x的圖象平移得到

D./(%)的圖象與)，=8$4%的圖象在區(qū)間上有唯一公共點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由周期公式即可判斷A；求出函數(shù)的對(duì)稱中心即可判斷B；由正切函數(shù)圖象性質(zhì)和余弦函數(shù)性質(zhì)樹

形結(jié)合即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)最小正周期為7=5,故A正確；

fJ/1、

對(duì)干B,令2x=—,^GGZ=>A=—,keeZ,所以函數(shù)的對(duì)稱中心為—,0,k《Z,

24I4)

71

所以當(dāng)左=1時(shí)得點(diǎn)-,0是函數(shù)/(幻的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確;

(4)

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=tan2x圖象與y=-tan2x的圖象關(guān)于x粕對(duì)稱，如圖:

由圖象結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知/(X)的圖象不可以由y=-tan2x的圖象平移得到，故C錯(cuò)誤;

jr

對(duì)于D,因?yàn)閄￡(0,:卜寸,

2XE0,—,4XG（0,TI）,

<2y

所以函數(shù)/(幻=tan2/在0,￡上單調(diào)遞增，y=cos4x在0,二上單調(diào)遞減,

又當(dāng)x=0時(shí)，代入函數(shù)/(x)=tan2x得/(0)=。，代入y=cos4x得y=l>0,

7T7T7T

當(dāng)上二一時(shí)，，代入函數(shù)/Cr)=tan2x得/(-)=tan—=1,代入y=cos4x得y=Ovl,

884

所以fM的圖象與y=cos4x的圖象在區(qū)間(0,個(gè))上有唯一公共點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD

11.已知函數(shù)/(幻，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)。，4使得f(x+。)—人為奇函數(shù)，那么/(x)叫做關(guān)于

(以2)的“類奇函數(shù)”.下列結(jié)論正確的有()

A./(幻=丁+1為“類奇函數(shù)”

B./(x)=lnx為“類奇函數(shù)”

C.若/(x)為“類奇函數(shù)"，則/Q)可以是偶函數(shù)

D.若/(X)是關(guān)于(?〃)的“類奇函數(shù)”，則/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(外勿成中心對(duì)稱圖形

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用新定義，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)奇偶性的定義以及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象變換，逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=0,6=1時(shí)，可得〃x+0)-l=V令g(x)=V,因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

g(-x)=-f=_g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，所以/(幻叫做關(guān)于(0,1)的“類奇函數(shù):

故A正確；

對(duì)于B,對(duì)于八x)=lnx,具定義域?yàn)?0,+8),若存在不全為零的實(shí)數(shù)小〃，使得

/(X+4)-〃為奇函數(shù)，設(shè)=+-b=ln(x+4)-匕，因?yàn)?(/)的定義域?yàn)?-4,+e),

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(x)=lnx不“類奇函數(shù)”；

對(duì)于C,若/。)=1,則/(公為偶函數(shù)，則/(%+0)-1=0,令力(x)=0,

其定義域?yàn)椋R,/?(-%)=0=-/z(x),所以〃(6=0是奇函數(shù)，

所以/。)=1是“類奇函數(shù)”，故C正確；

對(duì)于D,若/(幻是關(guān)于(外刀的“類奇函數(shù)”，則/(%+。)一人為奇函數(shù)，

^y=f(x+a)-b,因?yàn)閥=f(x+a)-b是奇函數(shù),其圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

所以/(?的圖象關(guān)于點(diǎn)(/〃)成中心對(duì)稱圖形，故D正確.

故選:ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)新定義的理解和應(yīng)用.

第n卷（非選擇題共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

,log,x,x>0,（（\

12.已知函數(shù)/*）=；則//-=----------.

、Z+1,X—U,<I，J,

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】由內(nèi)往外直接代入計(jì)算即可.

（1>1

【詳解】由題/-=log2-=-l,

12J2

所以/（/（小〉/㈠》—丁十二!.

故答案為：.

13.函數(shù)/（x）=sin（2x-F）在區(qū)間［0,m］上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為.

【答案】（全+8,

【解析】

【分析】利用整體法即可結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

詳解】xe［（）,〃z］時(shí)，則2%-色比,2m.,

由干/（x）=sin（2xq）在區(qū)間［0,向上不單調(diào)，則2m故相臼，

、（兀、

故答案為：鼻，+8

IJ/

14.實(shí)數(shù)a,b滿足/一^+從二。，則使Q+恒成立的實(shí)數(shù)4的最大值為.

【答案】2夜

【解析】

【分析】利用三角換元可得。一!二［cosaLsinO/eR,即可根據(jù)三角函數(shù)的最值得

222

a+十2十g?求解?

【詳解】由〃2一4+序=0可得+^=1,

I2J4

令〃——二—cose,Z?=—sin6,6eR,

要便〃+/lbW2恒成立，故拈］+（3丸）+（42,解得一2及44工2近，

故元的最大值為2夜，

故答案為：2拒

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)全集U=R,集合A=*|lKxK4},集合8={M〃+2?xWa+10},其中awR.

（1）若人口8=0，求。的取值范圍；

（2）若“XEA”是的充分條件，求〃的取值范圍.

【答案】（1）9）U（2,一）

（2）tzef-6,-11，

【解析】

【分析】（1）根據(jù)交集為空集列不等式求解即可.

（2）由題意AqB,利用集合間的關(guān)系列不等式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)榧?={?工工＜4},集合3={乂。+2《工4。+10},且4口8=0,

所以。+10<1或。+2〉4,即。w(-oo,-9)U(2,+co).

【小問2詳解】

因?yàn)椤皒wA”是“XW"'的充分條件，所以AqB,

集合A={x|l?x<4},集合B=*|a+2<x<a+10},

a+2<\

所以，八一解得即au[-6,-1].

/z+10>4

16.單位圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)8,。在圓。上，且點(diǎn)4在第一象限，點(diǎn)C在第二象限.

C

（1）如圖，當(dāng)3c的長(zhǎng)為W時(shí)，求線段BC與5c所圍成的弓形（陰影部分）面積；

、（兀[4

（2）記ZAOC=tz,oce—,兀，當(dāng)30_LCO,點(diǎn)8的橫竺標(biāo)為一時(shí)，求sina+cose的值.

1275

【答案】（1）四一1

64

1

（2）sincr+cosa=-.

5

【解析】

【分析】（1）設(shè)弧長(zhǎng)及圓心角，應(yīng)用扇形面積公式計(jì)算5=S扇形—S&BQC求解即可；

（43、34

（2）先由已知得B進(jìn)而得出sin/=巳，cos/?=-,最后應(yīng)用誘導(dǎo)公式計(jì)算求解即可.

<5Sy55

【小問1詳解】

設(shè)8c所對(duì)的圓心角為。，弧長(zhǎng)為/，弓形的面積為s.

TTITT

因?yàn)?=彳，圓。的半徑為r=1，所以。=一=二，

3r3

S成形，?乙了=工，s△…Li巫=6，s-S-S_工_立.

2236加8224°_J扇形%OC―64

【小問2詳解】

設(shè)AAOB=0,由題知，

34

于是sin4=一,cos/7=—,

55

“431…1

sina+cosa=sin（90°+//）+cos（90o+/?）=cos/y-sin8=-----=—.即sina+cosa=—.

5555

17.定義在R上的奇函數(shù)/(x)和偶函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=e、.

(1)求/(X)，g(x)的解析式;

(2)若"(x)]2+[g(x)]2+4g(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)〃幻=三￡二，g")=W;；

(2)a>-\.

【解析】

【分析】(1)由題設(shè)I(x)+g(x)=e"結(jié)合函數(shù)奇偶性得-f(x)+g*)=eT,兩式相加和相減即可求解函

數(shù)解析式.

22

(2)由(1)結(jié)合題意且令z=e、+eT得一一t,恒成立，進(jìn)而求出函數(shù)〃?)二一—t,t>2,的

tt

最大值即可得解.

【小問1詳解】

因?yàn)?(工)+以此=e"且奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

所以f(-x)+g(—x)=-/*)+g(x)=e-\即一/(x)+g(x)=e-r,

結(jié)合/(x)+g(x)=e、，解得〃])二三匚，8⑴二二詈.

【小問2詳解】

2--2x

由(l)得"(x)/+[ga)：T=b；e-，

2x—24x—x

所以不等式[/(x)]2+[g(x)f+ag(x)之0可以化為u+a?e+e>0,

22

叫e'+e-'y+Me'+e-')-220,即二一⑹+小)=2⑹

e'+e-vev+e-v')

令i=e'+er，Mr>2>/eA-e-r=2-當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取“二”，

2

所以原不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的f22,都有。>--，恒成立，

t

2

設(shè)力(。二—一Z,z>2,易知〃⑴為[2,+8)上的減函數(shù)，

t

所以力(f)的最大值為力(2)=7,所以。2—1.

18.已知函數(shù)/(x)=2cos(x+tj.

(1)求/(x)圖象的對(duì)稱軸方程；

(2)若將函數(shù)/(幻的圖象上各點(diǎn)向右平移:個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，記函數(shù)

力a)=/a)g(x).

(i)求〃(x)的值域；

(苴)若〃(%)=-4?，龍?！段?五)'求tan2A>()的值.

/\

【答案】⑴/(x)=2cos2x-^

\

=

(2)(i)l-2,2J；(ii)tan2A0~~^~

【解析】

【分析】(1)利用整體代入思想即可得到對(duì)稱軸方程.

(2)先利用圖形的變化“左加右減”得到g(x)的圖象g")=2cos卜一1｝進(jìn)而求出函數(shù)萬(力的解析

式，再求出值域；又由整體思想轉(zhuǎn)化得到tan2x0的值.

【小問1詳解】

因?yàn)閒(x)=2cos[x+jj,

7T7T

令上+―=〃兀，keZ,解得/=—+kn,keZ,

66

7T

所以/(幻圖象的對(duì)稱軸方程是1=一二+E,keZ.

6

【小問2詳解】

\

由題知，g(x)=/(x-*1=2cos(x-71

(兀)/16.](Gi.'

于是〃(x)=/(x)?g(x)=4cosx-^?cosx+—=4—cosx+——sinx?——cosx—sinx

I6)(22只22J

/621.x/3.

2

=4——cosx+—sinxcosx-------sinx=V3cos2x+sin2x=2cos|2x--.

I424JI6J

(i)因?yàn)?1—cos2x----<1,所以—2W2cos<2,

l6J

即力(x)的值域是[-2,2].

若〃(%)二一竽^即

(ii)

(兀77r?

因?yàn)閄()W—?TT?所以2%-2W(0,兀)，

<1212/6

所以tan百

sin~Tf

r7兀1兀/十必

tan2x0——+tan—6

兀兀6)6

所以lan2x=tan+—23

06J6,八7171

1-lan2XQ--?tan-1-

k6623

即tan2XQ=

19.已知函數(shù)/(幻的定義域?yàn)镽,給定集合。，若/(外滿足對(duì)任意巧，X2GR,存在實(shí)數(shù)%,當(dāng)

時(shí)，都有義[/(%)一/(々)]￡。，則稱是。上的“4級(jí)優(yōu)函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫出一個(gè)｛1｝上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)”，并說明理由；

(2)已知/(幻是[2,3]上的“2級(jí)優(yōu)函數(shù)”，

(i)證明：/(x+6)-/(x)=3；

(ii)當(dāng)xw[0,l]時(shí)，f(x)=aj(+—其中mbeZ,求m〃的值.

x+1t

【答案】(1)函數(shù)/(冗)=1是｛1｝上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)，理由見解析

a=0[a=1

(2)(i)證明見解析?；(打)<「或匕…

b=-\[b=\

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“2級(jí)優(yōu)函數(shù)”的定義，即可求解.

3

(2)根據(jù)定義可得14/(%)-/(4)?萬，即可采用迭代相加法求解(i),根據(jù)(i)的思想可證明

331

/(x+3)-/(x)=-,故/(x+3)-/(幻=5,進(jìn)而可得/*+1)-/*)=5,進(jìn)而可判定f(x)是。1］

上的“2級(jí)優(yōu)函數(shù)”，且/(幻是［0」］上單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)〃分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及可列方程求解

(ii).

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=x是｛1｝上的力級(jí)優(yōu)函數(shù)”.理由如下：

因?yàn)楫?dāng)X-M=l時(shí).，有/(%)—/(%)=%一%=1,所以/。)=工是⑴上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)”.

【小問2詳解】

(i)因?yàn)槭牵?,3］上的“2級(jí)優(yōu)函數(shù)”，由定義可得對(duì)任意不，x2eR,

3

當(dāng)24王一占43時(shí)，有1</(%)-/(占)工5，

所以/(x+6)-/*)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(為+2)+/a+2)-/(x)N3,

又f(x+6)—/(x)=f(x+6)-/(x+3)+f(x+3)-f(x)<3,

所以/(x+6)-/(x)=3.

(ii)由(i)可得

4</(X+2)-/(X+3)<~,1</(X+3)-/(X)<|

4222

故f\x+2)-/(x)=f(x+2)-f(x+3)+/(x+3)_/(x)W1

又f(x+2)-f(x)>1,因此f(x+2)-f(x)=1,